上海市高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷-Word版含解析

1、上海市復(fù)旦大學(xué)附中高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、填空題（共48分，每空4分）1 .拋物線C的頂點在坐標(biāo)原點，焦點在坐標(biāo)軸上，且C過點（-2, 3）,則C的方程是 .2 .若過點P （2, 2）可以向圓x2+y2-2kx-2y+k2-k=0作兩條切線，則實數(shù)k的取值范圍 是.3 .參數(shù)方程卜二“（氏R）化為普通方程是y=l+cos24. M是橢圓工+，二1上動點，F(xiàn)i, F2是橢圓的兩焦點，則/ F1MF2的最大值為.g225 .圓x2+ （y-a） 2=9與橢圓黃+氣-二i有公共點，則實數(shù)a的取值范圍是.6 .與圓x2+y2-4x=0外切，且與y軸相切的動圓圓心的軌跡方程是 .7 .雙曲線2x2-

2、 3y2=k （k< 0）的焦點坐標(biāo)是（用k表示）.8 .已知P （x, V）是圓（x+1） 2+y2=1上一點，則2x+3y的最大值為.9 .若直線 葉向尸三與圓x2+y2=1在第一象限有兩個不同的交點，則實數(shù) a的取值范圍 是.2210 .橢圓E:工_+匚二1的右頂點為B,過E的右焦點作斜率為1的直線L與E交于M, N 43兩點，則 MBN的面積為.11 .設(shè)實數(shù)x, y滿足x2=4y,則&-3）.（yT）的最小值是.2212.橢圓C:三_+匚二1向右平移一個單位、向上平移兩個單位可以得到橢圓C':16 S22豆3+&喀二L設(shè)直線l：（2a+1）x+ （1-a

3、） y-3=0,當(dāng)實數(shù)a變化時，l被C'截得168的最大弦長是二、選擇題（共20分，每題5分）13 .圓x2+y2+2x+4y 3=0上至ij直線x+y+1=0的距離為近的點有（）A. 1個B. 2個C 3個D. 4個14 . “ab0”是方程ax2+by2=c表示雙曲線”的（）A.充分必要條件B.充分不必要條件C必要不充分條件D,既不必要也不充分條件15 .過點(3, 0)和雙曲線x2-ay2=1 (a>0)僅有一交點的直線有()A. 1條B. 2條C. 4條D.不確定16 .雙曲線C的左、右焦點為Fi,色，P為C的右支上動點(非頂點)，I為FiPE的內(nèi)心.當(dāng)P變化時，I的軌跡

4、為()A.雙曲線的一部分B.橢圓的一部分C.直線的一部分D.無法確定三、解答題(共 52 分，8+10+10+12 +12)17 .已知拋物線C： y=2x2和直線l： y=kx+1, O為坐標(biāo)原點.(1)求證：l與C必有兩交點；(2)設(shè)l與C交于A, B兩點，且直線OA和OB斜率之和為1,求k的化2218 .斜率為1的動直線L與橢圓三_+匚二1交于P, Q兩點，M是L上的點，且滿足 42| MP| ?| MQ| =2,求點M的軌跡方程.19 .已知橢圓x2+2y2=1上存在兩點A, B關(guān)于直線L: y=4x+b對稱，求實數(shù)b的取值范圍.20 .已知雙曲線C的漸近線方程為x± 2y=

5、0,且點A (5, 0)到雙曲線上動點P的最小距 離為加，求C的方程.21 .設(shè)定點A(0,1),常數(shù)m>2,動點M (x,y),設(shè)后二y),y),且 | 0 | q |二4(1)求動點M的軌跡方程；(2)設(shè)直線L: Wx-S與點M的軌跡交于B, C兩點，問是否存在實數(shù)m使得瓦正聾?若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由.上海市復(fù)旦大學(xué)附中高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析、填空題（共48分，每空4分）1 .拋物線C的頂點在坐標(biāo)原點，焦點在坐標(biāo)軸上，且C過點（-2, 3）,則C的方程是 y2=gx 或 x2=y .2-3【考點】拋物線的簡單性質(zhì).【分析】對稱軸分為是x軸和y軸兩種

