湖北省洪湖市曹市鎮(zhèn)慶豐中學(xué)鄧志超（教學(xué)論文）

1、三角形的邊與角一章中，關(guān)系角之間的計算規(guī)律微探湖北省洪湖市曹市鎮(zhèn)慶豐中學(xué)鄧志超在教學(xué)三角形的邊與角一章時，有幾類與三角形的邊與角有關(guān)的題型，這些題目都有比較明顯規(guī)律可循，特別是在學(xué)生做選擇填空題時，更可以大大提高解答的速度，在解答題中，也可為學(xué)生指明分析的方向，并可以作為判斷解題的結(jié)果正確與否的依據(jù)。對于三角形的角之間的關(guān)系，最根本的依據(jù)是三角形的內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和等于180º；三角形內(nèi)角和定理的推論：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；與之有關(guān)的即特殊的三角形直角三角形中兩個銳角互余及有兩個角互余的三角形是直角三角形。以此為基礎(chǔ)的相關(guān)題目中，能找出規(guī)律的最典型的題目如

2、下：一、三角形中，過同一頂點的高與角平分線夾角的計算。題目一：（2010年春 相城區(qū)期末）如圖1-1，ABC中，AD是BC邊上的高，AE是三角形BAC的角平分線.（1）若B=40°，C=70°，則DAE為多少度？（2）若B=，C=，且>，請用和表示出DAE.題目二：（2014年秋 中江縣期中）如圖1-2，ABC中，AD是BC邊上的高，AE是三角形BAC的角平分線.（1）若B=40°，ACB=110°，則DAE為多少度？（2）若B=，ACB=，且>，請用和表示出DAE.圖1-2圖1-1在題目一中，第（1）題可利用三角形的內(nèi)角和等于180

3、6;，在已知B=40°，C=70°，可先求BAC=70°，再利用AE是BAC的角平分線，可求EAC=35°，在RtADC中，利用直角三角形中兩個銳角互余且C=70°，可求出DAC20°，從而可求DAE=15 °本題利用了三角形內(nèi)角和定理、角平分線定理同理，第（2）題可以按同樣的方法得出：DAE（）.題目二也可利用同樣的方法得出：DAE（）.由解答過程可知總體的規(guī)律：在三角形中，過同一頂點的角平分線與高的夾角，等于過另兩個頂點的內(nèi)角差的一半。二、三角形外角知識運用中的角的計算。（1）翻折后所構(gòu)成的夾角和問題。（2012 北辰區(qū)

4、一模）如圖2，ABC中，A=50°，點E、F在AB、AC上，沿EF向內(nèi)折疊AEF，得DEF，求圖中1+2的度數(shù).圖2因為翻折前后，圖形的形狀和大小均未改變，所以AD，先連接AD得到兩個三角形：AED和AFD，可利用三角形內(nèi)角和定理的推論得出結(jié)論：1+22A100°. 不難看出，如果將A=50°換成A=，則1+22，即三角形的一角沿某條直線翻折后，原來的兩邊分成的兩條線段構(gòu)成的夾角之和，等于這個角翻折前的兩倍.（2）等腰三角形中等角的運用。（2006 江陰市自主招生）如圖3-1，在ABC中，ABAC，BAD20°，且AEAD，求CDE的度數(shù).圖3-1圖3-

5、2在小學(xué)階段，學(xué)生已明白等腰三角形的兩個底角相等，因而在本題的計算過程中，已能加以運用，所以，如圖42中，學(xué)生已能找到相關(guān)的等式：BC，23，再利用三角形內(nèi)角和定理的推論可得出：31+C （）；1+2B+4（）.由這幾式之間的關(guān)系可得1+1+CC+4，整理可得421，即2120°，故110°，正好是BAD度數(shù)的一半。不過，若題目中條件不變，若點D在BC的延長線或反向延長線上，如圖3-3和圖3-4，結(jié)論是否仍然成立呢？經(jīng)過同樣方法的推理，可以發(fā)現(xiàn)，圖3-3中，BAD與CDE同樣滿足這一條件，即BAD2CDE。不過，當(dāng)點D在BC的延長線上時，解答如下：如圖3-5，在ABC中，5

6、180°23 在CDE中，41+E1+（1+2）21+2 在ACD中，6180°24180°2 （21+2）180°2122 在ECD中，DCE180°1（1+2）180°2123 5180°2（180°212）41+22180° 由+可得 5+621，即BAD2CDE.圖3-5圖3-4圖3-3因而，不管BAD的大小如何變化，學(xué)生都能一口氣回答出CDE的度數(shù)，即在等腰ABC中，ABAC，若點D為邊BC所在直線上的一點，點E為射線AC上一點，且當(dāng)ADAE時，BAD2CDE.三、“8字型”的兩個三角形之間內(nèi)角

