多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用習(xí)題及答案

1、第八章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用(A)1填空題(1)若在區(qū)域上的兩個(gè)混合偏導(dǎo)數(shù)， ，則在上， 。(2)函數(shù)在點(diǎn)處可微的 條件是在點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)存在。(3)函數(shù)在點(diǎn)可微是在點(diǎn)處連續(xù)的 條件。2求下列函數(shù)的定義域(1)；(2)3求下列各極限(1)； (2)； (3) 4設(shè)，求及。5求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)(1)；(2)；(3)。6設(shè)，求全導(dǎo)數(shù)。7設(shè)，求。8曲線，在點(diǎn)(2,4,5)處的切線對(duì)于軸的傾角是多少？9求方程所確定的函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)。10設(shè)，求所有二階偏導(dǎo)數(shù)。11設(shè)是由方程確定的隱函數(shù)，求，。12設(shè)，求。13設(shè)是由方程確定的隱函數(shù)，求，。14設(shè)，求全微分。15求函數(shù)在點(diǎn)的全微分。16利用全微分求的近似值。

2、17求拋物面與拋物柱面的交線上的點(diǎn)處的切線方程和平面方程。18求曲面上點(diǎn)處的切平面方程和法線方程。19求曲線，上點(diǎn)，使在該點(diǎn)處曲線的切線平行于平面。20求函數(shù)的極值。21求函數(shù)的極值。22要建造一個(gè)容積為10立方米的無(wú)蓋長(zhǎng)方體貯水池，底面材料單價(jià)每平方米20元，側(cè)面材料單價(jià)每平方米8元。問(wèn)應(yīng)如何設(shè)計(jì)尺寸，方便材料造價(jià)最?。?(B)1求下列函數(shù)的定義域(1)；(2)2(1)設(shè)，求，。 (2)設(shè)，求3求下列函數(shù)的極限(1)；(2) 4設(shè)，問(wèn)是否存在？5討論函數(shù)的連續(xù)性，其中。6二元函數(shù)在點(diǎn)處：連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)存在；連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)不存在；不連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)存在；不連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)不存在。7設(shè)，求，。8設(shè)，求，。9

3、設(shè)，求，。10設(shè)，可微，求。11設(shè)，求，。12設(shè)，求。13設(shè)可微，求全微分。14設(shè)是由方程所確定的隱函數(shù)，其中具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，求，并由此求和。15求的偏導(dǎo)數(shù)。16設(shè)，求，。17設(shè)，求。18求函數(shù)在點(diǎn)處沿從點(diǎn)到點(diǎn)方向的方向?qū)?shù)。19求函數(shù)在點(diǎn)沿，在此 點(diǎn)的切線方向上的方向?qū)?shù)。20求函數(shù)在點(diǎn)處沿方向的方向?qū)?shù)。21判斷題：(簡(jiǎn)單說(shuō)明理由)(1)就是在處沿軸的方向?qū)?shù)。 (2)若在處的偏導(dǎo)數(shù)，存在，則沿任一方向的方向?qū)?shù)均存在。22證明曲面上任意一點(diǎn)的切平面在坐標(biāo)軸上的截距的平方為常數(shù)。23證明：球面：上任意一點(diǎn)處的法線都經(jīng)過(guò)球心。24求橢球面上的一點(diǎn)處的切平面與平面的交角。25設(shè)，都是，的函數(shù)

4、，的各偏導(dǎo)數(shù)都存在且連續(xù)，證明： 26問(wèn)函數(shù)在處沿什么方向的方向?qū)ё畲?，并求此方向?qū)?shù)的最大值。27求內(nèi)接于橢球面的最大長(zhǎng)方體的體積。28某公司通過(guò)報(bào)紙和電視傳媒做某種產(chǎn)品的促銷(xiāo)廣告，根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料，銷(xiāo)售收入與報(bào)紙廣告費(fèi)及電視廣告費(fèi)(單位：萬(wàn)元)之間的關(guān)系有如下經(jīng)驗(yàn)公式：，在限定廣告費(fèi)為1.5萬(wàn)元的情況下，求相應(yīng)的最優(yōu)廣告策略。29求函數(shù)的階麥克勞林公式，并寫(xiě)出余項(xiàng)。30利用函數(shù)的2階泰勒公式，計(jì)算的近似值。 (C)1證明。2設(shè)，其中在點(diǎn)，鄰域內(nèi)連續(xù)，問(wèn)(1)在什么條件下，偏導(dǎo)數(shù)，存在；(2)在什么條件下，在處可微。3設(shè)而為由方程所決定的函數(shù)，且是可微的，試求。4設(shè)由確定，求。5從方程組中求出，

