數(shù)列解題技巧歸納總結(jié)打印

1、數(shù)列解題技巧歸納總結(jié)基礎(chǔ)知識(shí)：1 數(shù)列、項(xiàng)的概念 ：按一定次序 排列的一列數(shù)，叫做數(shù)列 ，其中的每一個(gè)數(shù)叫做數(shù)列的項(xiàng)2數(shù)列的項(xiàng)的性質(zhì) ： 有序性 ； 確定性 ； 可重復(fù)性 3數(shù)列的表示 ：通常用字母加右下角標(biāo)表示數(shù)列的項(xiàng)，其中右下角標(biāo)表示項(xiàng)的位置序號(hào)，因此數(shù)列的一般形式可以寫(xiě)成a1，2， 3， n，（ ），簡(jiǎn)記作 an其中n 是該數(shù)列的第n項(xiàng)，列表法、圖象法、 符aaaa號(hào)法、列舉法、解析法、公式法（通項(xiàng)公式、遞推公式、求和公式）都是表示數(shù)列的方法4數(shù)列的一般性質(zhì) ：?jiǎn)握{(diào)性；周期性5 數(shù)列的分類(lèi) ：按項(xiàng)的數(shù)量分：有窮數(shù)列、 無(wú)窮數(shù)列；按相鄰項(xiàng)的大小關(guān)系分：遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列、擺動(dòng)數(shù)列、

2、其他；按項(xiàng)的變化規(guī)律分：等差數(shù)列、等比數(shù)列、其他；按項(xiàng)的變化范圍分：有界數(shù)列、無(wú)界數(shù)列6 數(shù)列的通項(xiàng)公式 ：如果數(shù)列 an 的第n項(xiàng)n 與它的序號(hào)n之間的函數(shù)關(guān)系可以用一個(gè)公式（）（ N+aa n =f nn或其有限子集 1 ， 2， 3， ， n ） 來(lái)表示，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式數(shù)列的項(xiàng)是指數(shù)列中一個(gè)確定的數(shù)，是函數(shù)值，而序號(hào)是指數(shù)列中項(xiàng)的位置，是自變量的值由通項(xiàng)公式可知數(shù)列的圖象是 散點(diǎn)圖 ，點(diǎn)的橫坐標(biāo)是項(xiàng)的序號(hào)值，縱坐標(biāo)是各項(xiàng)的值 不是所有的數(shù)列都有通項(xiàng)公式，數(shù)列的通項(xiàng)公式在形式上未必唯一7 數(shù)列的遞推公式 ：如果已知數(shù)列 an 的第一項(xiàng)（或前幾項(xiàng)） ，且任一項(xiàng) an 與它

3、的前一項(xiàng)an-1 （或前幾項(xiàng) an- 1，n-2 ， ）間關(guān)系可以用一個(gè)公式an= （a n 1）（ =2，3， ） （或an= （a n 1,a n 2）(3，4，5， ) ， ）afnfn=來(lái)表示，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式 8數(shù)列的求和公式 ：設(shè) S 表示數(shù)列 a 和前 n 項(xiàng)和，即 S =nai =a1+a2+ +a ，如果 S 與項(xiàng)數(shù) n 之間的函數(shù)nnnnni 1關(guān)系可以用一個(gè)公式S = f （n）（ n=1，2， 3， ） 來(lái)表示，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的求和公式 n9 通項(xiàng)公式與求和公式的關(guān)系：通項(xiàng)公式an 與求和公式n 的關(guān)系可表示為：anS1 (n1)SSnSn

4、1 (n2)等差數(shù)列與等比數(shù)列：等差數(shù)列等比數(shù)列文一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與字它的前一項(xiàng)的差是同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列它的前一項(xiàng)的比是同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列定就叫等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫等差數(shù)列的公差。就叫等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫等比數(shù)列的公比。義符an 1andan1q(q 0)號(hào)an定義遞增數(shù)列：分遞減數(shù)列：類(lèi)常數(shù)數(shù)列：d0d0遞增數(shù)列：a10， q1或 a10，0q1d0ana1(n 1)d pn q am( n m)d通項(xiàng)其中 pd , q a1d前n( a1an )n(n 1)dpn2qnSn2na1n2項(xiàng)其中 pdd和, q a122

