第三章邏輯函數(shù)化簡

1、:布爾代數(shù)的基本公式公式名稱公式1、 0-1 律A*0=0A+1=12、自等律A*1=AA+0=A3、等幕律A*A=AA+A=A4、互補律A*A=0A+A=15、交換律A*B=B*AA+B=B+A6、結(jié)合律A* (B*C) = (A*B) *CA+ (B+Q = (A+B) +C7、分配律A(B+C =AB+ACA+BC=(A+B) (A+Q8、吸收律1(A+B) (A+B =AAB+AB=A9、吸收律2A (A+B) =AA+AB=A10、吸收律3A (A+B) =ABA+AB=A+B11、多余項定律(A+B) (A+Q (B+。=(A+B) (A+QAB+AC+BC=AB+AC12、合合律

2、()=A13、求反律 _AB=A+BA+B=A*B下面我們來證明其中的兩條定律：(1)證明：吸收律1第二式AB+AB=A左式=AB+AB=AB+B =A4式(因為B+B=D(2)證明：多余項定律AB+AC+BC=AB+AC左式=AB+AC+BC=AB+AC +BA+A)=AB+AC+ABC+ABC=AB (1+Q +AC (1+B)=AB+AC右式證畢注意：求反律又稱為摩根定律，它在邏輯代數(shù)中十分重要的。二：布爾代數(shù)的基本規(guī)則代入法則它可描述為邏輯代數(shù)式中的任何變量 A,都可用另一個函數(shù)Z代替，等式仍然成立。,對偶法則它可描述為對任何一個邏輯表達式 F,如果將其中的“ +”換 成 ，“*”換成

3、“+” “1”換成“0”，“0”換成“1”，仍保持原來 的邏輯優(yōu)先級，則可得到原函數(shù) F的對偶式G而且F與G互為對偶式。我 們可以看出基本公式是成對出現(xiàn)的，二都互為對偶式。反演法則有原函數(shù)求反函數(shù)就稱為反演(利用摩根定律)，我們可以把反演法則這樣描述：將原函數(shù) F中的“*”換成“+”，“+”換 成“*”，“0”換成“1”，“1”換成“0” ；原變量換成反變量，反變量 換成原變量，長非號即兩個或兩個以上變量的非號不變，就得到原函數(shù)的反 函數(shù)。一：邏輯函數(shù)化簡的基本原則邏輯函數(shù)化簡，沒有嚴格的原則，它一般是依以下幾個方面進行：邏輯電路所用的門最少；各個門的輸入端要少；邏輯電路所用的級數(shù)要少；,邏輯

4、電路要能可靠的工作。這幾條常常是互相矛盾的，化簡要根據(jù)實際情況來進行。下面我們來用例題說明一下：例 1:化簡函數(shù) F=AB+CD+AB+CD A-n R用基本邏輯門實現(xiàn)。d-"f(1)先化簡邏輯函數(shù) F=AB+CD+AB+CD =B+B +D (C+C =A+D二：邏輯函數(shù)的形式和邏輯變換邏輯函數(shù)的形式很多，一個邏輯問題可以用多種形式的邏輯函數(shù)來描 述。邏輯函數(shù)的表達式可分為五種：1."與或"表達式2."或與"表達式3.”與非”表達式4."或非”表達式5."與或非” 表達式。這幾種表達式之間可以互相轉(zhuǎn)換，應(yīng)根據(jù)要求把邏輯函數(shù)

5、化簡成我們 所需要的形式。一：在學(xué)習(xí)之前我們先來了解幾個概念(1)邏輯相鄰項：它可描述為在兩個與或邏輯中，除某個因子互為非外，其余 的因子都相同。(2)邏輯最小項：它可描述為在給定變量數(shù)目的邏輯函數(shù)中，所有變量參加相 與的項。在某一個最小項中每個變量只能以原變量或反變量的形式出現(xiàn)一次。邏輯最小項的性質(zhì)是： 全部最小項之和為“ 1” ； 兩個不同的最小項之積為“ 0” ； n變量有2n項最小項。(3)最小項標準式：全是最小項組成的“與或”式。二：卡諾圖化簡的基本原理凡兩個邏輯相鄰項，可合并為一項，其合并的邏輯函數(shù)是保留相同的，消去相 異的變量。三：卡諾圖的結(jié)構(gòu)每一個最小項用一個方格表示，邏輯相鄰