5、。6設(shè)，且，試確定常數(shù)，使函數(shù)能滿足方程：。7證明：旋轉(zhuǎn)曲面上任一點(diǎn)處的法線與旋轉(zhuǎn)軸相交。8試證曲面()上任何點(diǎn)處的切平面在各坐標(biāo)軸上的截距之和等于。9拋物面被平面截成一橢圓，求原點(diǎn)到這橢圓的最長(zhǎng)與最短距離。10設(shè)軸正向到方向的轉(zhuǎn)角為，求函數(shù)在點(diǎn)沿方向的方向?qū)?shù)，并分別確定轉(zhuǎn)角，使這導(dǎo)數(shù)有(1)最大值；(2)最小值；(3)等于0。第八章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用(A)1填空題(1)若在區(qū)域上的兩個(gè)混合偏導(dǎo)數(shù)， 連續(xù) ，則在上， 。(2)函數(shù)在點(diǎn)處可微的 必要 條件是在點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)存在。 y O (0,1) x圖1(3)函數(shù)在點(diǎn)可微是在點(diǎn)處連續(xù)的 充分 條件。2求下列函數(shù)的定義域(1)解：設(shè)定義域

6、為，由和，即，得，如圖1所示(2)解：設(shè)定義域?yàn)?，由，即，不同時(shí)為零，且，即 ，得。3求下列各極限(1) (2)解：原式 解：原式(3) 解：原式 4設(shè)，求及解：，5求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)(1)解： 類(lèi)似地(2)解： 同理可證得：(3)解：6設(shè)，求全導(dǎo)數(shù)。解：， ， 依復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，全導(dǎo)數(shù)為7設(shè)，求。解：8曲線，在點(diǎn)(2,4,5)處的切線對(duì)于軸的傾角是多少？解：，故。9求方程所確定的函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)。解：關(guān)于求導(dǎo)，得到，即關(guān)于求導(dǎo)，有，即。10設(shè)，求所有二階偏導(dǎo)數(shù)。解：先求一階偏導(dǎo)數(shù)，得，再求二階偏導(dǎo)數(shù)，得 ， ， ，11設(shè)是由方程確定的隱函數(shù)，求，。解一：記，則 ， 當(dāng)時(shí)，便得， 。解二：（提示

7、）直接對(duì)方程兩邊求偏導(dǎo)數(shù)，并明確是、的函數(shù)，即可得，。12設(shè)，求。解：令，則，則 。13設(shè)是由方程確定的隱函數(shù)，求，。解：方程兩邊對(duì)求偏導(dǎo)數(shù)，有 ，即 解得 類(lèi)似地，方程兩邊對(duì)求偏導(dǎo)數(shù)，解得 再求二階混合偏導(dǎo)數(shù)，得 把上述的結(jié)果代入，便得：。14設(shè)，求全微分。解：由于，所以全微分為 。15求函數(shù)在點(diǎn)的全微分。解：， 所以。16利用全微分求的近似值。解：設(shè)，則全微分 由近似關(guān)系，得 上式中取，得 因此，所求近似值。17求拋物面與拋物柱面的交線上的點(diǎn)處的切線方程和平面方程。解：交線方程，只要取作參數(shù)，得參數(shù)方程：則有，于是交線在點(diǎn)處的切線向量為。切線向量為法平面方程為，即。18求曲面上點(diǎn)處的切平面

8、方程和法線方程。解：記，則，于是曲面在點(diǎn)處的法線向量為從而，切平面方程為，即，法線方程為。19求曲線，上點(diǎn)，使在該點(diǎn)處曲線的切線平行于平面。解：曲線在點(diǎn)處的切線方程為又切線與平面平行，即切線的方向向量和平面的法向量垂直，應(yīng)有，即，得所以點(diǎn)的坐標(biāo)為。20求函數(shù)的極值。解：解方程組，求得駐點(diǎn)，由于，所以在點(diǎn)處，函數(shù)取得極大值，極大值為。21求函數(shù)的極值。解：解方程組，得駐點(diǎn)。由于，在點(diǎn)處，所以函數(shù)在點(diǎn)處取得極小值，極小值為。22要建造一個(gè)容積為10立方米的無(wú)蓋長(zhǎng)方體貯水池，底面材料單價(jià)每平方米20元，側(cè)面材料單價(jià)每平方米8元。問(wèn)應(yīng)如何設(shè)計(jì)尺寸，方便材料造價(jià)最??？解：設(shè)水池的長(zhǎng)為米，寬為米，高為米，