5、中a, b, c成等差的充要條件:2bac項(xiàng)等和性： 等差數(shù)列an若 m np q 則 amana paq主推論：若 mn 2 p 則 aman2a p要性質(zhì)an kan k2ana1 ana2an 1a3an 2即：首尾顛倒相加，則和相等1、等差數(shù)列中連續(xù) m 項(xiàng)的和，組成的新數(shù)列是等差數(shù)列。即：sm , s2msm , s3 ms2m ,等差，公差為其m2d 則有 s3 m3(s2 msm )2、從等差數(shù)列中抽取等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列是一個(gè)等差數(shù)列。如： a1, a4 ,a7 , a10 ,（下標(biāo)成等差數(shù)列）3 、an , bn等 差 ， 則a2 n，a2n 1，它kan b ， pan q

6、bn 也等差。4、等差數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式是 n 的一次函數(shù)，即： an dn c ( d 0 )遞減數(shù)列： a10， q1或 a10，0q1擺動(dòng)數(shù)列： q0常數(shù)數(shù)列： q1ana1qn 1amqn m （ q0 ）Sna1 (1qn ) (q1)1qna1(q1)a,b,c成等比的必要不充分條件：b2ac等積性： 等比數(shù)列an若 m np q 則 am ana p aq推論：若 mn2 p 則 am an (ap )2anan k(a )2kna1 ana2 an 1a3 an2即：首尾顛倒相乘，則積相等1、等比數(shù)列中連續(xù)項(xiàng)的和，組成的新數(shù)列是等比數(shù)列。 即：sm, s2msm , s3m

7、s2m ,等比，公比為 qm 。2 、從等比數(shù)列中抽取等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列是一個(gè)等比數(shù)列。如： a1, a4 , a7 , a10 ,（下標(biāo)成等差數(shù)列）3、 an, bn 等比，則 a2 n ， a2n 1 ， kan也等比。其中k04、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式類(lèi)似于n 的指數(shù)函數(shù)，即： ancqn ，其中 ca1q等比數(shù)列的前n 項(xiàng)和公式是一個(gè)平移加振幅的 n 的指數(shù)函數(shù)，即：sncqnc(q1)等差數(shù)列an的前 n項(xiàng)和公式是一個(gè)沒(méi)有常5、等比數(shù)列中連續(xù)相同項(xiàng)數(shù)的積組成的新數(shù)列是等比數(shù)列。數(shù)項(xiàng)的 n 的二次函數(shù)，性即： SnAn2Bn ( d 0 )5、項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n1的等差數(shù)列有：s奇ns奇s偶

8、ana中s偶n1s2n 1(2 n1)an項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n的等差數(shù)列有：質(zhì)s奇an， ssnds偶an 1偶奇s2nn(anan 1 )6、 an m, amn 則 am n0snsm 則 sm n0( n m)snm, smn 則 sm n(m n)證明一個(gè)數(shù)列為等差數(shù)列的方法：證明一個(gè)數(shù)列為等比數(shù)列的方法：證1、定義法： an明1、定義法： an1and(常數(shù) )1q(常數(shù) )方an法2、中項(xiàng)法： an1an 12an ( n2)2、中項(xiàng)法： an20)1an 1 （ an）(n 2, an設(shè)三數(shù)等差： ad, a, ad三數(shù)等比： a , a, aq或 a, aq, aq2元q技四數(shù)等差：

9、 a3d, ad , a d , a3d巧四數(shù)等比： a, aq, aq2 , aq31、若數(shù)列 an是等差數(shù)列， 則數(shù)列Can是等比數(shù)列， 公比為 C d ，其中 C 是常數(shù)， d 是 an聯(lián)的公差。系2、若數(shù)列an是等比數(shù)列，且an0 ，則數(shù)列l(wèi)og a an 是等差數(shù)列，公差為 log a q ，其中 a是常數(shù)且 a 0, a1 ， q 是 an的公比。數(shù)列的項(xiàng) an 與前 n 項(xiàng)和 Sn 的關(guān)系： ans1(n1)snsn 1 (n2)數(shù)列求和的常用方法：1、拆項(xiàng)分組法：即把每一項(xiàng)拆成幾項(xiàng)，重新組合分成幾組，轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列求和。2、錯(cuò)項(xiàng)相減法：適用于差比數(shù)列（如果an 等差，bn 等比

