寧波理工微積分輔導(dǎo)1-(極限與連續(xù))

1、微積分（微積分（1）輔導(dǎo)）輔導(dǎo)（一）（一）浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系陳陳 錦錦 輝輝2022-2-52數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)o 概念要清晰、定理要熟悉；o 計(jì)算方法要熟練掌握，并善于總結(jié)、歸納；o 養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣(仔細(xì))；o 通過適當(dāng)?shù)挠?xùn)練，提高自己分析問題與解決問題 的能力；o 平時(shí)要做到：聽、記、想；要勤記勤思考.2022-2-532022-2-53第一章、極限與連續(xù)第一章、極限與連續(xù)知識(shí)點(diǎn)：知識(shí)點(diǎn)：(1) 數(shù)列極限的性質(zhì)、計(jì)算和存在性證明；(2) 函數(shù)極限的定義與性質(zhì)；(3) 函數(shù)極限的計(jì)算（不定型的極限）；(4) 函數(shù)的連續(xù)與間斷；(5) 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì).2022-2-54

2、2022-2-54一、數(shù)列極限的定義與性質(zhì)一、數(shù)列極限的定義與性質(zhì)(1)lim00.().(2)0.nnnnnaANnNaAAAaMnNaM 數(shù)列極限的定義：對(duì)，當(dāng)時(shí)，有幾何意義：落在區(qū)間，外的項(xiàng)只有有限項(xiàng)數(shù)列極限的性質(zhì)：唯一性：若數(shù)列收斂，則極限唯一；有界性：收斂數(shù)列一定有界；即：若數(shù)列收斂，則存在，對(duì)任意均有2022-2-552022-2-55數(shù)列極限的定義與性質(zhì)數(shù)列極限的定義與性質(zhì)（續(xù)）（續(xù)）lim000. ().23000.nnnnnaAANA AnNaANnNAaAaA 保號(hào)性：若，則：對(duì)，當(dāng)時(shí)，有實(shí)際應(yīng)用時(shí)，常取、數(shù)列極限保號(hào)性的證明：取，對(duì)此，當(dāng)時(shí)，有即：【注】：數(shù)列極限保號(hào)性與

3、函數(shù)極限保號(hào)性在證明與極限有關(guān)的問題時(shí)，經(jīng)常用到.2022-2-562022-2-56【例題例題1】( )( )0( )0( )().f xabfafbf xab設(shè)在 ，上可導(dǎo)，且，則：在 ，內(nèi)有最大值1122( )( )(1)( )lim00( )( )0( )( ).0( )( ).(2)( )( )(1)( )()( )max( ).xaa x bf xf afaxaf xf aaxaf xf axabxbf xf bf xabf xabf xabff x 由于，則：，當(dāng)時(shí)，同樣，當(dāng)時(shí)，又在 ，上連續(xù)，從而在 ，上有最大值，根據(jù)的最大值不可能在端點(diǎn)取到；因此，存在，使得【注( )()(

4、)0.f xabFermatf】：若在 ，內(nèi)可導(dǎo)，由定理，2022-2-572022-2-57二、數(shù)列極限的存在性二、數(shù)列極限的存在性0(1)() limlimlim.(.) nnnnnnnnnnnnnnabcabcacAbAnnac兩邊夾 夾逼 定理：若數(shù)列、滿足，且，則：上面不等式只要對(duì)成立即可【注】：利用兩邊夾定理證明數(shù)列收斂，關(guān)鍵在于適當(dāng)?shù)摹翱s放”，即“縮小”、“放大”后所得的數(shù)列與極限存在且相等；否則說明不了問題.2022-2-582022-2-58【例題例題2】 22262626212lim.12nnnnnn計(jì)算：2226262622223622226262362222626262