7、和的關(guān)系計算及運用。如圖4-1，線段AB、CD相交于點O，連接AD、CB，我們把形圖4-1的圖形稱之為“8字形”圖4-2圖4-1利用三角形內(nèi)角和定理不難得出，A+DC+B，雖然看起來這個結(jié)論很簡單，但在后續(xù)的學(xué)習(xí)中，“8字型”的圖形會經(jīng)常得到運用，特別是在比較復(fù)雜的幾何圖形中，包括與平面直角坐標(biāo)系結(jié)合的相關(guān)題目中。這里只舉一個與八年級上冊有關(guān)的一個題目：如圖4-2，在圖4-1的條件下，DAB和BCD的平分線AP和CP相交于點P，并且與CD、AB分別相交于M、N試解答下列問題：（1）在圖4-2中，若DAO=50°，OCB=40°，P=35°，試求D的度數(shù)；（2）在圖

8、4-2中，若設(shè)D=，B=，其它條件不變，試求P的度數(shù)其解答過程如下：解：（1）由題可知，12DAO=25°，34OCB=20°， 在ADM和CPM中，（“8字型”） 1+D+AMD=3+P+CMP， AMD =CMP，（對頂角相等）1+D =3+P D =3+P120°+35°25°30°；（2）AP、CP是DAB、BCD的平分線，1=2，3=4，在ADM和CPM中，（“8字型”）AMD=CMP，（對頂角相等）1+D+AMD =3+P+CMP，1+D=3+P，31=DP；同理，在APN和CBN中，（“8字型”）2+P=4+B，42=P

9、B；D-P=P-B，P=（D+B）；即P=（+）結(jié)論：在“8字型”的兩個三角形中，除對頂角外的另兩角和相等。四、三角形內(nèi)角和定理在凹四邊形外角計算中的運用。在初中階段研究四邊形，若沒特別說明，均是凸四邊形，但也有一個特例，它就是與三角形內(nèi)角和定理有關(guān)的一種四邊形，學(xué)生們喜歡稱其為“飛鏢形”。題目一：（2001 呼和浩特）如圖5-1，在ABC中，A50°，D是ABC內(nèi)的一點，且120°，230°.求BDC的度數(shù).圖5-4圖5-3圖5-2圖5-1如圖5-2，延長BD交AC于點E，則可利用三角形內(nèi)角和定理的推論得出BDCDEC+21+A+220°+50

10、6;+30°100°如果在圖5-1中，擦去線段BC，就成了圖5-3，也就是學(xué)生們稱之為“飛鏢形”的圖形，在求其外角BDC的度數(shù)時，學(xué)生即可一口氣回答出結(jié)果了。其變式題略舉一例：（2010 梅州模擬）如圖5-4，求A+B+C+D+E的度數(shù)和.“飛鏢形”凹角的計算規(guī)律：“飛鏢形”的凹角的度數(shù)等于與它不相鄰的三個內(nèi)角之和。五、與三角形的角平分線間的夾角的計算。1、三角形的內(nèi)角平分構(gòu)成的夾角計算。圖6（人教版數(shù)學(xué)教材<2013年審訂>八年級上冊P17第9題）如圖6，12，34，A100°.求x的值.本題中，利用三角形的內(nèi)角和得：1+2+3+4+A180

11、6;，變形得22+2480°，2+440°，故x140.若原題中其它條件不變，令A(yù)，那么x也可用含的代數(shù)式表示出來，不難得出x°90°+.2、三角形的一個內(nèi)角平分與一個外角平分線所構(gòu)成的夾角計算。（2013春 吉州區(qū)期末）如圖7-1，在ABC中，內(nèi)角平分線AP和外角平分線CP相交于點P，若BAC50°，求P的度數(shù).由圖7-2可知，3+4A+1+2，34，12，24A+22，那么4A+2，由三角形內(nèi)角和定理的推論可得4P+2，PA25°.由此可知，若A，則BAC的平分線與ACB的外角平分線的夾角P.圖7-2圖7-1其變式題略舉一例：（2

12、014春 張家港初一期末）如圖7-3所示，ABC中，A=96°（1）BA1平分ABC，CA1平分ACD，請你求A1的度數(shù)；（2）BA2平分A1BC，CA2平分A1CD，請你求A2的度數(shù)；（3）依此類推，直接寫出An與A的關(guān)系式；（4）如圖7-4，小明同學(xué)用下面的方法畫出了角：作兩條互相垂直的直線MN、PQ，垂足為O，作PON的角平分線OE，點A、B分別是OE、PQ上任意一點，再作ABP的平分線BD，BD的反向延長線交OAB的平分線于點C，那么C就是所求的角，求的度數(shù)圖7-3圖7-43、三角形的兩個外角平分線所構(gòu)成的夾角計算。（菁優(yōu)網(wǎng)）如圖8-1，在ABC中，A，ABC的外角平分線與A

13、CB的外角平分線交于點O，求O與BAC的關(guān)系. 如圖8-2，1+2A+6，4+5A+3，1+2+4+5A+3+A+6，即22+252A+3 +6，3 +6180°A，22+25180°+A，即2+590°+A，O180°（90°+A）90°A90°.圖8-2圖8-1從以上三道例題不難看出，三角形的內(nèi)、外角平分線的夾角有如下規(guī)律：當(dāng)一內(nèi)角的度數(shù)為時：另兩內(nèi)角的平分所構(gòu)成的夾角度數(shù)為90°+；另一內(nèi)角與第三個角的外角平分線的夾角度數(shù)為 ；另兩外角的平分線所構(gòu)成的夾角度數(shù)為90°.當(dāng)然，與三角形的角有關(guān)的計算還有許多