6、情況，分別設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程為 y2= - 2px和x2=2py,然 后將（-2, 3）,代入即可求出拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程.【解答】解：（1）拋物線的頂點在坐標(biāo)原點，對稱軸是 x軸，并且經(jīng)過點（-2, 3）, 設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2= - 2px （p>0）,9=4p解得：2p=1,y= "?x；（2）對稱軸是y軸，并且經(jīng)過點（-2, 3）,拋物線的方程為x2=2py （p>0）, - 4=6p,得：2p=, J拋物線的方程為：x2=y.所以所求拋物線白標(biāo)準(zhǔn)方程為：y2=-4x或x2=1y. 占U【考點】圓的切線方程.【分析】將圓化成標(biāo)準(zhǔn)方程，得（x- k） 2+ （y-1） 2=k+

7、1,根據(jù)方程表示圓的條件和點與 圓的位置關(guān)系，結(jié)合題意建立關(guān)于 k的不等式組，解之即可得到實數(shù) k的取值范圍.【解答】解：圓 x2+y2- 2kx- 2y+k2 k=0,可化為（x k） 2+ （y1） 2=k+1.; 方程 x2+y2 - 2kx- 2y+k2 - k=0 表示圓,k+1 >0,解之得 k> - 1.又過點P （2, 2）可以向圓x2+y2-2kx- 2y+k2- k=0作兩條切線，點 P (2, 2)在圓外，可得(2-k) 2+ (2- 1) 2>k+1,故答案為：y2=-x或x2=y.2 .若過點P （2, 2）可以向圓x2+y2-2kx- 2y+k2-

8、 k=0作兩條切線，則實數(shù)k的取值范圍 是（1, 1） U （4, +PQ）.解之得k< 1或k>4綜上所述，可得k的取值范圍是(-1, 1) U (4, +8), 故答案為(-1, 1) U (4, +8).3 .參數(shù)方程 產(chǎn)8ss,、(況R)化為普通方程是 x25.圓x2+ (y- a) 2=9與橢圓*+”二1有公共點，則實數(shù)a的取值范圍是 -6,6. y【考點】橢圓的簡單性質(zhì).22【分析】由題意可知：橢圓 三-+2二1焦點在x軸上，a=5, b=3,圓x2+ (y-a) 2=9的圓25 9+ (y-1) 2=1 y=l+ cos 6【考點】參數(shù)方程化成普通方程.【分析】利用同

9、角三角函數(shù)平方關(guān)系，可得結(jié)論.【解答】解：由題意，消去參數(shù) 9,可得普通方程是x2+ (y-1) 2=1,故答案為x2+ (y- 1) 2=1.24 . M是橢圓上動點，R, F2是橢圓的兩焦點，則/ F1MF2的最大值為 _匚97 arccosr-. 9-【考點】橢圓的簡單性質(zhì).【分析】求得橢圓的 a, b, c,由橢圓中焦點三角形中，焦距所對角最大，可得/F1MF2最大，此時M為短軸端點.再由余弦定理，計算即可得到所求最大角.2【解答】解：橢圓的 a=3, b=1, c=/o-=2fi,由橢圓中焦點三角形中，焦距所對角最大，可得/ F1MF2最大，此時M為短軸端點.cos/ F1MF2二I

10、叫白肺/-島上尸_g+9一絲 g2= _=一2X9X99，7可得/ F1MF2的最大值為 兀-arcco河.故答案為： 冗一arccos.22心坐標(biāo)(0, a),半徑r=3.若橢圓三_+匚二11與圓x2+ (y-a) 2=9有公共點，根據(jù)圖象可 25 9知數(shù)a的取值范圍.22【解答】解：.橢圓 三_+匚二1焦點在x軸上，a=5, b=3,25 9 1Ixl <5, |y|<4,圓x2+ (y- a) 2=9的圓心坐標(biāo)(0, a),半徑r=3.22若橢圓。+匚m1與圓x2+ (y-a) 2=9有公共點，25 9 1則實數(shù)a的取值范圍| a| 06；故答案為：-6, 6.6 .與圓x2

11、+y2 - 4x=0外切，且與y軸相切的動圓圓心的軌跡方程是y2=8x (x>0)或y=0(x< 0).【考點】軌跡方程；拋物線的定義.【分析】分動圓在y軸右側(cè)和動圓在y軸左側(cè)兩種情況考慮，若動圓在 y軸右側(cè)，則動圓 圓心到定點(2, 0)與到定直線x=- 2的距離相等, 利用拋物線的定義求軌跡方程，若動圓在 y軸左側(cè)，動圓圓心軌跡是x負(fù)半軸.【解答】解：若動圓在y軸右側(cè)，則動圓圓心到定點(2, 0)與到定直線x=-2的距離相 等，其軌跡是拋物線；且1=2,其方程為y2=8x,若動圓在y軸左側(cè)，則動圓圓心軌跡是x負(fù)半軸，方程為y=0, x<0,故答案為y2=8x,或y=0,