5、121212(1)(21)6112(1)(21).6(1)(21)1(1)(21)1limlim.633612lim12nnnnnnnSnnnnnn nnSnnnn nnSnnnnn nnn nnnnnnnnnn記，則：，而，因此，1.32022-2-592022-2-59數(shù)列極限的存在性數(shù)列極限的存在性（續(xù)）（續(xù)）.nan【注】：利用單調(diào)收斂準(zhǔn)則證明數(shù)列極限的存在，關(guān)鍵在于證明數(shù)列既是單調(diào)的，又是有界的；單調(diào)遞減有下界，單調(diào)遞增有上界由于數(shù)列通項(xiàng)與有關(guān)，因此，證明數(shù)列單調(diào)與有界時(shí)，數(shù)學(xué)歸納法是很實(shí)用的方法 可根據(jù)實(shí)際情況先后證明單調(diào)性或有界性.單調(diào)遞增數(shù)列的極限為其最小上界；單調(diào)遞減數(shù)列的極

6、限為其最大下界.(2).單調(diào)收斂準(zhǔn)則：?jiǎn)握{(diào)有界數(shù)列一定有極限2022-2-5102022-2-51011122123111212(1)()( ).( )()().()().nnnnnnnnnnnaaaf af xaaaf xaf af aaaaaf af aaaaaa設(shè)，且，若函數(shù)單調(diào)遞增，則： 數(shù)列單調(diào)遞增或遞減如果，由于單調(diào)遞增，則：假設(shè)，則：因此，數(shù)列單調(diào)遞增如果，則同樣可證明：數(shù)列單調(diào)遞減1()nnaf a遞推式為：的數(shù)列的單調(diào)性數(shù)列單調(diào)性的判別數(shù)列單調(diào)性的判別2022-2-5112022-2-511數(shù)列單調(diào)性的判別數(shù)列單調(diào)性的判別（續(xù)）（續(xù)）112211221232332343413

7、2134324521212(2)()( ) .()()().()().()()()().(nnnnnnnaaaf af xaaaaaf af aaaaaf af aaaaaaaf af aaaf af aaaaaf設(shè)，且，若單調(diào)遞減，則：子列、分別單調(diào) 一個(gè)遞增，另一個(gè)遞減.如果，則：，即：因此，即：如果，則：假設(shè)，則：212122212222321213212)()()().limlimlim.nnnnnnnnnnnnnnnaf aaaf af aaaaaaaaa，因此，數(shù)列單調(diào)遞增同樣可證，單調(diào)遞減如果，可得出類似結(jié)論最后，再計(jì)算極限、；如果它們相等，則存在2022-2-5122022-2

8、-512【例題例題3】 12lim121.32121.1nnxxxxxxx【分析】：如果數(shù)列極限存在，記，則：由于， 而其極限為 ，故數(shù)列應(yīng)該單調(diào)遞減，且有下界下面用數(shù)學(xué)歸納法證明該數(shù)列單調(diào)遞減有下界 .11122()limnnnnxxnNxx設(shè)，求證：存在并求其極限.2022-2-5132022-2-513【例題例題3（續(xù)）（續(xù)）】112111111111(1)21121. 1(2)11(2)(2)0. .(1) (2) .1lim2nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx，假設(shè)，則：因此，有下界 ；由于，若，則：因此，單調(diào)遞減由、

9、 可得，數(shù)列單調(diào)遞減且有下界，故，收斂令，等式兩邊同時(shí)求極限，可得：1.2022-2-5142022-2-514【練習(xí)題練習(xí)題1】121101. .3nnnnnnxxxxxx顯然，故，有下界3112212lim.3nnnnnxxxxx設(shè)，且，證明：存在并計(jì)算其極限31210.3lim.lim1.nnnnnnnnnxxxxxxx則：?jiǎn)握{(diào)遞減由上可得，存在 容易計(jì)算：.1.【注】：本題中單調(diào)性的證明需要知道數(shù)列的有界性因此，要先證明數(shù)列有下界2022-2-5152022-2-515數(shù)列極限存在的練習(xí)題數(shù)列極限存在的練習(xí)題1111111(1)lim12(2)46lim.(3)36lim.nnnnnn

