復(fù)變函數(shù)習(xí)題答案習(xí)題詳解

1、第三章習(xí)題詳解1 沿下列路線計(jì)算積分。1) 自原點(diǎn)至的直線段；解：連接自原點(diǎn)至的直線段的參數(shù)方程為： 2) 自原點(diǎn)沿實(shí)軸至，再由鉛直向上至；解：連接自原點(diǎn)沿實(shí)軸至的參數(shù)方程為： 連接自鉛直向上至的參數(shù)方程為： 3) 自原點(diǎn)沿虛軸至，再由沿水平方向向右至。解：連接自原點(diǎn)沿虛軸至的參數(shù)方程為： 連接自沿水平方向向右至的參數(shù)方程為： 2 分別沿與算出積分的值。解： 而3 設(shè)在單連通域內(nèi)處處解析，為內(nèi)任何一條正向簡(jiǎn)單閉曲線。問(wèn)，是否成立？如果成立，給出證明；如果不成立，舉例說(shuō)明。解：不成立。 例如：，4 利用在單位圓上的性質(zhì)，及柯西積分公式說(shuō)明，其中為正向單位圓周。解： 5 計(jì)算積分的值，其中為正向圓

2、周：1) ；解：在上， 解：在上， 6 試用觀察法得出下列積分的值，并說(shuō)明觀察時(shí)所依據(jù)的是什么？是正向的圓周。解：在內(nèi)解析，根據(jù)柯西古薩定理，解：在內(nèi)解析，根據(jù)柯西古薩定理，解：在內(nèi)解析，根據(jù)柯西古薩定理，解：在內(nèi)解析，在內(nèi)，解：在內(nèi)解析，根據(jù)柯西古薩定理，解：在內(nèi)解析，在內(nèi)，7 沿指定曲線的正向計(jì)算下列各積分：1) ，：解：在內(nèi)，在解析，根據(jù)柯西積分公式：2) ，：解：在內(nèi)，在解析，根據(jù)柯西積分公式：3) ，：解：在內(nèi)，在解析，根據(jù)柯西積分公式：4) ，：解：不在內(nèi)，在解析，根據(jù)柯西古薩定理：5) ，：解：在解析，根據(jù)柯西古薩定理：6) ，：為包圍的閉曲線解：在解析，根據(jù)柯西古薩定理：7)

3、，：解：在內(nèi)，在解析，根據(jù)柯西積分公式：8) ，：解：在內(nèi)，在解析，根據(jù)柯西積分公式：9) ，：解：在內(nèi)，在解析，根據(jù)高階導(dǎo)數(shù)公式：10) ，：解：在內(nèi)，在解析，根據(jù)高階導(dǎo)數(shù)公式：8 計(jì)算下列各題：解：1) ；解：2) ；解：3) ；解：4) ；解：5) （沿到的直線段）。解：9 計(jì)算下列積分：1) ，（其中：為正向）；解：2) ，（其中：為正向）；解：3) ，（其中：為正向，：為負(fù)向）；解：在所給區(qū)域是解析的，根據(jù)復(fù)合閉路定理：4) ，：（其中為以，為頂點(diǎn)的正向菱形）；解：在所給區(qū)域內(nèi)，有一孤立奇點(diǎn)，由柯西積分公式：5) ，（其中為的任何復(fù)數(shù)，：為正向）。解：當(dāng)，在所給區(qū)域內(nèi)解析，根據(jù)柯西古

4、薩基本定理： 當(dāng)，在所給區(qū)域內(nèi)解析，根據(jù)高階導(dǎo)數(shù)公式：10 證明：當(dāng)為任何不通過(guò)原點(diǎn)的簡(jiǎn)單閉曲線時(shí)，。證明：當(dāng)所圍成的區(qū)域不含原點(diǎn)時(shí)，根據(jù)柯西古薩基本定理：； 當(dāng)所圍成的區(qū)域含原點(diǎn)時(shí)，根據(jù)高階導(dǎo)數(shù)公式：；11 下列兩個(gè)積分的值是否相等？積分2)的值能否利用閉路變形原理從1)的值得到？為什么？解：1）； 2） 由此可見(jiàn)，1）和2）的積分值相等。但2）的值不能利用閉路變形原理從1）得到。因?yàn)樵趶?fù)平面上處處不解析。12 設(shè)區(qū)域?yàn)橛野肫矫?，為?nèi)圓周上的任意一點(diǎn)，用在內(nèi)的任意一條曲線連接原點(diǎn)與，證明。提示：可取從原點(diǎn)沿實(shí)軸到，再?gòu)难貓A周到的曲線作為。證明：因?yàn)樵趦?nèi)解析，故積分與路徑無(wú)關(guān)，取從原點(diǎn)沿實(shí)軸到

5、，再?gòu)难貓A周到的曲線作為，則：13 設(shè)和為相交于、兩點(diǎn)的簡(jiǎn)單閉曲線，它們所圍的區(qū)域分別為與。與的公共部分為。如果在與內(nèi)解析，在、上也解析，證明：。證明：如圖所示，在與內(nèi)解析，在、上也解析，由柯西古薩基本定理有：14 設(shè)為不經(jīng)過(guò)與的正向簡(jiǎn)單閉曲線，為不等于零的任何復(fù)數(shù)，試就與跟的不同位置，計(jì)算積分的值。解：分四種情況討論：1） 如果與都在的外部，則在內(nèi)解析，柯西古薩基本定理有2） 如果與都在的內(nèi)部，由柯西積分公式有3） 如果在的內(nèi)部，都在的外部，則在內(nèi)解析，由柯西積分公式有4） 如果在的外部，都在的內(nèi)部，則在內(nèi)解析，由柯西積分公式有15 設(shè)與為兩條互不包含，也不相交的正向簡(jiǎn)單閉曲線，證明證明：因

