多元函數(shù)微積分復習概要

1、第六章多元函數(shù)微積分復習要點一、基本概念及相關定理1.多元函數(shù)的極限定義：函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)有定義，當點P(,)沿任意路徑無限趨于點()時, 無限趨于一個確定的常數(shù)A,則稱常數(shù)A是函數(shù)當P(,)趨于時的極限.記作,或,或,或,或,.其中，.2.二元函數(shù)連續(xù)的定義：函數(shù)在點的某一鄰域內(nèi)有定義，如果對任意，都有（或），則稱函數(shù)在點處連續(xù).3.偏導數(shù)的定義：函數(shù)在點的某一鄰域內(nèi)有定義.（1）函數(shù)在點處對的偏導數(shù)定義為，記作，或，或，或，即=.（2）函數(shù)在點處對的偏導數(shù)定義為，記作，或，或，或，即=.而稱，或，或，或及，或，或，或為（關于或關于）偏導函數(shù).高階偏導數(shù)：或，或，或，或.同理可得，三階、四階、

2、，以及n階偏導數(shù).4.全微分定義：設函數(shù)在點的某一鄰域內(nèi)有定義，若函數(shù)在點的全增量可表示為，其中A、B不依賴于、，僅于、有關，則稱函數(shù)在點處可微分，稱為函數(shù)在點的全微分，記為，即.可微的必要條件：若函數(shù)在點處可微分，則（1）函數(shù)在點的偏導數(shù)、必存在；（2）全微分為.推廣：函數(shù)在點的全微分為.可微的充分條件：若函數(shù)的偏導數(shù)、在點處連續(xù)在點處可微分.5.復合函數(shù)微分法（5種情況，由簡單到復雜排列）：z（1）含有多個中間變量的一元函數(shù)，則，稱此導數(shù)為全導數(shù)；（2）只有一個中間變量的二元復合函數(shù)z情形1：，則 ，.z情形2：，則 ，.其中，與是不同的，是把復合函數(shù)中的看作不變量而對的偏導數(shù)；是把函數(shù)中

3、的及看作不變量而對的偏導數(shù)。與與也有類似的區(qū)別.（3）中間變量為兩個，自變量也為兩個的二元復合函數(shù) z設，則 ，.（4）中間變量多于兩個的二元復合函數(shù)z設，則 ，.6.隱函數(shù)微分法（1）一元隱函數(shù)設方程確定了是的函數(shù)，則方法1：方程兩邊對求導，見對求導，見對求導，對求導時再乘以；方法2：.（2）二元隱函數(shù)設方程確定了是、的函數(shù)，則，.7.多元函數(shù)的極值極值存在的必要條件函數(shù)在點處具有偏導數(shù)，且取得極值，則必有，. 使得，同時成立的點，稱為函數(shù)的駐點（或穩(wěn)定點）.極值存在的充分條件函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且具有一階及二階連續(xù)偏導數(shù).又點是函數(shù)的穩(wěn)定點，令，.若，則（1）當時,函數(shù)在點處取得極小值

4、;（2）當時，函數(shù)在點處取得極大值. 若，則穩(wěn)定點不是函數(shù)的極值點. 若，則穩(wěn)定點可能是極值點，也可能不是極值點，需另行判斷.8.二重積分的定義及性質(zhì)在有界閉區(qū)域D上的有界函數(shù)，通過“分割、代替、求和、取極限”的過程，而得到的具有特定結構的和的極限，被稱為函數(shù)在D上的二重積分；它的幾何意義是曲頂柱體的體積.在直角坐標系下，用平行于坐標軸的直線網(wǎng)劃分區(qū)域D，則.性質(zhì)：下面均假定函數(shù)有界閉區(qū)域D上可積，則1.（為常數(shù)）；2. .3.若在閉區(qū)域D上，則區(qū)域D的面積.4.若，且，則.5.在區(qū)域D上，則，.6.設M、m是函數(shù)在閉區(qū)域D上的最大值和最小值,A是D的面積，則.7.設函數(shù)在閉區(qū)域D上連續(xù)，A是