10、nnnnnaannnnaaaaaaaa設(shè)，證明：極限存在.設(shè)，且，證明：存在，并計(jì)算此極限設(shè)，且，證明：存在，并計(jì)算此極限L11(3)211262222262lim2.nnnnnnnnnnaaaaaaaaa【注】：第題，數(shù)列的奇偶子列分別單調(diào)；本題可用下面方法證明：根據(jù)夾逼原理，數(shù)列收斂，且L2022-2-5162022-2-516三、函數(shù)極限三、函數(shù)極限00000()lim( )000( ).lim( )0000( ).23xxxxxxf xAMxxf xMf xAAxxf xAA 一 函數(shù)極限的性質(zhì)：唯一性：若函數(shù)在處有極限，則極限唯一；局部有界性：若，則：和， 當(dāng)時(shí)，有保號(hào)性：若，則：對(duì)

11、，當(dāng)時(shí)，有【注】：實(shí)際應(yīng)用時(shí)，經(jīng)常取或2022-2-5172022-2-517函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則00000lim( )lim( )lim( )( )lim( )lim( ).(0)().xxxxxxxxxxf xAg xBf xg xf xg xA BB 設(shè)，則：其中：“”表示：+、-、 . 除法運(yùn)算時(shí)，【注意】：在運(yùn)用極限四則運(yùn)算法則時(shí)，要求運(yùn)算的函數(shù)數(shù)列 極限均存在，且只能作有限次運(yùn)算2022-2-5182022-2-5181“ ”型極限的計(jì)算( )( )( )lim( )0 lim ( )lim( ) ( )lim 1( ).ln 1( )limln 1( )l

12、im ( ) ( )( )lim 1( ).xaxaxag xAxag xxaxag xAxaf xg xf x g xAf xef xf xf x g xAf xf xe 設(shè)，且，則：由于，根據(jù)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，( ) ( )1( )( )lim 1( )lim1( ).f x g xg xAf xxaxaf xf xe此類極限計(jì)算的說明：2022-2-5192022-2-519【例題例題4】13(21)352133521(1).323limlim 1.3535xxxxxxxexx該極限為“ ” 的類型，將其表示為：的形式其中： 為無窮小量2132lim. (1)35xxxx求：型2022-2

13、-5202022-2-520四、極限的計(jì)算四、極限的計(jì)算(1) 先確定極限的類型；(2) 經(jīng)過初等變換和無窮小量的等價(jià)替換無窮小量的等價(jià)替換，化 簡(jiǎn)函數(shù)表達(dá)式(使求導(dǎo)計(jì)算盡可能簡(jiǎn)單)；(3) 分母若為低階無窮小量，可用羅比塔法則； 若為高階無窮小量，一般用泰勒展開. 【注意】：極限計(jì)算時(shí)要弄清在那一點(diǎn)求極限；極限的類型.不要被表面現(xiàn)象蒙騙！2022-2-5212022-2-521無窮小量無窮小量0000000(1)lim( )0( )( )(1).(2)lim( )0 lim( )0( )lim0( )( )( )( )( ( ).( )lim0( )( )( )(limxxxxxxxxxxx

14、xxxxxxoxxxxxxxoxxcxxx定義：若，則：稱為時(shí)的無窮小量.記作無窮小量的比較：設(shè)，若，則稱是比更高階的無窮小量；記作若，則稱與為同階無窮小量；若)1( )( )( )( ).( )xxxxxx，則稱與為等價(jià)無窮小量；記作2022-2-5222022-2-522無窮小量無窮小量（續(xù)（續(xù)1）222200232235(1)012.lim1lim.(2) (1)(1)(1)()()()().() ()().()()()()()().xxnmnnmn mxxxxxxxxxoooo xo xo xnmo x o xo xo xo xo xo xo xo x 有關(guān)無窮小量階的問題：當(dāng)時(shí)，為

