曲率和撓率對空間曲線形狀的影響

1、曲率和撓率對空間曲線形狀的影響摘要：曲率和撓率是空間曲線的特性，不同的曲率和撓率函數(shù)決定不同形狀的曲 線，研究常曲率和撓率的空間曲線有特別重要的意義。 本文對曲率和撓率的形成 及意義進(jìn)展了探討，并對常曲率和撓率的空間曲線進(jìn)展了一定的研究.給出了常曲率和撓率的空間曲線特性關(guān)鍵詞：曲率 撓率 空間曲線形狀我們知道，空間曲線的形狀完全由曲率和撓率決定 而當(dāng)一個(gè)空間曲線的曲 率或撓率為常數(shù)時(shí)，這種曲線具有很強(qiáng)的特性，對這種曲線的特性的研究有利于 對空間曲線這局部容的掌握和理解一曲率的概念和幾何意義1曲率的概念我們首先研究空間曲線的曲率的概念。在不同的曲線或者同一條曲線的不同 點(diǎn)處，曲線彎曲的程度可能不

2、同。例如半徑較大的圓彎曲程度較小， 而半徑較小 的圓彎曲程度較大圖1-1又如圖1-2中所示，當(dāng)沿著曲線從左向右移動(dòng)時(shí)， 曲線彎曲的程度變大。為了準(zhǔn)確地刻畫曲線的彎曲程度，我們引進(jìn)曲率的概念。圖1-1要從直觀的根底上引出曲率確實(shí)切的定義， 我們首先注意到，曲線彎曲的程度越大，那么從點(diǎn)到點(diǎn)變動(dòng)時(shí)，其切向量的方向改變得越快。所以作為曲線在線word.段PQ的平均彎曲程度可取為曲線在 P,Q間切向量關(guān)于弧長的平均旋轉(zhuǎn)角設(shè)空間中c3類曲線c的方程為曲線C上一點(diǎn)P，其自然參數(shù)為S另一鄰近點(diǎn)pi，其自然參數(shù)為s S, 在P, pi兩點(diǎn)各作曲線c的單位切向量 s和 s s。兩個(gè)切向量間的夾角 是 圖1-3，也

3、就是把點(diǎn)p/勺切向量 s s平移到點(diǎn)P后，兩個(gè)向量 s 和 s s的夾角為 。C圖1-3定義空間曲線C在P點(diǎn)的曲率為lims 0其中s為P點(diǎn)及其鄰近點(diǎn)p間的弧長， 為曲線在點(diǎn)P和p的的切向量 的夾角。2曲率的幾何意義利用“一個(gè)單位變向量t即| t| 1的微商的模(t)的幾何意義是t對于t的旋轉(zhuǎn)速度。把這個(gè)結(jié)果應(yīng)用到空間曲線C的切向量 上去，那么? ?由于 =，所以曲率也可表示為由上述空間曲線的曲率的定義可以看出，它的幾何意義是曲線的切向量對于 弧長的旋轉(zhuǎn)速度。當(dāng)曲線在一點(diǎn)的彎曲程度越大，因此曲率刻畫了曲線的彎曲程 度。.撓率的概念和幾何意義 1撓率的幾何意義對于空間曲線，曲線不僅彎曲而且還要扭

4、轉(zhuǎn)離開密切平面 ，所以研究空 間曲線只有曲率的概念是不夠的，還要有刻畫曲線扭轉(zhuǎn)的程度的量撓率。當(dāng) 曲線扭轉(zhuǎn)時(shí)，副法向量或密切平面的位置隨著改變?nèi)鐖D 1-4，所以我們用 副法向量或密切平面的轉(zhuǎn)動(dòng)速度來刻畫曲線的扭轉(zhuǎn)程度在一點(diǎn)離開密切平 面的程度。ss圖1-4現(xiàn)在設(shè)曲線C上一點(diǎn)P的自然參數(shù)為S，另一鄰近點(diǎn)pi的自然參數(shù)為 s s，在p, pi兩點(diǎn)各作曲線c畐寸法向量 s和s s。此兩個(gè)副法向量 的夾角我們得到?lismokI，此式的幾何意義是它的數(shù)值為曲線的副法向量或密切平面對于弧長的旋 轉(zhuǎn)速度。當(dāng)曲線在 一點(diǎn)的扭轉(zhuǎn)程度越大離開所討論點(diǎn)的密切平面的程度越大 副法向量或密切平面對于弧長的扭轉(zhuǎn)程度就越