12、x<0.7 .雙曲線2x2-3y2=k （k< 0）的焦點坐標(biāo)是（用k表示）（0, 士4J【考點】雙曲線的簡單性質(zhì).【分析】雙曲線2x2-3y2=k （k<0）,化為2女=1,2即可求得c.【解答】解；雙曲線2x2 3y2=k （k<0）,=工y 6，雙曲線焦點坐標(biāo)為（0, ±7）故答案為（0, ±“邛）-2化為T2:E=i,根據(jù)雙曲線方程可知c=Kf8 .已知P （x, v）是圓（x+1） 2+y2=1上一點，則2x+3y的最大侑為 阮 -2 【考點】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【分析】假設(shè)點P的坐標(biāo)為（-1+cos% sin狐 利用三角函數(shù)，可求最值.【解答】

13、解：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x+1） 2+y2=1,設(shè) P （ - 1 +cos % sin &,貝2x+3y=2cos +3sin or 2=V13cos （ o+ 0） - 22x+3y的最大值為：V13 - 2.故答案為：VTs - 2.9.若直線 什百廠乏與圓x2+y2=1在第一象限有兩個不同的交點，則實數(shù) a的取值范圍是 （正，2）.【考點】直線與圓的位置關(guān)系.【分析】抓住兩個關(guān)鍵點，一是直線過（0, 1）; 一是直線與圓相切，分別求出 m的值， 即可確定出直線與圓在第一象限內(nèi)有兩個不同的交點時a的范圍.【解答】解：分兩種情況：當(dāng)直線 葉畬產(chǎn)曰過（0, 1）時，將x=0, y=1 代

14、入得：a=/s;當(dāng)直線亦痣支看與圓x2+y2=1相切時，圓心到直線的距離 d=r=r=1, V 1+3解得：a=2或-2 （舍去）,則直線與圓在第一象限內(nèi)有兩個不同的交點時，實數(shù)a的取值范圍是（/，2）.故答案為（加，2）.2210.橢圓E:三_十匚二i的右頂點為B,過E的右焦點作斜率為1的直線L與E交于M, N 43兩點，則 MBN的面積為隼，.7 72【考點】橢圓的簡單性質(zhì).22【分析】由橢圓E:三_十匚二1右焦點（1,0）,右頂點（2, 0）,設(shè)直線L的方程為y=x-1,4I 0-2+1 |代入橢圓方程，由韋達定理及弦長公式求得I MN | ,則B到直線L的距離d= / ,., 山 +（

15、T）d斗，ZXMBN 的面積 S=? I MN | ?d.22【解答】解：由題意可知：橢圓 E:工+匚=1右焦點（1, 0）,右頂點（2, 0）,43設(shè)直線 L的方程為 y=x- 1, M（X1, y1），N（X2, y2）,由，了 /,整理得：7x2- 8x-8=0,-F=1I 4 3 1由韋達定理可知： x1+x2=1 , 乂僅2二一號,I MN I =V?J（K +p2&町廣沈？4乂（-1）二 岸,I 0-2+1 |貝U B至“直線L的距離d= /+（_產(chǎn)=與, MBN的面積S=!?| MN I ?d=:義號義洛舟2,. MBN的面積為,故答案為：平.11 .設(shè)實數(shù)x, y滿足x

16、2=4y,則d（3）XyT）沁 的最小值是一2_.【考點】拋物線的簡單性質(zhì).【分析】拋物線的準(zhǔn)線方程為 y=- 1,九.3產(chǎn)+61)5+1-1最小值是(3, 1)與焦 點(0, 1)的距離減去1,可得結(jié)論.【解答】解：拋物線的準(zhǔn)線方程為 y=-1,，&-3)2+(廠1)% + 1-1最小值是(3,1)與焦點(0, 1)的距離減去1,即忘豕的最小值是3-1=2,故答案為2.2212.橢圓C： J+J=1向右平移一個單位、向上平移兩個單位可以得到橢圓C'：22+&二?一n.設(shè)直線l： (2a+1) x+ (1-a) y-3=0,當(dāng)實數(shù)a變化時，l被C'截得 168的

