2021_2021(2)線性代數(shù)檢測(cè)題答案

1、填空題1.3 ,2 ;n(n 1)2. ( 1) , 120 .選擇題1. (A).三.計(jì)算題1.解：原式21)(x 5)4(x 5) (x 5) x(x 6)( x科技大學(xué)線性代數(shù)檢測(cè)題§3 一 25) x 11x30x.1.21.3參考答案填空題1. D ;2.3.20 ；4.5.(a1d1 b1c1)(a2d2b2C2).選擇題1. (D).三.計(jì)算題(1)解:解:1202 I12023410117320117410101244/?20033022201000611111111112340123012361002590014102003919003原式11111331018 ；

2、1000110012101331解:203031012321I r2322400012 43 222(1)301(1)30133101001014 ；得20101231四列加到第一列上,4解:將第二、原式解:解:1010101031123121113113102221004411100441632110 ( 4) ( 4)160 ；51342011132220100814616278011112121232220821212246020411261732205240)40 .一填空題1.0_， 0_二選擇題1. (C).計(jì)算題1.即有解：齊次線性方程組有非零解的充要條件是系數(shù)行列式等于零,a1

3、101b112b1aaa111 b 2b(1a)b2b(1a)b12 30 2 310 31 2 02.解：D0 1 21, D10 1 21 , D20 0 22 , D30 1 00 0 11 0 10 1 10 0 11或b0.121.z1，y科技大學(xué)線性代數(shù)第一章自測(cè)題參考答案一填空題1. x 0且x 2;2.0;3.10;4.5 ;5.0;6.3;7. 4abcdef .(x2 x 2)(x 6)(x 1)(x 2)(x 6).2 133 0x6x131.51x3 x 2001111111111110222811110022111100022341234123434101130113

4、421021300331230111000431122. (1)1112.11原式1616162020a01 aa10a0a1010a1010a0 10 a1 00 12 2 31a2|I1 1aJ0 a(1)1a(a3 1).a2010拉普拉斯定理a 10 a科技大學(xué)線性代數(shù)檢測(cè)題§2.1 2.2參考答案一填空題1.1；2.1102010，0 或 03.010； 4.n00 31269846；2010155. AB BA.二選擇題1. (C) ；2.(D)；3.(D) ；4(B).三計(jì)算題10 0山2230 321.解：10 14145 4101 011113 02 10 113

5、0772. 解: A,f(A)3E 7A A 3721210 301 210 3147四證明題證：由A2A ,B2B，知(AB)2八22A BAB BA A BAB BA .故(AB)2A B的充要條件是ABBA0 ,即ABBA.科技大學(xué)線性代數(shù)檢測(cè)題§2.3參考答案一填空題1 1 11. ; 2. 8 .4 32二選擇題1. (B) ；2.(D).三計(jì)算題1011102121011. 解: (1) abt21423512113 ； (2)3A ( 3)3|A272142703 2530289203 25科技大學(xué)線性代數(shù)檢測(cè)題§2.4 2.5參考答案一填空題1.2.3.二選

6、擇題1. (A) ；2.(C)計(jì)算題cossincossin1.解：(1)sincos1 ,sincos故cossin1cossinsincossincoscossinsincos2.解：A，故13 632 1421114202136121321425411 23 454131671120 0111 5701 ，因此 X A 1CB 1-6 133 015 33 1(注：應(yīng)先判斷矩陣 A,B的可逆性，再得出 X1 1A CB )四證明題證：由 O A2 2A 3E (A 4E)(A 2E) 5E ,知(A 4E)1-(A 2E) E，故 A 4E 可逆，且(A 4E)51(A 2E).5科技大

7、學(xué)線性代數(shù)檢測(cè)題§2.6參考答案一填空題1. _0_; 2.二選擇題1. (D).三計(jì)算題12110 01211001001.解：(1) A| E34201002131002154100101465010012316022132，故A可逆,2132A5 110007211021511010026011026001151100107210001101故116O 1 7-2B不可逆.故C可逆,10011210110012021110212301462200151151011故A可逆,1A 1B科技大學(xué)線性代數(shù)檢測(cè)題§2.7參考答案一填空題1. En ；2.3 .二選擇題1. (

