第一講探索法解競賽題

1、例例1:設(shè)設(shè) 滿足滿足證明證明:, ,a b c2221110bc aca bab c2 22 22 20()()()abcbc aca bab c例例2:已知已知 若對于所有若對于所有 ,均有均有 ,則則 的取值范圍是的取值范圍是( ) A. B. C. D. (2004年全國高中聯(lián)賽題年全國高中聯(lián)賽題)22( , )23 ,( , )Mx y xyNx y ymx bmRMNIb66,2266(,)222 3 2 3(,)332 3 2 3,33例例3:設(shè)正數(shù)設(shè)正數(shù) 均不為均不為1,且且試求試求的最大值的最大值., ,x y z1xy yz zx222222( , , )(1)(1)(1)

2、(1) (1)(1)f xyzxyzyzxzxy 例例4:已知已知 是絕對值不等于是絕對值不等于1的非零的非零實數(shù)實數(shù),且且 ,求證求證: , ,a b c1abbcca2222222228111(1)(1)(1)abcabcabcabc例例5:已知已知 ,求證求證:, , ,a b c dR44441abcabc例例6:設(shè)設(shè) ,且且 則則 , ,x y z R()xy yz zxx y zu 22222()()()222x ky kz kkuk在上式中取在上式中取 ,可以得到可以得到0,1推論推論1:設(shè)設(shè) ,且且則則推論推論2:設(shè)設(shè) ,且且則則, ,x y z Rxy yz zx u2222

3、()()()22x ky kz kku, ,x y z Rxy yz zx x y z u 2222()()()2221x ky kz kkuk例例7:(IMO49-2)設(shè)實數(shù)設(shè)實數(shù) 都不等于都不等于1,滿足滿足 ,求證求證:, ,x y z1xyz 2222221(1)(1)(1)xyzxyz例例8:(2004年泰國數(shù)學(xué)奧林匹克年泰國數(shù)學(xué)奧林匹克)設(shè)設(shè) 是不同的實數(shù)是不同的實數(shù),求證求證:, ,a b c222222()()()5a bb cc aa bb cc a課堂練習(xí)課堂練習(xí)1:若若 是互不相同的實數(shù)是互不相同的實數(shù),則有則有, ,a b c222()()()2abcb cc aa b

4、課堂練習(xí)課堂練習(xí)2:若若 是互不相同的實數(shù)是互不相同的實數(shù),則有則有, ,a b c222()()()2a bb ccaa bb cc a作業(yè)作業(yè):若若a,b,c是互不相同的實數(shù)是互不相同的實數(shù),則則222()()()1abcabbcca例例9:(1998年日本年日本IMO選拔賽題選拔賽題)若若 ,且且 ,求證求證:, ,0 x y z 1111111xyz8xyz 例例10:(2004年全國聯(lián)賽題年全國聯(lián)賽題)如圖如圖,設(shè)點設(shè)點O在在ABC內(nèi)部內(nèi)部,且有且有則則ABC的面積與的面積與AOC的面積比為的面積比為( ) A. 2 B. 3/2 C. 3 D. 5/3230OAOBOCuuruu

5、u ruuu rr例例11:(第第53屆羅馬尼亞數(shù)學(xué)奧林匹克題屆羅馬尼亞數(shù)學(xué)奧林匹克題)求方程組求方程組的復(fù)數(shù)解的復(fù)數(shù)解.()()3()()3()()3x xyxzy yxyzz zx zy例例12: (2003年美國數(shù)學(xué)奧林匹克題年美國數(shù)學(xué)奧林匹克題)設(shè)設(shè) 是正實數(shù)是正實數(shù),證明證明:, ,a b c222222222(2)(2)(2)82()2()2()a b cb c ac a bab cbc aca b 例例13: (2003年全國高中聯(lián)賽題年全國高中聯(lián)賽題) 過拋物線過拋物線 的焦點的焦點F作傾斜角為作傾斜角為60的直線的直線,若此直線與拋物線交于若此直線與拋物線交于A、B兩點兩點,

6、弦弦AB的中垂線與的中垂線與x軸交于點軸交于點P,則線段則線段PF的的長等于長等于( ) A. B. C. D.28(2)yx1 638316 338 3例例14:(2002年中國西部數(shù)學(xué)奧林匹克年中國西部數(shù)學(xué)奧林匹克) 設(shè)設(shè) 為方程為方程 的兩個根的兩個根, 令令 , (1)證明證明:對任意正整數(shù)對任意正整數(shù)n,有有 (2)求所有正整數(shù)求所有正整數(shù) ,滿足對任滿足對任意正整數(shù)意正整數(shù)n,有有b整除整除 ., 210 xx nnna1,2,nL21nnnaaa, ,a b ab2nnana例例15:已知關(guān)于已知關(guān)于x的實系數(shù)二次方程的實系數(shù)二次方程 有兩個實數(shù)根有兩個實數(shù)根 ,證證明明:如果如果 ,那么那么 , 且且 . 20 xax b