多元函數(shù)微積分復(fù)習(xí)概要

1、第六章多元函數(shù)微積分復(fù)習(xí)要點(diǎn)一、基本概念及相關(guān)定理1.多元函數(shù)的極限定義：函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)有定義，當(dāng)點(diǎn)P(,)沿任意路徑無限趨于點(diǎn)()時(shí), 無限趨于一個(gè)確定的常數(shù)A,則稱常數(shù)A是函數(shù)當(dāng)P(,)趨于時(shí)的極限.記作,或,或,或,或,.其中，.2.二元函數(shù)連續(xù)的定義：函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義，如果對(duì)任意，都有（或），則稱函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù).3.偏導(dǎo)數(shù)的定義：函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義.（1）函數(shù)在點(diǎn)處對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)定義為，記作，或，或，或，即=.（2）函數(shù)在點(diǎn)處對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)定義為，記作，或，或，或，即=.而稱，或，或，或及，或，或，或?yàn)椋P(guān)于或關(guān)于）偏導(dǎo)函數(shù).高階偏導(dǎo)數(shù)：或，或，或，或.同理可得，三階、四階、

2、，以及n階偏導(dǎo)數(shù).4.全微分定義：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義，若函數(shù)在點(diǎn)的全增量可表示為，其中A、B不依賴于、，僅于、有關(guān)，則稱函數(shù)在點(diǎn)處可微分，稱為函數(shù)在點(diǎn)的全微分，記為，即.可微的必要條件：若函數(shù)在點(diǎn)處可微分，則（1）函數(shù)在點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)、必存在；（2）全微分為.推廣：函數(shù)在點(diǎn)的全微分為.可微的充分條件：若函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)、在點(diǎn)處連續(xù)在點(diǎn)處可微分.5.復(fù)合函數(shù)微分法（5種情況，由簡單到復(fù)雜排列）：z（1）含有多個(gè)中間變量的一元函數(shù)，則，稱此導(dǎo)數(shù)為全導(dǎo)數(shù)；（2）只有一個(gè)中間變量的二元復(fù)合函數(shù)z情形1：，則 ，.z情形2：，則 ，.其中，與是不同的，是把復(fù)合函數(shù)中的看作不變量而對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)；是把函數(shù)中

3、的及看作不變量而對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)。與與也有類似的區(qū)別.（3）中間變量為兩個(gè)，自變量也為兩個(gè)的二元復(fù)合函數(shù) z設(shè)，則 ，.（4）中間變量多于兩個(gè)的二元復(fù)合函數(shù)z設(shè)，則 ，.6.隱函數(shù)微分法（1）一元隱函數(shù)設(shè)方程確定了是的函數(shù)，則方法1：方程兩邊對(duì)求導(dǎo)，見對(duì)求導(dǎo)，見對(duì)求導(dǎo)，對(duì)求導(dǎo)時(shí)再乘以；方法2：.（2）二元隱函數(shù)設(shè)方程確定了是、的函數(shù)，則，.7.多元函數(shù)的極值極值存在的必要條件函數(shù)在點(diǎn)處具有偏導(dǎo)數(shù)，且取得極值，則必有，. 使得，同時(shí)成立的點(diǎn)，稱為函數(shù)的駐點(diǎn)（或穩(wěn)定點(diǎn)）.極值存在的充分條件函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且具有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).又點(diǎn)是函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn)，令，.若，則（1）當(dāng)時(shí),函數(shù)在點(diǎn)處取得極小值

4、;（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在點(diǎn)處取得極大值. 若，則穩(wěn)定點(diǎn)不是函數(shù)的極值點(diǎn). 若，則穩(wěn)定點(diǎn)可能是極值點(diǎn)，也可能不是極值點(diǎn)，需另行判斷.8.二重積分的定義及性質(zhì)在有界閉區(qū)域D上的有界函數(shù)，通過“分割、代替、求和、取極限”的過程，而得到的具有特定結(jié)構(gòu)的和的極限，被稱為函數(shù)在D上的二重積分；它的幾何意義是曲頂柱體的體積.在直角坐標(biāo)系下，用平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)劃分區(qū)域D，則.性質(zhì)：下面均假定函數(shù)有界閉區(qū)域D上可積，則1.（為常數(shù)）；2. .3.若在閉區(qū)域D上，則區(qū)域D的面積.4.若，且，則.5.在區(qū)域D上，則，.6.設(shè)M、m是函數(shù)在閉區(qū)域D上的最大值和最小值,A是D的面積，則.7.設(shè)函數(shù)在閉區(qū)域D上連續(xù)，A是

5、D的面積，則在D上至少存在一點(diǎn),使得.二、計(jì)算方法1.求二重極限的方法（1）若把點(diǎn)代入二元函數(shù)中，函數(shù)值存在，則函數(shù)值就是極限值；（2）若把點(diǎn)代入二元函數(shù)中，函數(shù)值無意義，則一元函數(shù)求極限的所有方法，全部可以應(yīng)用到求二重極限中去(如重要極限，等價(jià)無窮小替換等).2.求偏導(dǎo)數(shù)及高階偏導(dǎo)數(shù)的方法（1）求多元函數(shù)關(guān)于其中一個(gè)自變量的偏導(dǎo)數(shù)，只需要將另外的所有自變量看作常量，再用一元函數(shù)的求導(dǎo)方法求導(dǎo)，就可以得到所選定的自變量的偏導(dǎo)數(shù)了；（2）求高階偏導(dǎo)數(shù)方法或，或，或，或.3.求全微分的方法求多元函數(shù)（或）的全微分，先求出關(guān)于自變量的所有偏導(dǎo)數(shù)，（或，），則全微分（或）.4.多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的方法根