15、階無窮小量，并非階無窮小量因?yàn)?，而；其中：例如：?022-2-523無窮小量無窮小量（續(xù)（續(xù)2）無窮小量的性質(zhì)：無窮小量的性質(zhì)：(1) 有限個(gè)無窮小量的和仍是無窮小量； (2) 有限個(gè)無窮小量的乘積仍是無窮小量； (3) 無窮小量與有界函數(shù)的乘積還是無窮小量.2022-2-5230000limlimlim.xxxxxxxxAA若時(shí)， 、 、均為無窮小量，且，則：無窮小量的等價(jià)替換定理：無窮小量的等價(jià)替換定理：2022-2-5242022-2-524等價(jià)無窮小量等價(jià)無窮小量 20(1) sin(2) tan(3) ln(1)(4)1(5) arctan(6) arcsin(7)1cos(8)

16、(1)1.2xxxxxxxxexxxxxxxxx當(dāng)時(shí)，有：；:8個(gè)常見的等價(jià)無窮小量：個(gè)常見的等價(jià)無窮小量：【注】：無窮小量的等價(jià)替換只適用于；也就是乘除時(shí)可用，而加減時(shí)不能用.因因子子2022-2-5252022-2-525Maclaurin常見函數(shù)的展開式：52324343535553355558()(1)1()(2) cos1()2!3!2!4!2(3) sin()(4)tan()65!3153(5) arcsin()(6)arctan()64035(7)ln(1)xMaclaurinxxxxxexo xxo xxxxxxo xxxxo xxxxxxxo xxxo xx 下面為 個(gè)常見函

17、數(shù)的展開式 最高展開到；23322(1)()(8) (1)1().232!xxxo xxxxo x ；數(shù)列極限與函數(shù)極限計(jì)算的說明數(shù)列極限與函數(shù)極限計(jì)算的說明o 先弄清楚哪一點(diǎn)求極限，極限的類型；先弄清楚哪一點(diǎn)求極限，極限的類型；o 化簡(jiǎn)極限表達(dá)式，主要應(yīng)用無窮小量的等價(jià)替換；化簡(jiǎn)極限表達(dá)式，主要應(yīng)用無窮小量的等價(jià)替換；o 一般應(yīng)用羅必塔法則，對(duì)于復(fù)雜極限可考慮一般應(yīng)用羅必塔法則，對(duì)于復(fù)雜極限可考慮Taylor展展 開；但前提是熟悉開；但前提是熟悉Taylor展開式，否則還是展開式，否則還是“慎用慎用”；o 數(shù)列極限一般可化為函數(shù)極限計(jì)算；數(shù)列極限一般可化為函數(shù)極限計(jì)算；o 對(duì)于一些不熟悉點(diǎn)對(duì)

18、于一些不熟悉點(diǎn)x=a 處的可通過變量代換化為處的可通過變量代換化為x=0 處的極限，或?qū)⑻幍臉O限，或?qū)⒒癁?022-2-5272022-2-527【例題例題5】 211cos14cos120222001lim 1(cos1).1cos112limlim.224uuuuuuuIuexuuuu 令：，則：其中：21limcos. (1)xxx計(jì)算：型2022-2-5282022-2-528【例題例題6】220coslim. (1)cos2xxxx求極限：型222(coscos2 )2cos2coscos2cos230022002222000coscoscos2limlim 1.cos2cos22(

19、coscos2 )(cos1)(1cos2 )lim=2limcos21cos11cos222lim2lim2limxxxxxxxxxxxxxxxxxxexxxxxxxxxxxxxxx其中：2202200001(2 )22lim3.2(coscos2 )coscos2lim2limcos2sin2sin2cos4cos22lim2lim3.22xxxxxxxxxxxxxxxxxxx【或】：2022-2-5292022-2-529【練習(xí)練習(xí)2】2lim.(2)(1)(1)xxxxx型(2)(1)(2)22(2)(1)2002(1) limlim 1.(2)(1)(2)(1)1(2)(2)(1)l

