第十八章極值和條件極值ppt課件

1、第十八章第十八章 極值與條件極值極值與條件極值第一節(jié)第一節(jié) 極值與最小二乘法極值與最小二乘法xyz一、一、 多元函數(shù)的極值多元函數(shù)的極值 定義定義: 若函數(shù)若函數(shù)則稱函數(shù)在該點(diǎn)取得極大值(極小值).例如例如 :在點(diǎn) (0,0) 有極小值;在點(diǎn) (0,0) 有極大值;在點(diǎn) (0,0) 無極值.極大值和極小值統(tǒng)稱為極值, 使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).),(),(00yxfyxf),(),(00yxfyxf或2243yxz22zxyyxz ),(),(00yxyxfz在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有xyzxyz闡明闡明: 使偏導(dǎo)數(shù)都為使偏導(dǎo)數(shù)都為 0 的點(diǎn)稱為駐點(diǎn)的點(diǎn)稱為駐點(diǎn) . 例如,定理定理1 (必要條件必要

2、條件) 函數(shù)偏導(dǎo)數(shù),證證:據(jù)一元函數(shù)極值的必要條件可知定理結(jié)論成立.0),(,0),(0000yxfyxfyx取得極值 ,取得極值取得極值 但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).有駐點(diǎn)( 0, 0 ), 但在該點(diǎn)不取極值.且在該點(diǎn)取得極值 , 則有),(),(00yxyxfz在點(diǎn)存在),(),(00yxyxfz在點(diǎn)因在),(0yxfz 0 xx 故在),(0yxfz 0yy yxz 定理定理2 (充分條件充分條件)的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 且令若函數(shù)的在點(diǎn)),(),(00yxyxfz 0),(,0),(0000yxfyxfyx000000(,) ,(,) ,(,)xxxyyyAfxyBfxyCfx

3、y時(shí), 具有極值那么: 1) 當(dāng)2) 當(dāng)3) 當(dāng)時(shí), 沒有極值.時(shí), 不能確定 , 需另行討論.20ACB 時(shí)取極小值;0A 時(shí)取極大值;0A20ACB20ACB二、最值應(yīng)用問題二、最值應(yīng)用問題函數(shù) f 在閉域上連續(xù)函數(shù) f 在閉域上可達(dá)到最值 最值可疑點(diǎn) 駐點(diǎn)邊界上的最值點(diǎn)特別特別, 當(dāng)區(qū)域內(nèi)部最值存在當(dāng)區(qū)域內(nèi)部最值存在, 且只有一個(gè)極值點(diǎn)且只有一個(gè)極值點(diǎn)P 時(shí)時(shí), )(Pf為極小 值)(Pf為最小 值( (大大) )( (大大) )根據(jù)第二節(jié) 條件極值與拉格朗日乘數(shù)法三、條件極值三、條件極值極值問題無條件極值:條 件 極 值 :條件極值的求法: 方法方法1 代入法代入法.求一元函數(shù)的無條件

4、極值問題對自變量只有定義域限制對自變量除定義域限制外,還有其它條件限制例如 ,轉(zhuǎn)化,0),(下在條件yx的極值求函數(shù)),(yxfz )(0),(xyyx 中解出從條件)(,(xxfz,0),(下在條件yx方法方法2 拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法.如方法 1 所述 ,則問題等價(jià)于一元函數(shù)可確定隱函數(shù)的極值問題,極值點(diǎn)必滿足設(shè) 記.),(的極值求函數(shù)yxfz 0),(yx, )(xy)(,(xxfz例如例如,故 0ddddxyffxzyx,ddyxxy因0yxyxffyyxxff故有引入輔助函數(shù)輔助函數(shù)F 稱為拉格朗日( Lagrange )函數(shù).0 xxxfF0yyyfF0F利用拉格極值點(diǎn)必滿足