17、最大弦長是 8 .【考點】橢圓的簡單性質(zhì).【分析】直線 l： (2a+1) x+ (1-a) y-3=0,化為：a (2x-y) + (x+y-3) =0,利用直線22系的性質(zhì)可得：直線l經(jīng)過定點M (1, 2),為橢圓C': 5二。一+每二一二1的中心.因此1681當(dāng)實數(shù)a變化時，l被C'截得的最大弦長是2a.【解答】解：直線 l: (2a+1) x+ (1-a) y- 3=0,化為：a (2x-y) + (x+y 3) =0,令，2x-y=0 丘, 八，解得 x=1, y=2, x+y-S=O22因此直線l經(jīng)過定點M (1, 2),為橢圓C'：('? +蜉)

18、二的中心. lo 8因此當(dāng)實數(shù)a變化時，l被C'截得的最大弦長是2a=8.故答案為：8.二、選擇題(共20分，每題5分)13.圓x2+y2+2x+4y 3=0上至ij直線x+y+1=0的距離為道的點有()A. 1個B. 2個C 3個D. 4個【考點】直線與圓的位置關(guān)系.【分析】圓x2+y2+2x+4y - 3=0可化為(x+1) 2+ (y+2) 2=8,過圓心平行于直線x+y+1=0的 直線與圓有兩個交點，另一條與直線x+y+1=0的距離為點的平行線與圓相切，只有一個交百八、【解答】解：圓 x2+y2+2x+4y 3=0可化為（x+1） 2+ （y+2） 2=8圓心坐標(biāo)是（-1, -

19、 2）,半徑是2優(yōu)；.圓心到直線的距離為d二I-1-2+1 I . rz五一過圓心平行于直線x+y+1=0的直線與圓有兩個交點，另一條與直線x+y+1=0的距離為近的平行線與圓相切，只有一個交點 所以，共有3個交點.故選：C14 . “ab0”是方程ax2+by2=c表示雙曲線”的（）A.充分必要條件B.充分不必要條件C.必要不充分條件D,既不必要也不充分條件【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷.【分析】運用反例，特殊值，結(jié)合雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程判斷.【解答解：若a=1, b=- 1, c=0,則不能表示雙曲線，不是充分條件，反之，若方程ax2+by2=c表示雙曲線，則a, b異號，是必要條

20、件，故ab< 0是方程ax2+by2=c表示雙曲線的必要不充分條件，故選：C.15 .過點（3, 0）和雙曲線x2-ay2=1 （a>0）僅有一交點的直線有（）A. 1條B. 2條C. 4條D.不確定【考點】雙曲線的簡單性質(zhì).【分析】直線斜率不存在時，不滿足條件，直線斜率存在時，與漸近線平行的直線，滿足 題意，可得結(jié)論.【解答】解：直線斜率不存在時，滿不足條件；直線斜率存在時，與漸近線平行的直線，滿足題意，過點（3, 0）和雙曲線x2-ay2=1 （a>0）僅有一交點的直線有2條.故選：B.16.雙曲線C的左、右焦點為R, F2, P為C的右支上動點（非頂點），I為FFE的內(nèi)

21、心.當(dāng)P變化時，I的軌跡為（）A.雙曲線的一部分B.橢圓的一部分C.直線的一部分D.無法確定【考點】軌跡方程.【分析】將內(nèi)切圓的圓心坐標(biāo)進行轉(zhuǎn)化成圓與橫軸切點Q的橫坐標(biāo)，PFi - PF2=FiQ -F2Q=2a, FiQ+F2Q=FiF2 解出 OQ,可得結(jié)論.【解答】解：如圖設(shè)切點分別為 M, N, Q,則PF1F2的內(nèi)切圓的圓心的橫坐標(biāo)與 Q橫坐 標(biāo)相同.由雙曲線的定義，PF - PF2=2a=4.由圓的切線性質(zhì) PF1 - PF2=FiM - F2N=FiQ - F2Q=2a, FiQ+F2Q=RF2=2c, 二 FiQ=a+c, FzQ=c- a, .OQ=FF2QF2=c (c-a