20、n(12 )ln(1)ln(12 )ln(1)lim lnlimlim1.xxx xxxxxxxxxuuxxexxxxxyxxxuuuuuyuuu 記，令：，則：因此2lim.(2)(1)xxxexx，2022-2-5302022-2-530【例題例題7】320ln(1)sin0lim. ()011xxxx計(jì)算：型232000203220201cosln(1)sinln(1)sin1limlim3lim2113313limsin.2(1)2ln(1)sinlim.( 11)4lim42xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 【注】：若本題改為由于為非零常數(shù)，可先計(jì)算其極限，放到極限符號(hào)外

21、面；否則在應(yīng)用羅比塔法則時(shí)，求導(dǎo)會(huì)很煩.2022-2-531【例題例題7】的變形情況的變形情況2022-2-531202ln(1)sin lim.ln(12 ) arcsin( 11)xxxxxxx計(jì)算：323333230333012()32.2 ()()236lim()lim1.xxx xxxL HosptialTaylorxxxxo xxo xxIxxo xx 【分析】：分母為 階無窮小量，用法則至少要用三次，分子的計(jì)算量會(huì)很大；考慮用展開2022-2-5322022-2-532【例題例題8】20sin0lim. ()(1cos )arctan30 xxxexxxx計(jì)算：型22200002

22、333222033330sin2(1)cos2limlim33322(2)sin214limlim (3)cos.36991()()26lim32()2426lim.393xxxxxxxxxxxexxxexxIxxxxexxexxxxxxo xxo xxIxxxxo xx【方法一】：【方法二】：【注】：由于分母為Taylor階無窮小量，用展開更簡(jiǎn)單.2022-2-5332022-2-533【練習(xí)題練習(xí)題3】22011lim()sinxxx 計(jì)算：型4300022200(sin )(sin )sinsinlimlimlim1cos12lim2lim.363xxxxxxxxxxxxxIxxxxxx

23、x.L Hospital【注】：若直接用法則，計(jì)算量比較大3333000()6sinsin1limlim2lim.3xxxxxxo xxxxxIxxx2022-2-5342022-2-534【例題例題9】( )sinsin cos0( ).f xaxxbxxabxf x設(shè)，選取適當(dāng)?shù)某?shù) 、 ，當(dāng)時(shí)， 使成為盡可能高階的無窮小量353555355( )sinsin22(2 )(2 )()2()61202612012161(1)()().6312031041210634161310( )512044bf xaxxxxxbxxaxxo xxo xbabxb xxo xababbbabf x 令：；

24、而此時(shí)，因此，當(dāng)，時(shí)，為 階無.窮小量2022-2-5352022-2-535一些常見的極限一些常見的極限000111110111ln(1) limlnlimlim0.(0)ln1(2) limlim0. (0)(1)()(3) limlimlim0.(4) limxxxxxkxxxxxxnnnnmmxmmxxxxxxxxxxk xeeea xaxa xab xxxb 其中：其中：0()0().(0)()nmnmamnbnma bxbnm其中：2022-2-5362022-2-536【例題例題10】ln(1)sin 201lim.1xxxxx計(jì)算：ln(1) lnsin2ln0001ln(1)

25、 lnlimlim1sin2lnln(1)1lim.sin22xxxxxxxexxIexxxxln(1)ln(1) ln0sin2000limlim1 lim1.xxxxxxxxeex【注】：，2022-2-5372022-2-537函數(shù)極限練習(xí)題函數(shù)極限練習(xí)題22111126200222cos(1) lim()(2) lim(sincos )3(3)lim232(11.)(4)lim232(13.)xxxxxxxexxexxaxbababxxaxbabab ；若，求： 、 的值；，若，求： 、 的值.，2022-2-5382022-2-538函數(shù)極限練習(xí)題解答函數(shù)極限練習(xí)題解答（1）2222