6、的項幾何位置上也相鄰，卡諾圖每方 格取值按循環(huán)碼排列四：卡諾圖的表示法 先將邏輯函數(shù)式化為最小項表達式，再填寫卡諾圖。 用真值表填寫對應(yīng)的卡諾圖方格。 直接填寫(橫縱保留相同的因子)五：卡諾圖中的最小項的合并規(guī)律合并規(guī)律：21個相鄰項合并時消去一個相同的變量，22個相鄰的項合并時消去兩個相同的變量，以此類推，2n個相鄰的項合并時消去n個相同的變量。相鄰項的性質(zhì)是（1）具有公共邊（2）對折重合（3）循環(huán)相鄰六:"與或"邏輯化簡例：化簡 F=BCD+BC+ADC+ABC+ABC形法）（1）用卡諾圖表示邏輯函數(shù)：（如下圖）（2）畫卡諾圈圈住全部“ 1”的方格（規(guī)則是：圈盡可能大；

7、允許重復(fù)，但要新；孤立的“ 1”獨圈。）（3）組成新函數(shù)是F=BC+AC+ADB（4）畫出邏輯電路：（如右下圖所示）00 01 11 100t口000r00LJ七：其它邏輯形式的化簡（1）"與非"邏輯形式方法是：把邏輯函數(shù)用卡諾圖化簡得“與或"式，然后"與或”式兩次求反即得"與非”式。（2）"或與"邏輯形式方法是：從卡諾圖上求其反函數(shù)（圈"0"方格）由反函數(shù)求得原函數(shù)，再利用摩根定律即得"或與”式。也可直接從卡諾圖中求得"或與”式：把圖中的"0"作為原變量，把原變量

8、相"或"起來，就得每一"或"項,把每一項再"與"起來就是我們所求的結(jié)果。我們用例題來說明一下：例2:求例題1得"或與"式.1 .我們先用卡諾圖表示函數(shù)式（如下左圖）2 .然后圈圖中的"0"方格，用"或與”式把函數(shù)的化簡結(jié)果表示出來F=（A+B+D）（A+B+C）（A+B+C）3 .再用邏輯門電路來實現(xiàn)邏輯函數(shù)的化簡結(jié)果.（如下右圖）（3）"或非"邏輯形式方法是：先求得"或與”式，然后兩次求反即得"或非”式。（4）"與或非"邏輯

9、形式方法是（有兩種）得"與或"式后，兩次求反不用摩根定律處理即得.求得反函數(shù)（反函數(shù)的求法是：在卡諾圖中圈"0"方格，然后用與或式把"0"方格實現(xiàn)出來既是反函數(shù)）后，再求一次反不用摩根定律處理即得。八：無關(guān)項及無關(guān)項的應(yīng)用邏輯問題分完全描述和非完全描述兩種。完全描述就是函數(shù)得每組變量不管取什麼值，邏輯函數(shù)都有意義，邏輯函數(shù)與每個最小項都有關(guān)。非完備描述就是在實際中變量的某些取值式函數(shù)沒有意義或變量之間有一定的制約關(guān)系。我們把與函數(shù)無關(guān)的最小項稱為 無關(guān)項，它有時也稱為禁止項，約束項，任意 項。它的輸出是任意的?；営袩o關(guān)項的邏輯函數(shù)時

10、，若無關(guān)項對化簡有幫助 則認為是“1”否則為“ 0”。例3.化簡F=ACB+BAC 約束項條件為 AB+AC+BC=01 .先用卡諾圖把函數(shù)表示出來，約束項就是AB AG BC不能同時為"0"（如下左 圖）2 .（我們從圖中可以看到，若不考慮無關(guān)項的話，函數(shù)時不能化簡得）考慮無關(guān) 項的化簡結(jié)果為F=A+C.3 .用門電路來實現(xiàn)邏輯函數(shù).（如下右圖）九：輸入只有原變量的函數(shù)化簡在實際中有時會遇到只有原變量的函數(shù)，那怎樣化簡它呢？用"非"門求得反變量來解決這種問題是很不經(jīng)濟?？梢杂萌夒娐吩O(shè)計法 （阻塞 法）來解決這樣的問題.在卡諾圖中人們可以發(fā)現(xiàn)一種特殊現(xiàn)象.當卡諾圈中含有全"1"方格（二變量的"11"即AB;三變量的"111'即ABC等）時，其化簡結(jié)果均為 原變量。在化簡這類問題時就可以利用這個性質(zhì)，若沒有給全"1"的邏輯項，可以先把它在卡諾圖中圈出來，然后再阻塞掉即可。例4:輸入只有原變量，用與非門實現(xiàn) F=2（3, 4, 5, 6）1 .現(xiàn)在用卡諾圖化簡函數(shù)（如下左圖），并阻塞掉全"1"方格.F=AABC+BCABC=2 .用邏輯門電路實現(xiàn)邏輯函數(shù)如下右圖所示（它為三級電路）十：多輸出函數(shù)的化簡實際中電路常常有兩個或兩個以上的輸出端，在化