5、大。因此，我們可以用它來刻 畫曲線的扭轉(zhuǎn)程度。2撓率的定義? ?根據(jù) 丙和曲率的定義，我們有?即 s 。對求微商，有?( )因而又因?yàn)槭菃挝幌蛄?，所以O(shè)由以上兩個(gè)關(guān)系可以推出/現(xiàn)在我們給出撓率的定義如下:定義曲線C在P點(diǎn)的撓率為,當(dāng)和異向s ? ? ?，當(dāng)和同向撓率的絕對值是曲線的副法向量或密切平面對于弧長的旋轉(zhuǎn)速度 三.曲率和 撓率對空間曲線形狀的影響1空間曲線形狀完全由曲率和撓率決定s 圖3證明在 C 類曲線 s上取一點(diǎn) 9，在它鄰近在取一點(diǎn)91-5利用泰勒公式有?1 -SosSoSo s2! So13!?so其中l(wèi)ims 0由于圖1-5?所以So其中由上式可得S0如果在現(xiàn)在取S00, s

6、 s? ?kSo12 ko0，而0 ko okoo, ko,0等表示在點(diǎn)s0的值s0S。；k。2koko 0。的每一個(gè)分量中只取第一項(xiàng),1 2Sos o 2 ko sO' o如果，那么有0為新坐標(biāo)系，并取 so為計(jì)算弧長的始點(diǎn)，那么有為曲線上 s0的臨近點(diǎn)的新坐標(biāo)，那么有s6 2?k°s63Qk0 0S?它可以看作在 So點(diǎn)鄰近，曲線 s的近似方程。由此看出，曲線在某 點(diǎn)的曲率和撓率完全決定了曲線在該點(diǎn)鄰近的近似形狀。 即空間曲線的形狀完全 由曲率和撓率決定。2曲率和撓率的取值對空間曲線形狀的影響由曲率撓率的定義和幾何意義可知，曲率刻畫了曲線的彎曲程度，曲率越大,曲線在某一點(diǎn)

7、的彎曲程度就越大， 反之亦然。撓率刻畫了曲線的扭轉(zhuǎn)程度，撓率 的絕對值越大，曲線在某點(diǎn)的扭轉(zhuǎn)程度越大離開所討論點(diǎn)的密切平面的程度越 大.上面只討論了撓率的絕對值對空間曲線的影響， 沒有討論撓率的正負(fù)對空間 曲線的影響。下面就接著討論撓率的正負(fù)對空間曲線的影響。在根本三棱形的三個(gè)平面上的投影來觀察曲線在一點(diǎn)鄰近的形狀，來研究撓率的正負(fù)對空間曲線的影響。近似曲線在法平面0上的投影是1213°，2k°s，6k° °s消去參數(shù)s后有222°3°, ° ,9k°它是半立方拋物線圖1-6曲線在從切平面0上的投影是c13

8、6;，S, ko 0S消去參數(shù)S后，有0,136也0S它是立方拋物線曲線在密切平面它是拋物線圖1-70上的投影01 32 k。0圖1-8形狀從以上分析可以看出，撓率的正負(fù)對空間曲線的影響如下:0 0S-+-+0 0s-+-0是曲線由下往上成右旋曲線圖1-800圖1-90是曲線由下往上成右旋曲線見圖1-9通過畫出以上三個(gè)投影的立體圖形就可以看出空間曲線在一點(diǎn)鄰近的近似0圖 1-10四.特定空間曲線的曲率撓率與曲線的形狀的關(guān)系1. 曲率恒等于零的曲線是直線.證明 卄0,因而？ 0，?由此得到常向量.再積分即得s b，其中b也是常向量.這是一條直線的參數(shù)方程2. 撓率恒等于零的曲線是平面曲線.證明假

9、設(shè) 0，那么 是固定向量，但是我們? 0，因而有?r? 0，積分后得a常數(shù)，所以曲線在一個(gè)平面上，即曲線是平面曲線3曲率為常數(shù).撓率恒為零的曲線是圓或圓弧證明設(shè)該曲線C的方程為r r s .曲率為a(a常數(shù)且大于零)和撓率恒為零由弗雷Frene公式建立微分方程組aa其中s是C的三個(gè)根本向量且于對方程組，由得兩邊關(guān)于s求導(dǎo)并應(yīng)用Frenet公式，得? ?2a a(531)令 s x(s), y(s), z(s)代入5.3.1那么有?x(s)a"? ?2x s y(s) ays z(s)2a zs給出初值當(dāng)s=0時(shí),X(s) 1,y(s)0,z(s)0。我們先看方程?X(s)?2 2 a