10、，那么an bn 叫做差比數(shù)列）即把每一項(xiàng)都乘以bn 的公比 q ，向后錯(cuò)一項(xiàng)， 再對(duì)應(yīng)同次項(xiàng)相減， 轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和。3、裂項(xiàng)相消法：即把每一項(xiàng)都拆成正負(fù)兩項(xiàng)，使其正負(fù)抵消，只余有限幾項(xiàng)，可求和。適用于數(shù)列1和1（其中 an等差）an an 1anan1可裂項(xiàng)為：11 ( 11) ，11 ( aa )an an 1d anan 1anan 1dn 1n等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和的最值問(wèn)題：1、若等差數(shù)列an的首項(xiàng) a10，公差 d0 ，則前 n 項(xiàng)和 Sn 有最大值。（）若已知通項(xiàng)an0；an ，則 Sn 最大0an 1（）若已知Snpn 2qn ，則當(dāng) n 取最靠近q的非零自然數(shù)時(shí)Sn 最大；

11、2 p2、若等差數(shù)列a的首項(xiàng) a0 ，公差d0，則前 n 項(xiàng)和 Sn 有最小值n1an0（）若已知通項(xiàng)an ，則 Sn 最小0；an 1（）若已知2qSnpnqn ，則當(dāng) n 取最靠近的非零自然數(shù)時(shí)S2 pn 最小；數(shù)列通項(xiàng)的求法：公式法 ：等差數(shù)列通項(xiàng)公式；等比數(shù)列通項(xiàng)公式。已知 Sn （即 a1a2an f (n) ）求 an ，用作差法 ： anS1 ,( n 1)SnSn 1,( nf (1),( n1)已知 a1 a2anf (n) 求 an ，用作商法： anf (n)。f (n 1),( n2)已知條件中既有Sn 還有 an ，有時(shí)先求 Sn ，再求 an ；有時(shí)也可直接求an

12、。若 an 1anf (n) 求 an 用累加法 ： an( anan 1 ) (an 1an 2 )(a2a1 ( n2) 。已知 an 1f (n) 求 an ，用累乘法 ： ananan1a2 a1 (n2) 。anan 1an2a1已知遞推關(guān)系求an ，用構(gòu)造法 （構(gòu)造等差、等比數(shù)列） 。2) 。a1 )特別地 ，（1）形如 ankan 1b 、 ankan 1bn （ k ,b 為常數(shù)）的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為 k 的等比數(shù)列 后，再求 an ；形如 ankan 1 k n 的遞推數(shù)列都可以除以k n 得到一個(gè)等差數(shù)列后，再求 an 。an1的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求

13、通項(xiàng)。（ 2）形如 ankan 1b（ 3）形如 an 1 an k 的遞推數(shù)列都可以用對(duì)數(shù)法求通項(xiàng)。（ 7）（理科） 數(shù)學(xué)歸納法 。（ 8）當(dāng)遇到 an 1 an 1d或 an 1q 時(shí)，分奇數(shù)項(xiàng)偶數(shù)項(xiàng)討論，結(jié)果可能是分段an 1一、典型題的技巧解法1、求通項(xiàng)公式（ 1）觀察法。（2）由遞推公式求通項(xiàng)。對(duì)于由遞推公式所確定的數(shù)列的求解，通常可通過(guò)對(duì)遞推公式的變換轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列或等比數(shù)列問(wèn)題。(1) 遞推式為 an+1=an+d 及 an+1=qan（ d， q 為常數(shù)）例 1、 已知 a n 滿(mǎn)足 an+1=an+2，而且 a1=1。求 an。例 1、解 an+1-a n=2為常數(shù) a n

14、是首項(xiàng)為 1，公差為2 的等差數(shù)列 an=1+2（ n-1 ）即 an=2n-1例 2、已知 an 滿(mǎn)足 an 11 an ，而 a12 ，求 an =？2（ 2）遞推式為 an+1=an+f （ n）例 3、已知 an 中 a11an1，求 an .， an 14n221解： 由已知可知 an 1an11 (11)(2n1)( 2n 1)22n1 2n1令 n=1， 2， ，（ n-1 ），代入得（ n-1 ）個(gè)等式累加，即（a2-a 1） +（ a3-a 2）+ +（ an-a n-1 ）an a11 (11)4n 322n14n2 說(shuō)明只要和 f （ 1） +f （ 2）+ +f （n-

