高等數(shù)學(xué)方明亮53定積分的換元法和分部積分法ppt課件

1、返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄第三節(jié)第三節(jié) 定積分的換元法和分部積分法定積分的換元法和分部積分法 第五章第五章 二、定積分的分部積分法二、定積分的分部積分法 不定積分不定積分一、定積分的換元法一、定積分的換元法 換元積分法換元積分法分部積分法分部積分法定積分定積分換元積分法換元積分法分部積分法分部積分法返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄一、定積分的換元法一、定積分的換元法 定理定理1 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù), ,)(baCxf單值函數(shù))(tx滿足:1), ,)(1Ct 2) 在,上,)(bta;)(,)(batfxxfbadd)()(t)(t證證: 所證等式兩邊被積函數(shù)都連續(xù)所證等式兩邊被積函數(shù)都連續(xù),

2、 因此積分都存在 ,且它們的原函數(shù)也存在 .,)()(的一個(gè)原函數(shù)是設(shè)xfxF是的原函數(shù) , 因此有那么baxxfd)()()(aFbF)(F)(Ftfd)(t)(tF)(tf)(t)(t那么返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄1) 當(dāng) , 即區(qū)間換為，時(shí),定理 1 仍成立 .2) 必需注意換元必?fù)Q限 , 原函數(shù)中的變量不必代回 .3) 換元公式也可反過來(lái)使用 , 即) )(tx令xxfbad)(或配元f)(t)(dt配元不換限配元不換限tfd)(t)(ttfxxfbadd)()(t)(ttfd)(t)(t說(shuō)明說(shuō)明: :返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄).0(d022axxaa解解: 令令,sin

3、tax 那么,dcosdttax ;0,0tx時(shí)當(dāng).,2tax時(shí) 原式 =2attad)2cos1 (2202)2sin21(22tta0242a20ttdcos222xayxoyaS且例例1補(bǔ)充題計(jì)算補(bǔ)充題計(jì)算返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄.d12240 xxx解解: 令令, 12 xt那么,dd,212ttxtx,0時(shí)當(dāng) x,4時(shí)x.3t 原式 =ttttd231212ttd)3(21312)331(213tt 13322; 1t且 例例2 （補(bǔ)充題計(jì)算（補(bǔ)充題計(jì)算返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄例例3 （補(bǔ)充題計(jì)算（補(bǔ)充題計(jì)算350sinsin.xxdx解解:35( )sinsinf

4、xxx32scosinxx350sinsinxxdx320ossincxxdx2320ssincoxdxx322sin( cos )xxxd3202sinsinxxd322sinsinxxd20522sin5x2522sin5x.54 返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄, ,)(aaCxf設(shè)證證:(1) 假設(shè), )()(xfxfaaaxxfxxf0d)(2d)(則xxfaad)(2) 假設(shè), )()(xfxf0d)(aaxxf則xxfad)(0 xxfad)(0ttfad)(0 xxfad)(0 xxfxfad )()(0,d)(20 xxfa時(shí))()(xfxf時(shí))()(xfxf,0偶倍奇零偶倍

5、奇零tx令例例4返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄( )da TTf xx0()daf tTt 0( )dattf 0( )daxxf 0( )d( )dTa Taf xxf xxT返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄二、定積分的分部積分法二、定積分的分部積分法 定理定理2 , ,)(, )(1baCxvxu設(shè)那么)()(d)()(xvxuxxvxubaabbaxxvxud)()(證證:)()()()( )()(xvxuxvxuxvxu)()(xvxuabxxvxuxxvxubabad)()(d)()(baxxvxud)()()()(xvxua

6、bbaxxvxud)()(上積分兩端在,ba返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄答案為答案為:2答案為答案為:42133244ee答案為答案為:1ln242答案為答案為:2答案為答案為:7返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄20dcosttn20dcosxxn20dsinxxInn證證: 令令20dcosxxn,22143231nnnn n 為偶數(shù),3254231nnnn n 為奇數(shù),2xt那么20dsinxxn022d)(sinttn令,sin1xun,sin xv 那么,cossin) 1(2xxnunxvcossincos1xxInn022022dcossin) 1(xxxnn0例例12 證明證

7、明返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2022dcossin) 1(xxxnInn2022d)sin1 (sin) 1(xxxnn2) 1(nInnIn) 1( 由此得遞推公式21nnnnII于是mI2mm21212mI122mm而0I20dx,220dsinxxInn201dsinxxI1故所證結(jié)論成立 .0I1I22mI2232mm42mI 214312mI1222mm32mI 3254返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié) 基本積分法基本積分法換元積分法換元積分法分部積分法分部積分法換元必?fù)Q限換元必?fù)Q限配元不換限配元不換限邊積邊代限邊積邊代限課后練習(xí)課后練習(xí)習(xí)題習(xí)題53 2偶數(shù)題）

8、；偶數(shù)題）；3奇數(shù)題）；奇數(shù)題）；4；5；7；8返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄思考與練習(xí)思考與練習(xí)1.提示提示: 令令, txu_d)(sindd0100ttxxx那么ttxxd)(sin0100ud0 xu100sinx100sin, 1 ,0)(連續(xù)在xf , 3)2(, 1)0(ff且,5)2( f求.d)2(10 xxfx 2. 設(shè)設(shè)解解: xxfxd)2(10)2(d2110 xfx(分部積分分部積分)10)2(21xfx xxfd)2(102510)2(41xf2返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄,0) 1 (,)(1fCtf,lnd)(31xttfx).(ef求解法解法131d)

9、(lnxttfx) 1 ()(3fxf)(3xf,3xu 令3ln)(uuf得uln3131)(ef解法解法2 對(duì)已知等式兩邊求導(dǎo),xxfx132)(3,3xu 令uuf31)(得) 1 (d)()(1fuufefeeuu1131d31考慮考慮: 若改題為xttfxlnd)(313?)(ef提示提示: 兩邊求導(dǎo)兩邊求導(dǎo), 得得331)(xxfexxfef1d)()(得3. 設(shè)設(shè)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄證：證：2dsin)(xxxxxf是以是以 為周期的函數(shù)為周期的函數(shù).2dsin)(xxuuxf tu令2d)sin(xxtt2dsinxxtt2dsinxxxx)(xf)(xf是以是以 為周期的周期函數(shù)為周期的周期函數(shù).4. 證明證明返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄解：解： 右端右端,)(上有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)在設(shè)baxf)(af且試證