5、0 xxf0yyf0),(yx則極值點(diǎn)滿足:朗日函數(shù)求極值的方法稱為拉格朗日乘數(shù)法.),(),(yxyxfF例例1. 求求 滿足約束條件滿足約束條件的最大值。的最大值。8Vxyz2221, ,0 xyzx y z解：作拉格朗日函數(shù)：解：作拉格朗日函數(shù)：222( , , )8()L x y zxyzxyz令令820 xLyzx820yLxzy820zLxyz2221xyz13xyz即，穩(wěn)定點(diǎn)：即，穩(wěn)定點(diǎn)：111(,)333由實(shí)際問題知所求最大值必存在，而穩(wěn)定點(diǎn)又唯一，因此唯一的穩(wěn)定點(diǎn)就是最大值點(diǎn)。故球內(nèi)接長方體中以正方體的體積最大。例例2. 求在求在 約束條約束條件件( , , )f x y z

6、xyz1111, ,0 x y zxyzr下的極小值；下的極小值；并證明不等式：并證明不等式：131113()3, ,0 xyzx y zxyz解：作拉格朗日函數(shù)：解：作拉格朗日函數(shù)：111( , , )()L x y zxyzxyz令令20,xLyzx20,yLxzy20,zLxyz1111,xyzr3xyzr即，穩(wěn)定點(diǎn)：即，穩(wěn)定點(diǎn)：(3 ,3 ,3 )rrr下面判別穩(wěn)定點(diǎn)是極值點(diǎn)下面判別穩(wěn)定點(diǎn)是極值點(diǎn)記記1111( , , )F x y zxyzr那那么么2310zzrF (3r,3r,3r)z 故方程故方程11111111( , , )0 ()F x y zxyzrxyzr在穩(wěn)定點(diǎn)在穩(wěn)定

7、點(diǎn) 附近可唯一確定可微數(shù)附近可唯一確定可微數(shù)(3 ,3 ,3 )rrr( , )zz x y令令( , )( , , ( , )g x yf x y z x y現(xiàn)在用二元函數(shù)取極值的充分條件判別現(xiàn)在用二元函數(shù)取極值的充分條件判別是是 的極值點(diǎn)。的極值點(diǎn)。(3 ,3 )rr( , )g x y由約束條件得：由約束條件得：2222,zzzzxxyy 從而從而2gzyzyzxyyzxxx2gzxzxzxyxzyyy22322322,gzyzyzzyzyxxxxxx2222322gzzyzzzzzzyzx yyxxyyxxy 23232gxzyy故故 在在 點(diǎn)有點(diǎn)有( , )g x y(3 ,3 )r

8、r111221222270aaDraa1160ar. 因此因此 在在 取極小值取極小值 , ( , )g x y(3 ,3 )rr這等價(jià)于這等價(jià)于 在在 取極小值取極小值 ( , , )f x y z(3 ,3 ,3 )rrr3(3 ,3 ,3 )(3 )frrrr分析約束集 1111, , , ,0Dx y zx y zxyzr是一無界集。當(dāng) 在 內(nèi)遠(yuǎn)離原點(diǎn)時(shí)，函數(shù)將 趨于正無( , , )x y zD窮。因此，函數(shù) 的唯一極小值點(diǎn)是函數(shù)的 最小值點(diǎn)，即 ff3(3 ) , ( , , ),xyzrx y zD1111()rxyz代入得， 131113()3, ,0 xyzx y zxyz推

9、行推行拉格朗日乘數(shù)法可推廣到多個(gè)自變量和多個(gè)約束條件的情形. 設(shè)解方程組可得到條件極值的可疑點(diǎn) . 例如例如, 求函數(shù)求函數(shù)下的極值.在條件),(zyxfu ,0),(zyx0),(zyx),(),(),(21zyxzyxzyxfF021xxxxfF021yyyyfF021zzzzfF01F01F內(nèi)容小節(jié)1. 函數(shù)的極值問題函數(shù)的極值問題第一步 利用必要條件在定義域內(nèi)找駐點(diǎn).即解方程組第二步 利用充分條件 判別駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn) .2. 函數(shù)的條件極值問題函數(shù)的條件極值問題(1) 簡單問題用代入法, ),(yxfz 0),(0),(yxfyxfyx如對二元函數(shù)(2) 一般問題用拉格朗日乘數(shù)法設(shè)拉