8、D) ；2.(A);3.(B);4. (B).三計(jì)算題1 211 2 11.解：對(duì)A進(jìn)行初等行變換化為行階梯形，得A3 630 00 ，故 r(A) 12420 0 02.解：對(duì)A進(jìn)行初等行變換化為行階梯形，得12321123211232143632UUiuutU05656IUuuUU 05656Ar3 2r1r4 2r2B21014r4 5r1056564 2 00020503270101212123 4 0000011211 21213. 解: A2150 1 22 1UUiuiuUti0121 2110610 10510151012101212，從而當(dāng)3 時(shí)，r(A)3 ;當(dāng)3時(shí)，r(A

9、)2.00393科技大學(xué)線性代數(shù)第二章自測(cè)題參考答案一填空題411選擇題1.(B) ；2. (D);3.(A)；4.(C).-三.計(jì)算題11 201 0行1.解：由A | E02 110 000 101 1135222故A可逆，且A1 1112220112.由 AX A 2X得(A2E)XA.再由1.359；2. E ；3. 0 或 1 .1 352 2211122201110 1301100522初等行變換A2EA11 011001043201 2014001223522知A 2E可逆，且X(A2E)1 A432223四證明題1.證：由A A A 1，故 A 丨 |a A 1 An A 1|

10、 IAn|A 1 IAAnA (n2).2.證:假設(shè) r(A) 0,那么 A O，記 B0M , C 0 L 0 m，那么顯然 A BC ;假設(shè)r(A) 1 ,那么存在可逆矩陣P、 Q使1 0 L01得 PAQ000 1 0 L 0 ，或M MMM，0 0 L0 m n m n010 M0Q 1，記 B1P1 0M0bb2 C1M， C1bmCiC2CnBC .由 r(B)，知 r(A)r(BC)r(B) 1 .科技大學(xué)線性代數(shù)檢測(cè)題§3.1參考答案一填空題1. r(A) r(A|b) ；2. r(A) r(A|b) n ;3. r(A) n ;4.1.二選擇題1. (C) ；2.(

11、C).三計(jì)算題1.解：對(duì)增廣矩陣施行初等行變換:(A|b)1 1 0 11213110lUuiUr0120r42r1011201131110duiJUn00333141 0 0010r(A) r(A|b) 312.解：(A|b)0111 l5 00l1 l2-001X11104UUuiuUu 025015故方程組有唯一解:040825 1101 1 1 2duuSr 0 101101131100033004411101113 i&uH 0110 r4 4r3 0 0 1 10 0 0 0由 r(A) r(A|b) 3113uliil1 4l3X1故方程組有無窮多解.X38101 10l

12、uUl3l3l24 080 0 05 110450154X45X21X4X14X45X2X3X41X4,其中X4為自由未知量,4 0所以方程組的通解為 x k 00 , k R.125 03.解：對(duì)方程組的系數(shù)矩陣施行初等行變換，得121121A2 470 0 9由 r(A)x1 2x24.解：對(duì)方程組的系數(shù)矩陣施行初等行變換，得1 1 1 11 11 11 1A 11 11 01 00 111 1 11 01 10 0由方程組只有零解，故 r(A)3，從而1，即僅當(dāng)1時(shí)方程組只有零解.2，故方程組有非零解，由X30知該方程組的通解為:0101科技大學(xué)線性代數(shù)檢測(cè)題§3.2參考答案一

13、填空題二選擇題1. (A) ；2. (D).三計(jì)算題111611161 1 161.解：a (X2a31037014130141311250231100515111611031 0020141301010 101001300130 013故B能由向量組a,a2,a線性表示，且表示法唯一，其表示式為32 a a 3 a123010 012.解：aTTaTa3T2314行01 01312200 11122500 00故B能由向量組a,a2,a線性表示，且表示法唯一，其表示式為3a a a.科技大學(xué)線性代數(shù)檢測(cè)題§3.3參考答案一填空題1.有非零解：2.2；3. 無關(guān)：4._4_;5.k1