9、則材料造價(jià)為，(，)，<*1>且，必須滿足， <*2>從<*2>解出代入<*1>，得，(，)，于是問(wèn)題就成為求當(dāng)，時(shí)的最小值，由極值的必要條件，有解此方程組得。據(jù)題意存在最小造價(jià)，而，是唯一駐點(diǎn)，所以當(dāng)，時(shí)，水池的材料造最小。(B)1求下列函數(shù)的定義域(1)解：設(shè)定義域。使有意義的區(qū)域?yàn)椋?，即，使有意義的區(qū)域?yàn)椋?，即。故定義域。如圖2 (2)解：設(shè)定義域?yàn)椤Ｓ筛叫再|(zhì)可知，必須，且，即或解得：0 0 1 y y 1.5 x x 3 0圖2。如圖32(1)設(shè)，求，。解：設(shè)，則得由此從而(2)設(shè)，求解：.3求下列函數(shù)的極限(1)解：原式(2) 解：原

10、式4設(shè)，問(wèn)是否存在？解：取沿直線的途徑，當(dāng)時(shí)，有，沿拋物線的途徑，當(dāng)時(shí)，有可見(jiàn)，沿兩條不同的途徑，函數(shù)的極限不同，故極限不存在。5討論函數(shù)的連續(xù)性，其中。解：在處，所以在處連續(xù)若，則取路徑，則因此，間斷點(diǎn)為直線，除以外的其他點(diǎn)。6二元函數(shù)在點(diǎn)處：連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)存在；連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)不存在；不連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)存在；不連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)不存在。解：應(yīng)選事實(shí)上，由于，隨的值不同而改變，所以極限不存在，因而在點(diǎn)處不連續(xù)，又，類(lèi)似地，所以在處的偏導(dǎo)數(shù)存在。7設(shè)，求，。解：令，于是，得，。8設(shè)，求，。解：，。9設(shè)，求，。解：，。10設(shè)，可微，求。解：，先求，所以。11設(shè)，求，。解：關(guān)于求導(dǎo)，而，得即 (*)得：相仿地，可

11、得。12設(shè)，求。解：令，于是在處。13設(shè)可微，求全微分。解： 。14設(shè)是由方程所確定的隱函數(shù)，其中具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，求，并由此求和。解：方程兩邊求全微分，得，即，即 ，當(dāng)時(shí)，解出由此得到，。15求的偏導(dǎo)數(shù)。解：令，則，是，的復(fù)合函數(shù)。，于是，16設(shè)，求，。解：所給方程組確定兩個(gè)一元隱函數(shù)：和，將所給方程的兩邊對(duì)求導(dǎo)，得在的條件下，。17設(shè)，求。解：， .18求函數(shù)在點(diǎn)處沿從點(diǎn)到點(diǎn)方向的方向?qū)?shù)。解：，,，。因?yàn)樗浴?9求函數(shù)在點(diǎn)沿，在此 點(diǎn)的切線方向上的方向?qū)?shù)。解：因曲線過(guò)點(diǎn)，所以，切線的方向余弦為，又，類(lèi)似地，故。20求函數(shù)在點(diǎn)處沿方向的方向?qū)?shù)。解：，由，曲面的外側(cè)法線向量為則 。21

12、判斷題：(簡(jiǎn)單說(shuō)明理由)(1)就是在處沿軸的方向?qū)?shù)。解：錯(cuò)。因前者是雙側(cè)極限，后者是單側(cè)極限。(2)若在處的偏導(dǎo)數(shù)，存在，則沿任一方向的方向?qū)?shù)均存在。解：錯(cuò)。由于偏導(dǎo)數(shù)僅刻畫(huà)了在處沿軸或軸的變化率，要確定函數(shù)處沿任一方向的變化率，還應(yīng)要求此函數(shù)在處可微。22證明曲面上任意一點(diǎn)的切平面在坐標(biāo)軸上的截距的平方為常數(shù)。證：令。由于曲面的法向量是，故曲面上任一點(diǎn)處法線方向向量為，設(shè)為點(diǎn)處切平面上任一點(diǎn)，則切平面方程為，即，其截距式為，由此得截距的平方和為：。23證明：球面：上任意一點(diǎn)處的法線都經(jīng)過(guò)球心。證：令，則，法線方程為：，于是任一法線都過(guò)原點(diǎn)。24求橢球面上的一點(diǎn)處的切平面與平面的交角。解：