10、格朗日函數(shù)如求二元函數(shù)下的極值,解方程組第二步第二步 判別判別 比較駐點(diǎn)及邊界點(diǎn)上函數(shù)值的大小比較駐點(diǎn)及邊界點(diǎn)上函數(shù)值的大小 根據(jù)問題的實(shí)際意義確定最值根據(jù)問題的實(shí)際意義確定最值第一步 找目標(biāo)函數(shù), 確定定義域 ( 及約束條件)3. 函數(shù)的最值問題函數(shù)的最值問題在條件求駐點(diǎn) . ),(yxfz 0),(yx),(),(yxyxfF0 xxxfF0yyyfF0F習(xí)題例例1.1. 求函數(shù)解解: : 第一步第一步 求駐求駐點(diǎn)點(diǎn). .得駐點(diǎn): (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .第二步第二步 判別判別.在點(diǎn)(1,0) 處為極小值;解方程組ABC),(yxfx09632

11、 xx),(yxfy0632yy的極值.求二階偏導(dǎo)數(shù),66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC5)0, 1 ( f,0Axyxyxyxf933),(2233在點(diǎn)(3,0) 處不是極值;在點(diǎn)(3,2) 處為極大值.,66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC)0,3( f6,0,12CBA31)2,3( f,0)6(122 BAC,0A在點(diǎn)(1,2) 處不是極值;6,0,12CBA)2, 1 (f,0)6(122 BACABC例例2.討論函數(shù)討論函數(shù)及是否取得極值.解

12、解: 顯然顯然 (0,0) 都是它們的駐點(diǎn)都是它們的駐點(diǎn) ,在(0,0)點(diǎn)鄰域內(nèi)的取值, 因此 z(0,0) 不是極值.因此,022時(shí)當(dāng) yx222)(yxz0)0 , 0( z為極小值.正正負(fù)負(fù)033yxz222)(yxz在點(diǎn)(0,0)xyzo并且在 (0,0) 都有 02BAC33yxz可能為0)()0 , 0()0 , 0(222yxz例例3.3.解解: 設(shè)水箱長設(shè)水箱長,寬分別為寬分別為 x , y m ,則高為則高為則水箱所用材料的面積為令得駐點(diǎn)某廠要用鐵板做一個(gè)體積為2根據(jù)實(shí)際問題可知最小值在定義域內(nèi)應(yīng)存在,的有蓋長方體水問當(dāng)長、寬、高各取怎樣的尺寸時(shí), 才能使用料最省?,m2yx

13、2Ayxyxy2yxx2yxyx22200yx0)(222xxyA0)(222yyxA因此可斷定此唯一駐點(diǎn)就是最小值點(diǎn). 即當(dāng)長、寬均為高為時(shí), 水箱所用材料最省.3m)2,2(33323222233例例4. 有一寬為有一寬為 24cm 的長方形鐵的長方形鐵板板 ,把它折起來做成解解: 設(shè)折起來的邊長為設(shè)折起來的邊長為 x cm,則斷面面積x24一個(gè)斷面為等腰梯形的水槽,傾角為 ,Acos2224xx x224(21sin) xsincossin2sin2422xxxx224x積最大. )0,120:(2 xD為問怎樣折法才能使斷面面cos24xcos22x0)sin(cos222x令xAsi

14、n24sin4x0cossin2xA解得:由題意知,最大值在定義域D 內(nèi)達(dá)到,而在域D 內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn), 故此點(diǎn)即為所求.,0sin0 xsincossin2sin2422xxxA)0,120:(2 xD0cos212xx0)sin(coscos2cos2422xx(cm)8,603x例例5.要設(shè)計(jì)一個(gè)容量為0V則問題為求x , y ,令解方程組解解: 設(shè)設(shè) x , y , z 分別表示長、寬、高分別表示長、寬、高,下水箱表面積最小.z 使在條件xF02zyyzyF02zxxzzF0)(2yxyxF00Vzyx水箱長、寬、高等于多少時(shí)所用材料最??？的長方體開口水箱, 試問 0VzyxyxzyzxS)(2)()(20VzyxyxzyzxFxyz補(bǔ)充題已知平面上兩定點(diǎn) A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ),試在橢圓圓周上求一點(diǎn) C, 使ABC 面積 S最大.解答提示解答