15、1 ）是可求的，就可以由an+1=an+f （ n）以 n=1， 2， ，（ n-1 ）代入，可得n-1 個(gè)等式累加而求an。(3) 遞推式為 an+1=pan+q（ p，q 為常數(shù)）例 4、 an 中， a1 1，對(duì)于 n 1（n N）有 an 3an 12 ，求 an .解法一： 由已知遞推式得an+1=3an+2， an=3an-1 +2。兩式相減： an+1-a n=3（ an-a n-1 ）因此數(shù)列 a -an 是公比為 3 的等比數(shù)列，其首項(xiàng)為a -a =（ 3× 1+2） -1=4n+121 an+1-a n=4·3n-1 an+1=3an+2 3an+2-a

16、 n=4· 3n-1即 a n=2· 3n-1 -1解法二： 上法得 a n+1-a n 是公比為3 的等比數(shù)列， 于是有： a2-a 1=4，a3-a 2=4·3，a4-a 3=4·32， ，an-a n-1 =4·3n-2 ，把 n-1 個(gè)等式累加得： an=2·3n-1-1(4) 遞推式為 an+1=p a n+q n （p，q 為常數(shù)）bn 12(bn bn 1 ) 由上題的解法，得： bn2nbn3(1n1)nbn32() an2n)2(3323(5) 遞推式為 an 2pan 1qan思路：設(shè) an 2pan 1qan ,

17、 可以變形為： an 2an 1(an 1an ) ，想于是 a n+1- an 是公比為 的等比數(shù)列，就轉(zhuǎn)化為前面的類(lèi)型。求 an 。(6) 遞推式為 Sn 與 an 的關(guān)系式關(guān)系；（ 2）試用 n 表示 an。11 Sn 1 Sn( anan 1 ) ( 2n 22n 1 ) an 1anan 11 an 1112n1an2n2上式兩邊同乘以n+1n+1n+1nnnn的等差數(shù)列。2得 2 a=2 a +2則2 a 是公差為 2 2nan= 2+ （ n-1 ）· 2=2n2數(shù)列求和問(wèn)題的方法（ 1）、應(yīng)用公式法等差、等比數(shù)列可直接利用等差、等比數(shù)列的前n 項(xiàng)和公式求和，另外記住以

18、下公式對(duì)求和來(lái)說(shuō)是有益的。1 3 5 (2n-1)=n 2【例 8】 求數(shù)列 1，（ 3+5），（ 7+9+10），（ 13+15+17+19）， 前 n 項(xiàng)的和。解本題實(shí)際是求各奇數(shù)的和，在數(shù)列的前n 項(xiàng)中，共有1+2+ +n=1( 1)個(gè)奇數(shù)，n n2最后一個(gè)奇數(shù)為：1+ 1 n(n+1)-1× 2=n2+n-12因此所求數(shù)列的前n 項(xiàng)的和為（ 2）、分解轉(zhuǎn)化法對(duì)通項(xiàng)進(jìn)行分解、組合, 轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列求和。2） + 2222222【例 9】求和 S=1·（ n -1·（ n -2） +3·（ n -3） + +n（ n -n ）解 S=n 2

19、（ 1+2+3+ +n）- （ 13+23+33+ +n3）（ 3）、倒序相加法適用于給定式子中與首末兩項(xiàng)之和具有典型的規(guī)律的數(shù)列，采取把正著寫(xiě)與倒著寫(xiě)的兩個(gè)和式相加，然后求和。例 10、求和： Sn3Cn16Cn23nCnn例 10、解 Sn0 Cn03Cn16Cn23nCnn S n=3n·2n-1（ 4）、錯(cuò)位相減法如果一個(gè)數(shù)列是由 一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘構(gòu)成的 ，可把和式的兩端同乘以上面的等比數(shù)列的公比，然后錯(cuò)位相減求和例 11、 求數(shù)列 1， 3x ， 5x2, ,(2n-1)x n-1 前 n 項(xiàng)的和解設(shè) Sn=1+3+5x2+(2n-1)xn-1 (2)x=0時(shí)， Sn=1(3) 當(dāng) x 0 且 x 1 時(shí)，在式兩邊同乘以x 得 xS n=x+3x 2+5x3+(2n-1)x n， - ，得 (1-x)S n=1+2x+2x 2+2x3+ +2xn-1 -(2n-1)x n(5) 裂項(xiàng)法：把通項(xiàng)公式整理成兩項(xiàng)( 式多項(xiàng) ) 差的形式，然后前后相消。常見(jiàn)裂項(xiàng)方法：例 12、求和11111 53 75 9(2