6、據(jù)題設(shè)條件，分清哪些是中間變量，那些是自變量，畫出關(guān)系圖，根據(jù)“同路相乘，異路相加”的原則，求出所需要的導(dǎo)數(shù).z如1 ，關(guān)系圖為：則 ，.z如2 ，關(guān)系圖： 則 ，.5.隱函數(shù)求導(dǎo)及求偏導(dǎo)的方法（1）一元隱函數(shù)求導(dǎo)法則設(shè)方程確定了是的函數(shù)，則方法1：方程兩邊對(duì)求導(dǎo)，見對(duì)求導(dǎo)，見對(duì)求導(dǎo)，對(duì)求導(dǎo)時(shí)再乘以；方法2：.（2）二元隱函數(shù)設(shè)方程確定了是、的函數(shù)，則，.把方程中的看作隱函數(shù)，方程兩邊求出全微分，則，.（有時(shí)可能簡單些）注意：首先，一定要分清所給函數(shù)是較簡單函數(shù)或具體復(fù)合函數(shù)或抽象復(fù)合函數(shù)或隱函數(shù)，然后按照它們的各自特性，使用各自不同求導(dǎo)公式，進(jìn)行求偏導(dǎo)數(shù)，全微分或高階偏導(dǎo)數(shù)。6.求多元函數(shù)極

7、值及最值的方法設(shè)函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，求其極值及在區(qū)域D內(nèi)最值的步驟如下：第一步 解方程組，求得一切實(shí)數(shù)解，即求出函數(shù)在D內(nèi)的所有駐點(diǎn)；第二步 對(duì)每一個(gè)駐點(diǎn)，求出，的值.第三步 定出的符號(hào).若，則（1）當(dāng)時(shí),函數(shù)在點(diǎn)處取得極小值;（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在點(diǎn)處取得極大值. 若，則穩(wěn)定點(diǎn)不是函數(shù)的極值點(diǎn). 若，則穩(wěn)定點(diǎn)可能是極值點(diǎn)，也可能不是極值點(diǎn)，需另行判斷.第四步 求出所有駐點(diǎn)處的函數(shù)值及函數(shù)在區(qū)域的邊界上的最值，并比較這些值的大小，其中最大者為函數(shù)的最大值，最小者為函數(shù)的最小值.7.求二重積分的方法O原則：二重積分要化為二次積分（即兩個(gè)定積分）來求。直角坐標(biāo)系下：X型區(qū)域，OY型區(qū)域

8、，O極坐標(biāo)系下，=適用于積分區(qū)域是圓形區(qū)域、扇形區(qū)域、環(huán)形區(qū)域或被積函數(shù)是關(guān)于的關(guān)系式。重積化累積，關(guān)鍵上下限，畫出積分域，入出口找見三、舉例1.求下列二重極限（1）（2）解：（1）=（利用）=.法2：=.【當(dāng)時(shí)，有】（2）=.2.求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)及全微分（1），求.解：關(guān)系圖： ，所以=；=.（2）驗(yàn)證函數(shù)滿足證明：=；同理，可得.;.（3）設(shè)，而，求.解：關(guān)系圖：=.=.（4）設(shè)，可微，求.解：令，則.關(guān)系圖：=.=.（5）求由方程所確定的函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).解：令，則，., .（6），而，求.解：關(guān)系圖：=；=.（7）設(shè)，證明：.證明：令，則，.,.=.（8）求函數(shù)的全微分解：,由對(duì)稱性，.

9、全微分=.（9）用兩中不同的方法求由方程所確定的二元函數(shù)關(guān)于和的偏導(dǎo)數(shù).解：令，則，.,.法2：方程兩邊對(duì)求全微分，可得，即，.,.3.求下列二重積分（1）計(jì)算二重積分，其中D是由拋物線及直線所圍成的閉區(qū)域. 41O221-1解：如圖，聯(lián)立，可得交點(diǎn)，.視為Y型域，.=.法2：視為X型域，.則1O51=.（2）計(jì)算二重積分，其中D是由直線，所圍成的閉區(qū)域.解：如圖，X型區(qū)域D：，.則=1O1=.(3) 計(jì)算二重積分，其中D是由拋物線和所圍成的閉區(qū)域.解：如圖，X型區(qū)域，D：，.=O22=.（4）計(jì)算二重積分，其中D是由圓周及軸所圍成的右半閉區(qū)域.解：如圖，Y型區(qū)域，D：，.= (在上，函數(shù)是偶函數(shù))=.（5）交換二次積分的積分順序.解：由；，（這顯然是X型域）可得41O22-1-21.故由與可得拋物線；是直線，于是可畫出積分域.（如圖）要交換