5、D的面積，則在D上至少存在一點,使得.二、計算方法1.求二重極限的方法（1）若把點代入二元函數(shù)中，函數(shù)值存在，則函數(shù)值就是極限值；（2）若把點代入二元函數(shù)中，函數(shù)值無意義，則一元函數(shù)求極限的所有方法，全部可以應用到求二重極限中去(如重要極限，等價無窮小替換等).2.求偏導數(shù)及高階偏導數(shù)的方法（1）求多元函數(shù)關于其中一個自變量的偏導數(shù)，只需要將另外的所有自變量看作常量，再用一元函數(shù)的求導方法求導，就可以得到所選定的自變量的偏導數(shù)了；（2）求高階偏導數(shù)方法或，或，或，或.3.求全微分的方法求多元函數(shù)（或）的全微分，先求出關于自變量的所有偏導數(shù)，（或，），則全微分（或）.4.多元復合函數(shù)求導的方法根

6、據(jù)題設條件，分清哪些是中間變量，那些是自變量，畫出關系圖，根據(jù)“同路相乘，異路相加”的原則，求出所需要的導數(shù).z如1 ，關系圖為：則 ，.z如2 ，關系圖： 則 ，.5.隱函數(shù)求導及求偏導的方法（1）一元隱函數(shù)求導法則設方程確定了是的函數(shù)，則方法1：方程兩邊對求導，見對求導，見對求導，對求導時再乘以；方法2：.（2）二元隱函數(shù)設方程確定了是、的函數(shù)，則，.把方程中的看作隱函數(shù)，方程兩邊求出全微分，則，.（有時可能簡單些）注意：首先，一定要分清所給函數(shù)是較簡單函數(shù)或具體復合函數(shù)或抽象復合函數(shù)或隱函數(shù)，然后按照它們的各自特性，使用各自不同求導公式，進行求偏導數(shù)，全微分或高階偏導數(shù)。6.求多元函數(shù)極

7、值及最值的方法設函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)具有連續(xù)的二階偏導數(shù)，求其極值及在區(qū)域D內(nèi)最值的步驟如下：第一步 解方程組，求得一切實數(shù)解，即求出函數(shù)在D內(nèi)的所有駐點；第二步 對每一個駐點，求出，的值.第三步 定出的符號.若，則（1）當時,函數(shù)在點處取得極小值;（2）當時，函數(shù)在點處取得極大值. 若，則穩(wěn)定點不是函數(shù)的極值點. 若，則穩(wěn)定點可能是極值點，也可能不是極值點，需另行判斷.第四步 求出所有駐點處的函數(shù)值及函數(shù)在區(qū)域的邊界上的最值，并比較這些值的大小，其中最大者為函數(shù)的最大值，最小者為函數(shù)的最小值.7.求二重積分的方法O原則：二重積分要化為二次積分（即兩個定積分）來求。直角坐標系下：X型區(qū)域，OY型區(qū)域

8、，O極坐標系下，=適用于積分區(qū)域是圓形區(qū)域、扇形區(qū)域、環(huán)形區(qū)域或被積函數(shù)是關于的關系式。重積化累積，關鍵上下限，畫出積分域，入出口找見三、舉例1.求下列二重極限（1）（2）解：（1）=（利用）=.法2：=.【當時，有】（2）=.2.求下列函數(shù)的偏導數(shù)及全微分（1），求.解：關系圖： ，所以=；=.（2）驗證函數(shù)滿足證明：=；同理，可得.;.（3）設，而，求.解：關系圖：=.=.（4）設，可微，求.解：令，則.關系圖：=.=.（5）求由方程所確定的函數(shù)的偏導數(shù).解：令，則，., .（6），而，求.解：關系圖：=；=.（7）設，證明：.證明：令，則，.,.=.（8）求函數(shù)的全微分解：,由對稱性，.

9、全微分=.（9）用兩中不同的方法求由方程所確定的二元函數(shù)關于和的偏導數(shù).解：令，則，.,.法2：方程兩邊對求全微分，可得，即，.,.3.求下列二重積分（1）計算二重積分，其中D是由拋物線及直線所圍成的閉區(qū)域. 41O221-1解：如圖，聯(lián)立，可得交點，.視為Y型域，.=.法2：視為X型域，.則1O51=.（2）計算二重積分，其中D是由直線，所圍成的閉區(qū)域.解：如圖，X型區(qū)域D：，.則=1O1=.(3) 計算二重積分，其中D是由拋物線和所圍成的閉區(qū)域.解：如圖，X型區(qū)域，D：，.=O22=.（4）計算二重積分，其中D是由圓周及軸所圍成的右半閉區(qū)域.解：如圖，Y型區(qū)域，D：，.= (在上，函數(shù)是偶函數(shù))=.（5）交換二次積分的積分順序.解：由；，（這顯然是X型域）可得41O22-1-21.故由與可得拋物線；是直線，于是可畫出積分域.（如圖）要交換