26、223cos111cos1360012011sincos122sincos10222220002coscos1(1) lim()lim 1.33(2) lim(sincos )lim 1(sincos1).sincos1sincos11limlimlimxxxxxxxxxxxxxxxxxxxexxxxexxxxxxx其中：.22022-2-5392022-2-539函數(shù)極限練習(xí)題解答函數(shù)極限練習(xí)題解答（2）2222222222(3)lim2320(23)()lim23()(1)(22)(3)lim2.231001121.(4)lim232(3)xxxuxxaxbaxxaxbIxxaxbaxab

27、 xbxxaxbaaaIbbxuIuuaub 由可得，；因此，而，則：； 因此，故，令，則：，與類似，13.(3) (4).abxu 可得，【注】： 、 實(shí)際上是漸近線的計(jì)算，對(duì)于可通過變量替換化為進(jìn)行計(jì)算，可避免不必要的差錯(cuò)2022-2-5402022-2-540五、函數(shù)的連續(xù)性五、函數(shù)的連續(xù)性0000(1)( )()lim( )()( ).xxf xU xf xf xf xx定義：如果在內(nèi)有定義，且，則稱函數(shù)在處連續(xù)(2)可以證明：基本初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的，連續(xù)函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算或有限次復(fù)合后所得到的函數(shù)仍是連續(xù)的.由此可得：初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.2022-2-54

28、12022-2-541函數(shù)的間斷函數(shù)的間斷0000( )( )lim( )().xxf xxf xxf xf x在處沒有定義；在處極限不存在：左右極限至少有一個(gè)不存在，或左右極限存在但不相等；極限存在但不等于函數(shù)值，(4)函數(shù)間斷點(diǎn)的分類：第一類間斷點(diǎn)：左右極限均存在.【其中】：若左右極限存在且相等但不等于函數(shù)值的間斷點(diǎn)為可去間斷點(diǎn).第二類間斷點(diǎn)：左右極限至少有一個(gè)不存在的間斷點(diǎn).2022-2-5422022-2-542閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)( )(1)( )(2)( )( )max( )( )min( ).(3)( ) ( )0()( )0(4)( ).a x ba x

29、 bf xabf xabf xababff xMff xmf a f babfmMcabf c 若在，上連續(xù)，則：有界性定理：在 ，上有界；最值定理：在，上有最大值和最小值；即：存在 、，使得，零點(diǎn)存在定理： 若，則，使得；介值定理：對(duì)任意，都，使得2022-2-5432022-2-543【例題例題11】2cos2cos(0)( )(0)0sinln(1)(0)xxxxf xAxxABxBxxx設(shè)在處連續(xù)，求： 、 的值.200000000cos2cos2sin2sin3lim( )limlim.22sinln(1)lim( )limlim1.35lim( )lim( )(0).22xxxxx

30、xxxxxxxf xxxxxf xBBxxf xf xfAB 而，則：，2022-2-5442022-2-544【例題例題12】11( )1xxf xe求函數(shù)的間斷點(diǎn)，并判斷其類型.1 01+00(1)1lim( )1 lim( )01( ).(2)0lim( )0( ).xxxxf xf xxf xxf xxf x 當(dāng)時(shí)，；故，為的第一類間斷點(diǎn)當(dāng)時(shí)，；故，為的第二類間斷點(diǎn)11100 00 0limlim0 lim.xxxxxxeee 【注意】：并不存在；因?yàn)?，在求函?shù)間斷點(diǎn)時(shí)，在分界點(diǎn)處一般應(yīng)分別求其左右極限2022-2-5452022-2-545【例題例題13】1ln(1).(1)xyex x求曲線的漸近線012(1)lim( )0(2)lim( )1(3)lim( )lim ln(1)00( )1ln(1)(4)limlimlim1(1)