22、) =a. .FiPF2內(nèi)切圓與x軸的切點坐標(biāo)為(a, 0),當(dāng)P變化時，I的軌跡為直線的一部分.故選C.三、解答題(共 52 分，8+10+10+12 +12)17 .已知拋物線C: y=2X2和直線l: y=kx+1, O為坐標(biāo)原點.(1)求證：l與C必有兩交點；(2)設(shè)l與C交于A, B兩點，且直線OA和OB斜率之和為1,求k的值.【考點】拋物線的簡單性質(zhì).【分析】(1)聯(lián)立拋物線C： y=2x2和直線l： y=kx+1,可得2x2 - kx- 1=0,利用> 0,即 可證明l與C必有兩交點；(2)根據(jù)直線OA和OB斜率之和為1,利用韋達定理可得k的值.【解答】(1)證明：聯(lián)立拋物

23、線C: y=2x2和直線l： y=kx+1,可得2x2- kx-1=0,.=k2+8>0,，l與C必有兩交點;(2)解：設(shè) A (xi, yi), B(X2, y2),則2久=1 叼治因為 yi=kxi+1, y2=kx?+1,代入，得 2k+ (+) =1 町工2因為X1+X2,k, X1X2= - -7,代入得k=1.222218 .斜率為1的動直線L與橢圓三-+9二1交于P, Q兩點，M是L上的點，且滿足42| MP|?| MQ|=2,求點M的軌跡方程.【考點】橢圓的簡單性質(zhì).【分析】設(shè)直線 L的方程為：y=x+t, P(X1, y1)，Q(X2, y2), M (m, n).可得

24、 y1=x1+t, y2=X2+t , t=n - m ,直線方程與 橢圓方程聯(lián)立可得：3x2+4tx+2t2 - 4=0 , | MP| = F ) 4 (V F )，= J26 F)',同理可得：| MQ| =，2(工2 f" 利用|MP|?|MQ|=2,代入化簡即可得出.【解答】解：設(shè)直線L的方程為：y=x+t, P(X1, y1)，Q (泡，v- , M (m, n).則 y1=X1+t, y2=X2+t, t=n - m.聯(lián)立 1y7c+ 2,化為：3x2+4tx+2t2-4=0,2 =16t2- 12 (2t2-4) >0,解得：t2<6. .X1+X

25、2=粵，=2LW.3 IE 3| MP| =J(K F)4 (y F)2=小2(1F) £ ,同理可得：| MQ|=j2(X2F)<| MP| ?| MQ| =2, . 1=| (x1 - m) (x2- m) | = | 工工+ ”)I, m2+2n2=1 或 7.點M的軌跡為橢圓，其方程為 m2+2n2=1或7.19.已知橢圓x2+2y2=1上存在兩點A, B關(guān)于直線L： y=4x+b對稱，求實數(shù)b的取值范圍. 【考點】橢圓的簡單性質(zhì).【分析】將A, B坐標(biāo)代入橢圓方程，利用作差法，求得直線 AB的斜率，由直線AB的斜 率為-十，代入求得AB中點M（X0, y°）

26、,橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)與 m的關(guān)系，代入x2+2y2< 1,即可求得b的取值范圍.【解答】解：二橢圓x2+2y2=1,焦點在x軸上,設(shè)橢圓上兩點A (xi, yi)、B(X2, v2關(guān)于直線y=4x+b對稱,AB中點為M (xo, yo),直線AB的斜率為-14則 xi2+2yi2=1,x22+2y22=1,一得：(xi+x2)(x1 一x2)+2 (yi+y2)(yi y2)=0,由中點坐標(biāo)公式可知：xi+x2=2xo, yi+y2=2yo,即 2xo? (x1一x2)+2?2yo? (yy2)=0,. 3J 13 1 =?=x)- x 22 M 4191；yo弓xo,代入直線方程 y=4x+b 得 xo=-yb, yo=-yb；(xo, yo)在橢圓內(nèi)部，2 i 2.J1L+2X 工<1,即 6b2<49,4g 49_解得孚<b<?理. 66實數(shù)b的取值范圍(-孚，攣). 662o,已知雙曲線C的漸近線方程為x± 2y=o,且點A (5,。)到雙曲線上動點P的最小距 離為加，求C的方程.【考點】雙曲線的簡單性質(zhì).2【分析】由已知條件，設(shè)雙曲線方程 亍-y2=%入wo,由定點A (5。)到雙曲線C上的動 點P的最小距