14、 k20.二選擇題1. (B) ；2.(C).三計(jì)算題1241243解：由A19013知 r(A) 23，故向量組a, a, a線性相關(guān)128000457000四證明題1.證：設(shè) k1( aaa)k2(a 2 aa)k3(匹a)0,那么(k1k2) a (k12k2k3) a(k1k2k3) a0k1 k(20由向量組a, a, a線性無關(guān)，知k12k2k30，解方程組得k1k2k30 ,故向量組a aa,k.k2k30a 2 aa, aa線性無關(guān)2. 證：設(shè) kA ak2 Aa2 Lks A a s0，那么A(k1 a k2 a Lks as)0 .由A為可逆矩陣,知k ak?1a Lks

15、a A 0 0.再由a,a ,L,a線性無關(guān)，知kk2Lks0，即向量組A a，Aa2，L ,Aas線性無關(guān)科技大學(xué)線性代數(shù)檢測(cè)題§3.4 3.5參考答案一填空題1.2 或 3 ;2.m 1 ;3.n 1 ;4.1 .二選擇題1. (B).三計(jì)算題1.解：對(duì)a a a a a a進(jìn)行初等行變換，得103121031210301130 1 10330301101A2172501101000114214060224200000于是向量組的秩為3,它的一個(gè)極大無關(guān)組為a,a,a,且有a 3 a為a,aaa a.2.對(duì) Aaa2a aa進(jìn)行初等行變換，得103021 1245112452A4

16、25540631116101012 4124000510200012于是向量組的秩為3,它的一個(gè)極大無關(guān)組為a,a,a,且有3 a _a1a,a2 aa 2 a223.解：對(duì)A aaaa進(jìn)行初等行變換，得112411241124136102430243A151060612200a 2 a 831a a1004a 6a 20007由于向量組線性相關(guān)，即r(A)4 ,必有a2.11241121361024或由0|A1 115106061231aa 1004a612534.解:T1T2T3T4311353111471r 3 4，故向量組線性相關(guān),411243024314(a2)得 a 2200a 2

17、a 8a 20007125310100124012000010001 ，000000001 ,2 ,4為一個(gè)極大無關(guān)組，并且312 2?？萍即髮W(xué)線性代數(shù)檢測(cè)題§3.6參考答案填空題1. n d ;2.Tx k 1,1,L ,1, k R ；3.二選擇題1. (A)；三計(jì)算題1.解：對(duì)方程組的系數(shù)矩陣進(jìn)行初等行變換，得2. (A).54144513133023303,3A12.解：對(duì)方程組的增廣矩陣進(jìn)行初等行變換，得一個(gè)根底解系為存1'0，所求方程組的通解為11245(A|b)22454對(duì)應(yīng)齊次線性方程組的一個(gè)根底解系為&2,0,1,0,所求方程組的一個(gè)特解為T3,0,

18、0,2于是所求所求方程組的通解為k2 &n,k1, k2R.3.解：A b1 0100111110301114313100001111113011143331000010011100110433010000100001012107630故方程組的通解為四證明題證：由齊次線性方程組的解的性質(zhì)知1,2,T1,17,T6, 3,0,a均為方程組的解;知方程組的解空間的維數(shù)為2 (即方程組的根底解系中含有兩個(gè)解向量)a> , 2 a性無關(guān).設(shè) k1 ( a a) k2 (2 a a) 0，那么(k1 2k2) a (k1系，故a, a線性無關(guān)，因此k1 2k2匕k： 0，解之得K而a a

19、 , 2 aa也是該齊次線性方程組的根底解系科技大學(xué)線性代數(shù)檢測(cè)題§2是方程組的根底解系,又由，故只需證明 a a, 2 a a線0 .由于a, a是該方程組的根底解k20，即 a2 aa線性無關(guān)，從3.7參考答案填空題1. 0 ； 2.(a 3);3.1, ij ；0, ij4.1,0,0 ,(0,0,1)(答案不唯一)；5.3 .選擇題1. (D) ；2.三.計(jì)算題(C)；(B).1.解：取30,1,1 ,直1,0,112 0,1,11,再將它們單位化,(a, 3)(3, 3)Y, Y, Y即為所求.2.解：只需將再令 e1|q1q13.解：設(shè)(a, 3)(3, 3)0,1,1，

