大學(xué)微積分l知識(shí)點(diǎn)總結(jié)二

1、【第五部分】不定積分1.書(shū)本知識(shí)(包含一些補(bǔ)充知識(shí))(1)原函數(shù)：F'(x)=f(x),xC I,則稱F(x)是f(x)的一個(gè)“原函數(shù)”。(2)若F (x)是f (x)在區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)，則f (x)在區(qū)間上的全體函數(shù) 為F (x) +c (其中c為常數(shù))(3)基本積分表x dxx 1 c1 , a為常數(shù))(4)零函數(shù)的所有原函數(shù)都是c(5) C代表所有的常數(shù)函數(shù)(6)運(yùn)算法則數(shù)乘運(yùn)算 a f (x) dx a f (x) dx一線性運(yùn)算 f(x) g(x) dxf (x) dx g(x) dx 一加減運(yùn)算(7)復(fù)合函數(shù)的積分：f (x) '(x) dx F (x) c，11

2、(8) 一般地，f(ax b) dx - f(ax b) d(ax b) F(ax b) c aaf(x b) dx F(x b) c(9)連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)，但是有原函數(shù)的函數(shù)不一定連續(xù)，沒(méi)有原函數(shù)的 函數(shù)一定不連續(xù)。(10)不定積分的計(jì)算方法湊微分法(第一換元法)，利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則變量代換法(第二換元法)，利用一階微分形式不變性分部積分法：【解釋：一階微分形式不變性】 釋義：函數(shù)對(duì)應(yīng)：y=f(u)說(shuō)明： 2-2 2(11) .c dx In"x a x cv'x2 a2(12)分段函數(shù)的積分例題說(shuō)明：max1,x2 dx(13)在做不定積分問(wèn)題時(shí)，若遇到求三角函數(shù)

3、奇次方的積分，最好的方法是 將其中的一(16)隱函數(shù)求不定積分例題說(shuō)明：(17)三角有理函數(shù)積分的萬(wàn)能變換公式(18)某些無(wú)理函數(shù)的不定積分歐拉變換(19)其他形式的不定積分2.補(bǔ)充知識(shí)(課外補(bǔ)充)【例談不定積分的計(jì)算方法】-1、不定積分的定義及一般積分方法2 、特殊類型不定積分求解方法匯總1、不定積分的定義及一般積分方法(1)定義：若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，則f(x)在區(qū)間I上存在原函數(shù)。其中(x)=F(x)+c o,(c 0為某個(gè)常數(shù))，則(x)=F(x)+c 0屬于函數(shù)族F(x)+c(2) 一般積分方法值得注意的問(wèn)題：第一，一般積分方法并不一定是最簡(jiǎn)便的方法， 要注意綜合使用各種積分

4、方 法，簡(jiǎn)便計(jì)算；第二，初等函數(shù)的原函數(shù)并不一定是初等函數(shù)，因此不一定都能 夠積出。不能用普通方法積出的積分：2、特殊類型不定積分求解方法匯總(1)多次分部積分的規(guī)律(3)簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分被積函數(shù)為簡(jiǎn)單式的有理式，可以通過(guò)根式代換化為有理函數(shù)的積分小結(jié)：幾分鐘含有根號(hào)，應(yīng)當(dāng)考慮采用合適的方法去掉根號(hào)再進(jìn)行計(jì)算。【第六部分】定積分 1.書(shū)本知識(shí)(包含一些補(bǔ)充知識(shí))(1)定義(12)幾種簡(jiǎn)化定積分的計(jì)算方法關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱區(qū)間上的函數(shù)的定積分1、若函數(shù)f(x)在區(qū)間 a,a上連續(xù)，則:af (x) dxa0a2 f(x) dx0當(dāng)f(x)為奇函數(shù)當(dāng)f(x)為偶函數(shù)設(shè)f(x)是周期為T的周期函數(shù)，且連

5、續(xù)。則:sinn x, cosn *在0,上的積分 2對(duì)于任意的自然數(shù)n(n 2),有:n 1 n 3122sinnx dx cosn x dxoo(n為偶數(shù))(n為奇數(shù)).nn222n1n32/.1nn23分的值無(wú)關(guān)，依然可以正常去求, (14)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化x cos把直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn)，x軸的正半軸作為極軸，并在兩種坐標(biāo)系中取相 同的長(zhǎng)度單位。設(shè)M是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，它的直角坐標(biāo)是(x,y),它的極坐標(biāo)是 (p ,0).則：y sin222x ytan - x 0 x(15)定積分中容易混淆的x與t的關(guān)系的問(wèn)題對(duì)于定積分，被積表達(dá)式中的無(wú)所謂t還是x,最后都會(huì)被積分上下限所替

6、 代。所以在變限函數(shù)積分的上下限中含 x的時(shí)候，被積表達(dá)式用t表示以示區(qū) 別。當(dāng)然如果此時(shí)被積表達(dá)式中含 x和t,在二者都有的情況下，則把x看成常 數(shù)提到外面或者換元換走x。例證：定積分證明問(wèn)題中關(guān)于x與t化簡(jiǎn)后的計(jì)算方法： 2.補(bǔ)充知識(shí)(課外補(bǔ)充)【積分中值定理及其應(yīng)用】積分中值定理是積分學(xué)的一個(gè)重要性質(zhì)。它建立了定積分與被積函數(shù)之間的 關(guān)系，從而使我們可以通過(guò)被積函數(shù)的性質(zhì)研究積分的性質(zhì)，有較高的理論價(jià)值 以及廣泛的應(yīng)用。一、積分中值定理的內(nèi)容定理：積分第一中值定理定理：推廣的積分第一中值定理二、積分中值定理的應(yīng)用由于該定理可以使積分符號(hào)去掉，從而使問(wèn)題簡(jiǎn)化，對(duì)于證明包含函數(shù)積分 和某個(gè)函

7、數(shù)之間的等式或不等式，?？梢钥紤]使用積分中值定理在應(yīng)用積分中值定理時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：在應(yīng)用中應(yīng)注意被積函數(shù)在區(qū)間a,b上這一連續(xù)條件，否則結(jié)論不一定會(huì)成立在定理中的g(x)在a,b上面不能變號(hào)，這個(gè)條件也不能去掉。定理中所指出的己并不一定是唯一的，也不一定必須是a,b內(nèi)的點(diǎn)下面就其應(yīng)用進(jìn)行討論( 1)估計(jì)定積分的值( 2)求含有定積分的極限說(shuō)明： 解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是用積分中值定理去掉積分符號(hào)。 在應(yīng)用該定理時(shí)，要注意中值己不僅依賴于積分區(qū)間，而且依賴于限式中n的趨近方式。(3)證明中值己的存在性命題說(shuō)明：在證明有關(guān)題設(shè)中含有抽象函數(shù)的定積分等式時(shí)，一般應(yīng)用積分中值定理。( 4)證明積分不等式說(shuō)明： 由于積分有許多特殊的運(yùn)算性質(zhì)， 故積分不等式的證明往往具有很強(qiáng)的技巧性。在證明含有定積分的不等式時(shí)，也常考慮使用積分中值定理，以便去掉積分符號(hào)。若被積函數(shù)是兩個(gè)函數(shù)之積時(shí)，可考慮使用廣義積分中值定理。( 5)證明函數(shù)的單調(diào)性三、積分中值定理的拓展( 1)第二積分中值定理如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上可積，而g(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)，則在a,b上至少存在一點(diǎn)使得：特