6、為與為兩條互不包含，也不相交，故與只有相離的位置關(guān)系，如圖所所示。1） 當(dāng)在內(nèi)時(shí)，在內(nèi)解析，根據(jù)柯西古薩基本定理以及柯西積分公式：2） 當(dāng)在內(nèi)時(shí)，在內(nèi)解析，根據(jù)柯西古薩基本定理以及柯西積分公式：16 設(shè)函數(shù)在內(nèi)解析，且沿任何圓周：，的積分等于零，問(wèn)是否必需在處解析？試舉例說(shuō)明之。解：不一定。例如：在處不解析，但。17 設(shè)與在區(qū)域內(nèi)處處解析，為內(nèi)的任何一條簡(jiǎn)單閉曲線，它的內(nèi)部全含于。如果在上所有的點(diǎn)處成立，試證在內(nèi)所有的點(diǎn)處也成立。證明：設(shè)是內(nèi)任意一點(diǎn)，因?yàn)榕c在及內(nèi)解析，由柯西積分公式有： ， 又在上所有的點(diǎn)處成立，故有： 即在內(nèi)所有的點(diǎn)處成立。18 設(shè)區(qū)域是圓環(huán)域，在內(nèi)解析，以圓環(huán)的中心為中心

7、作正向圓周與，包含，為，之間任一點(diǎn)，試證仍成立，但要換成。證明：19 設(shè)在單連通域內(nèi)處處解析，且不為零，為內(nèi)任何一條簡(jiǎn)單閉曲線。問(wèn)積分是否等于零？為什么？解：因?yàn)樵趩芜B通域內(nèi)處處解析且不為零，又解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是解析函數(shù)，故在內(nèi)處處解析。根據(jù)柯西古薩基本定理，有20 試說(shuō)明柯西古薩基本定理中的為什么可以不是簡(jiǎn)單閉曲線？解：如不是簡(jiǎn)單閉曲線，將分為幾個(gè)簡(jiǎn)單閉曲線的和。如，則，是簡(jiǎn)單閉曲線。21 設(shè)在區(qū)域內(nèi)解析，為內(nèi)的任意一條正向簡(jiǎn)單閉曲線，證明：在對(duì)內(nèi)但不在上的任意一點(diǎn)，等式成立。證明：分兩種情況：1） 如果在的外部，和在內(nèi)解析，故2） 如果在的內(nèi)部，在內(nèi)解析的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)仍是內(nèi)的解析函數(shù)，

8、根據(jù)柯西積分公式有：由高階導(dǎo)數(shù)公式有：22 如果和都具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且適合拉普拉斯方程，而，那末是的解析函數(shù)。證明： ， ，又和都具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，所以混合偏導(dǎo)相等，即，。和滿(mǎn)足拉普拉斯方程：，故是的解析函數(shù)。23 設(shè)為區(qū)域內(nèi)的調(diào)和函數(shù)及，問(wèn)是不是內(nèi)的解析函數(shù)？為什么？解：設(shè)，則， ， ， 因?yàn)闉閰^(qū)域內(nèi)的調(diào)和函數(shù)，具有二階連續(xù)偏導(dǎo)且滿(mǎn)足拉普拉斯方程 ， 是內(nèi)的解析函數(shù)。24 函數(shù)是的共軛調(diào)和函數(shù)嗎？為什么？解：， ， 故函數(shù)不是的共軛調(diào)和函數(shù)。25 設(shè)和都是調(diào)和函數(shù)，如果是的共軛調(diào)和函數(shù)，那末也是的共軛調(diào)和函數(shù)。這句話對(duì)嗎？為什么？解：這句話不對(duì)。如果是的共軛調(diào)和函數(shù)，則是解析函數(shù)，滿(mǎn)足

9、柯西黎曼方程： ， ， 即是的共軛調(diào)和函數(shù)，就不是的共軛調(diào)和函數(shù)。26 證明：一對(duì)共軛調(diào)和函數(shù)的乘積仍為調(diào)和函數(shù)。證明：27 如果是一解析函數(shù)，試證：1) 也是解析函數(shù)；證明：2) 是的共軛調(diào)和函數(shù)；證明：3) 。證明：28 證明；和都是調(diào)和函數(shù)，但是不是解析函數(shù)。證明29 求具有下列形式的所有調(diào)和函數(shù)：1) ，與為常數(shù)；解：2) 。提示：1)l令，因，從而有；2)令。解：30 由下列各已知調(diào)和函數(shù)求解析函數(shù)。1) ；解：2) ，；解：3) ，；解：4) ，。解：31 設(shè)，求的值使為調(diào)和函數(shù)，并求出解析函數(shù)。解：32 如果是區(qū)域內(nèi)的調(diào)和函數(shù)，為內(nèi)以為中心的任何一個(gè)正向圓周：，它的內(nèi)部全含于。試證：提示：利用平均值公式。1) 在的值等于在圓周上的平均值，即；證明：2) 在的值等于，在圓域上的平均值，即。證明：33 如果在區(qū)域內(nèi)處處解析，為的正向圓周：，它的內(nèi)部全含于。設(shè)為內(nèi)一點(diǎn)，并令，試證。證明：34 根據(jù)柯西積分公式與習(xí)題33的結(jié)果，證明，其中為。證明：35 如果令，驗(yàn)證。并由34題的結(jié)果，證明。取其實(shí)部，得。這個(gè)積分稱(chēng)為泊松積分。通過(guò)這個(gè)積分，一個(gè)調(diào)和函數(shù)在一個(gè)圓內(nèi)的值可用它在圓周上的值來(lái)表示。證明：36 設(shè)在簡(jiǎn)單閉曲線內(nèi)及上