10、 x s 即 x (s) a x s這是一個(gè)關(guān)于實(shí)函數(shù)x(s)的二階常系數(shù)線性奇次微分方程。它的特征方程為特征根為1 ai, 2ai因此通解為O, cosas ©sinas將初值s=0時(shí)，x(s) 1代入有x s cosassin as令C20有x s cosas同理y s ©sinas令© 1有y ssin as同理取z s 0這里解不惟我們?nèi)∫唤M比擬簡單的特解即scosas, sin as,0 是特解又因?yàn)?(s) k a a cosas,sin as,0所以sa cosasds sinasds，0dssin as, cosas,0為了保證 s是單位向量，取積

11、分 0ds 0 由于s，因此上式兩邊積分可以得到dsr ssinasds (cosas)ds, 0ds1 cosas, sin as, cs ,(c為常數(shù)) aa2 211 .1那么cosassin as2aaa1這說明給定曲率為常數(shù)a和撓率恒為零的空間曲線r(s)在一個(gè)半徑為-的a圓或圓弧因?yàn)樗那邢蛄?s)sin as, cosas,0用它和單位基向量k 0,0,1作積，有 (s)?k(s)sinas, cosas,00,0,10這說明r(s)的切向量與z軸平行，從這兩點(diǎn)很明確地說明曲線r(s)是半徑1為丄的圓或圓弧a4曲率和撓率都是常數(shù)，曲線為圓柱螺線證明 用和前題一樣的方法，我們知道，

12、給定曲率為a,撓率為b的曲線方程a .2222sin a b dsa ba /22a22( cos a b )ds，22 ds b那么a22硏廠a bs'22 aj a cos JaJa2 b22a2 .2 2a b2 b2s2 b2sa ba這說明給定曲率為常數(shù)a和撓率為常數(shù)b的空間曲線r(s)在一個(gè)半徑為2的圓柱面上a b它的切向量1 . 2 1'22 1(s) a22sin a bs，22( cos a bs)，22a ba ba b用它和單位基向量k 0,0,1作積，有(s)?k(s)sina"21.bs，22(va bcos a?2b s)，0,0,1_1_

13、 a2 b2這說明r(s)的切向量與z軸的正向夾定角，從這兩點(diǎn)很明確地說明曲線r(s)是半徑為 2 * 2的圓柱螺線a b5設(shè)曲線s的曲率 s和撓率s都不為零，s是弧長參數(shù)。如果該曲線落在一個(gè)球面上，那么它的曲率和撓率必滿足關(guān)系式證明假定曲線關(guān)系式將上式兩邊對于=常數(shù)。s ds s落在一個(gè)球面上,該球面的球心是5.5.15.5.00，半徑是a那么有s求導(dǎo)，得到故 s 0是曲線的法向量。不妨設(shè)5.52將上式對于s求導(dǎo)并且利用Frenet公式得到s s,因此比擬等式兩邊的系數(shù)得到，于是s ds，5.5.4將式代入5.52式得到1s1 d1s，ss dss因此根據(jù)關(guān)系式21 d 1a s ds s結(jié)

14、束語本文試圖通過對曲率和撓率的概念、 形成及意義進(jìn)展論述，進(jìn)而討論了空間 曲線的曲率和撓率對空間曲線形狀的影響，還給出了特定曲率和撓率與空間曲線 的形狀關(guān)系.對特定曲率和撓率下空間曲線的形狀的認(rèn)識(shí)，有利于理解曲率和撓 率對空間曲線形狀的決定性，有利于對一般曲率和撓率函數(shù)的空間曲線形狀的研 究.參考文獻(xiàn)1 梅向明，黃敬之編著.微分幾何第三版M.:高等教育，2003.2 維桓編著.微分幾何M.:大學(xué)，2006.3 孟道驥，梁科編著.M.微分幾何.：科學(xué)，1999.4 王申懷，繼志編著.微分幾何M.:師大學(xué)1998 閆焱，惠存陽.給定曲率和撓率為常數(shù)的空間曲線方程J文理學(xué)院學(xué)報(bào)自然科學(xué)版第8卷第4期

15、The effect for the shape of space curves restricted with curvature andtorsionZhang Kai Department of Mathematics ,X'i an University of Arts and Science,X'i an710065,ChinaAbstract: Curvature and torsion is the characteristics ofspace curves of different functions restricted with curvature and torsion decide different characteristics of the curve, it will get important significance if we study space curves about constant curvature and to