13、設(shè)，則法向量為，在處的法向量。又平面的法向量，由平面夾公式：，即。25設(shè)，都是，的函數(shù)，的各偏導(dǎo)數(shù)都存在且連續(xù)，證明：。證：26問(wèn)函數(shù)在處沿什么方向的方向?qū)ё畲螅⑶蟠朔较驅(qū)?shù)的最大值。解： 是方向?qū)?shù)最大值的方向。 是此方向?qū)?shù)的最大值。27求內(nèi)接于橢球面的最大長(zhǎng)方體的體積。解：設(shè)是內(nèi)接長(zhǎng)方體在第一褂限內(nèi)的頂點(diǎn)，由對(duì)稱(chēng)性，長(zhǎng)方體的體積為： (，) (*1)由于在橢球面上，故，應(yīng)滿足條件：，于是問(wèn)題即求函數(shù)(*1)在約束條件（*2）下的條件極限問(wèn)題。引入函數(shù)令得：，得唯一解：，由題意，所求的最大體積存在故以點(diǎn)(,)為一個(gè)頂點(diǎn)所作的對(duì)稱(chēng)于坐標(biāo)面的內(nèi)接于橢球面的長(zhǎng)方體的體積最大。最大體積為。28某

14、公司通過(guò)報(bào)紙和電視傳媒做某種產(chǎn)品的促銷(xiāo)廣告，根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料，銷(xiāo)售收入與報(bào)紙廣告費(fèi)及電視廣告費(fèi)(單位：萬(wàn)元)之間的關(guān)系有如下經(jīng)驗(yàn)公式：，在限定廣告費(fèi)為1.5萬(wàn)元的情況下，求相應(yīng)的最優(yōu)廣告策略。解；作函數(shù)：令得，得唯一解：，。又由題意，存在最優(yōu)策略，所以將1.5萬(wàn)全部投到電視廣告的方案最好。29求函數(shù)的階麥克勞林公式，并寫(xiě)出余項(xiàng)。解：，同理，所以其中（）。30利用函數(shù)的2階泰勒公式，計(jì)算的近似值。解：在點(diǎn)處將展開(kāi)成三階泰勒公式：，所以故。(C)1證明。證明：因?yàn)?，?所以 ，取 當(dāng)時(shí)，就有所以。2設(shè)，其中在點(diǎn)，鄰域內(nèi)連續(xù)，問(wèn)(1)在什么條件下，偏導(dǎo)數(shù)，存在；(2)在什么條件下，在處可微。分析：從定義

15、出發(fā)，進(jìn)行推演解：(1)若，則偏導(dǎo)數(shù)，存在，且。(2) ，故若，當(dāng)時(shí)，有所以當(dāng)時(shí)，在處可微，且。3設(shè)而為由方程所決定的函數(shù)，且是可微的，試求。分析：可依隱函數(shù)求導(dǎo)法則求出。解；由，得 (1)由，得 (2)將(2)代入(1)，得 。4設(shè)由確定，求。解：對(duì)兩邊關(guān)于求導(dǎo)，得，解得： (1) 原式兩邊對(duì)求導(dǎo)，得 解得 (2)(1)式兩邊對(duì)求導(dǎo)得以(2)式代入即得：5從方程組中求出，。解：將，看作，的函數(shù)，將方程組對(duì)求偏導(dǎo)，得 (*)解得，再將方程組(*)對(duì)求偏導(dǎo)數(shù)，得解得：6設(shè)，且，試確定常數(shù)，使函數(shù)能滿足方程：。解：， ， ，代入方程得故必須，。7證明：旋轉(zhuǎn)曲面上任一點(diǎn)處的法線與旋轉(zhuǎn)軸相交。證明：因?yàn)?，所以，在處法線方程為：當(dāng)時(shí)，即法線與旋轉(zhuǎn)軸的交點(diǎn)為。8試證曲面()上任何點(diǎn)處的切平面在各坐標(biāo)軸上的截距之和等于。證明：設(shè)，則，在曲面上任取一點(diǎn)，則在點(diǎn)處的切平面方程為，即，化為截距式，得。所以截距之和為。9拋物面被平面截成一橢圓，求原點(diǎn)到這橢圓的最長(zhǎng)與最短距離。解：設(shè)橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)為，則原點(diǎn)到橢圓上這一點(diǎn)的距離平方為，其中同時(shí)滿足和，令，由的前兩個(gè)方程知。將代入