曲線上存在兩條互相垂直的切線問題模型探究

1、曲線上存在兩條互相垂直的切線問題模型探究例題1(2013天津預(yù)賽5)如果曲線y=2sin的兩條互相垂直的切線交于點(diǎn)P，則P點(diǎn)的坐標(biāo)不可能2是()(A)二，二 (B) 3二，一二(C) 5 ,-7：(D) 7二，一二解析設(shè)曲線y =2sin -在點(diǎn)A(x1,2s in仝)，B(,2si n X2)的切線交于點(diǎn)2 2 2P,那么由題意可知:席2二-1，其中k1 =X1x2口仃X1x2Acos , k2 =cos ; 即有 cos cos 1 .22 22又-1 _ cos 丄 _1, -1 _ co _ 1，則有 -1 _ cos蟲- - 2cos 1，當(dāng)且僅當(dāng)cos冬cos222=1時(shí)，等號成立

2、因此，當(dāng)x1x2zcos = -cos= 1 時(shí)，22Xix2Xt =2k跡2跡2 ，即可知b=2(k%那么評注例題2( 2013山東預(yù)賽10)假設(shè)實(shí)數(shù)b， c滿足b2 c2 =1，且f (x)二ax b sinx c cosx 的圖象上存在兩條切線互相垂直，則a的取值范圍是.解析 f(x)=ax，bsin x ccosx = ax c2 sin(x能)=ax sin(xW);設(shè)圖象上兩條切線在曲線上的切點(diǎn)分別為 A(X1,yJ, Bgy)，則有 磯 =f x f x -1. 即:a cos(x1ylla cos(X2) I - -1 在中，令 ti =cos(x ),(i =1,2)，展開后

3、有 a2a(t1 t2) t1t2 0，由 a，R可知：_0，又-=(tj t) - 4(址2，1) =(tj -t2)- 4 在中，由于ti -1,1，那么t1 t2乞2，即厶=(t1 t2)2 4空0，因此由可知掄=0 , t1 _ “2 = 1 , 代入到中解得a=0.綜上可知：a的取值范圍是a =0 .評注此題可溯源到如下例題：例題3已知函數(shù)f(x) =x3 ,(I )記(x)二 f (x) f (x)(t R)，求(x)的極小值;3(II)若函數(shù)h(x) =，f (x)sinx的圖象上存在互相垂直的兩條切線，求實(shí)數(shù) 的值及相應(yīng)的切點(diǎn)坐標(biāo)(II)解析 h(x)二 3 x si，那么 h

4、(x)=3， cosx，設(shè)切點(diǎn)分別為tj,h ti ji =1,2.由題意知htiht2-1，即有3:. costi3cost2-1，展開得到29；，. ：:. 3(cost1 cost2:; (cos t1 cost2 1)=0 ,在中，由.三 R可知，: =9(cost1 cost2)當(dāng)-1,1時(shí)，圖象上是否存在兩點(diǎn)，使得過此兩點(diǎn)處的切線互相垂直？試證明你的結(jié)論 -36(cost1cost2 1)_0 ,即卩(cost1cost2)2 _4 .又 cost1_cost20,b0)的圖象在它們的一個(gè)交點(diǎn)14處互相垂直，則-的最小值是()a b(A)18、16(C)4心、24(B)(D) 55

5、5解析設(shè)兩個(gè)函數(shù)交與(X0, y),則有補(bǔ)2 =(2xq 2)(_2x0 a)=-21，即 4X0 -2(2 a)X0 2a 1 = 0又 y=X02 -2X0 +2 與y=-x2+ax+b,得到 2X02_(2+a) X0+2-b=0;亦即 4怡2- 2(2a)x 2(2b)=0 ;因此，可得2a 1 =4 2b，即a b2a,b 0故1a b ( 42(1 4 b，當(dāng)且僅當(dāng)b二竺時(shí)，等號成立.a b 5a b 5a b 5a b例題6已知函數(shù)f(x)二x 2x的圖象在 Ag, f(xj), B(X2,f(X2) (Xi沐2 ：0)處的切線互相垂直，則X2 -Xi的最小值為()1 3(A)(B) 1(C)(D) 22 2解析 f(Xi)f X2=(2x,- 2)(2 X22-1，由Xi：X2：0 可知2Xi