20、P1, P2標(biāo)準(zhǔn)正交化即可k1 ak2 (%2k4( 3 a)填空題1. (0, 1, 5);2.選擇題1. (C) ；2.三.計(jì)算題1e2 |q2q2k3 ak4 a取 q1P111, 2q20,1,12J,"，1.62,1,1，P2(P2,qJq1(qz)1,1,1 ，那么，那么e,e2即是所求的標(biāo)準(zhǔn)正交組3(3, a), k2 ( 3 a)7 a a).科技大學(xué)線性代數(shù)第三章自測(cè)題參考答案相關(guān); 3.(C) ；3.無關(guān);(C).1.解：對(duì)方程組的系數(shù)矩陣進(jìn)行初等行變換,T2,1,0,0 , £2,0,1,04.相關(guān);5.6.將其正交化，得:T2,1,0,0 ,(1，2

21、) (1, 1)1,2,0,1,0再標(biāo)準(zhǔn)化，得:e1T2,1,0,0e2I :315(2A5,0)T.k3(3, a)10，因此根底解系為T2,1,0,0-(2,4, 5,0)T ,1 2 11行10 032.解：由1232 2 1001 02 ,1 13100 12知1,2,3線性無關(guān)，從而為R3的一個(gè)基,并且3 12223.四.證明題證：設(shè) kk1 1 Lkn r n r0 ,貝U A(kk1 1L knr n r) A0 0 ,即有 kb 0 ,由 b 0 知 k 0 ,于是ki i L kn r n r 0 .又由1，2L , n r線性無關(guān)，知& L 心0，即，1, 2丄，n

22、 r線性無關(guān)科技大學(xué)線性代數(shù)檢測(cè)題§4.1參考答案一填空題1.1, 2, 3 ；2.1 ；3. 4， 1, 0 .二選擇題1. (C) ；2. (A)(提示：12 L n tr(A);不可逆陣必有特征值0).三計(jì)算題1P201所以對(duì)應(yīng)于 121的全部特征向量為k2 p2(K ,k2不同時(shí)為0).所以對(duì)應(yīng)于2.解：1時(shí)，解方程(E A)x 0 : E A,得根底解系P331的全部特征向量為k3 P3 (k3 0).2)2)(2)22) ( 1),所以矩陣A的特征值為1.122時(shí)，解方程(2E A)x2E,得根底解系0Pi0 11.解：丨E A0 1 0(1)2(1)，所以矩陣A的特征值

23、為12當(dāng)31時(shí)，解方程(E A)x 0 : E A 0 ,31 .1 01011010行當(dāng)121時(shí)，解方程(EA)x0 :E A000000，得根底解系P1110100001P20，所以對(duì)應(yīng)于122的全部特征向量為 &P1k2 P2 (匕出不同時(shí)為0).4111011行30010 ，得根底解系 P30，所1400013. 解：A 1的特征值為 2,4丄，2 n，因而A 1 3E的特征值為2 3,4 3,L ,2 n 3即1,1,L ,2 n 3，故A 1 3E ( 1) 1 L (2n 3)(2n 3)!.科技大學(xué)線性代數(shù)檢測(cè)題§4.2參考答案一填空題1. n! ;2. kE

24、 ；3. 充分，充要；4.5 ，6 .二選擇題1. (C) ；2. (D).三證明題A E A 0，從而A有三個(gè)不1.證：由E A、3E A、E A均不可逆，知行列式 E A |3E 同的特征值1、3、 1，因此A可以對(duì)角化.2.證：由 A可逆，知 BA (A 1A)BA A 1(AB)A，即 AB BA .四.計(jì)算題1 2 11.解：| E A 002(1)，特征值為 12 0,3 1 .0 012 1X0對(duì)于120 ,解方程組(A)x0 ,即00 0X20 ，得到特征向量TP12,1,0 ,00 0X30TP21,0,102 1x0對(duì)于31,解方程組(E A)x 0 ,即01 0X20,得到特征向量P3T1,0,0 .00 1X3021 10令P10 0，那么P可逆，且P1 AP001 012.解：E A3113(2)(4)，特征值為1 2 , 2 4 .對(duì)于12，解方程組(2 EA)x0 ,得特征向量P11 ;對(duì)于24，解方程組(4E A)x 0 ,得特征向量p21 1 1 令 P 11，那么 P AP科技大學(xué)線性代數(shù)檢測(cè)題§4.3參考答案一.填空題1. n k ；2. n ；3. 0.選擇題1. (A).三計(jì)算題1.解：對(duì)于解方程組(2EA)x0,即2)(4)，特