一道課本立體幾何題引發(fā)的思考

1、一道課本立體幾何題引發(fā)的思考豐縣華山中學(xué) 王永青85683561為什么有些學(xué)生花了很多時間，做了大量題目，就是不得解題的要領(lǐng)呢？缺少對解題過程的反思是其中一個非常重要的原因，數(shù)學(xué)解題過程分以下幾個步驟：審題探索表達(dá)反思；反思是解題過程的深層次的思考；是進(jìn)一步深化，整理和提高的過程，是進(jìn)一步開發(fā)解題的智力價值過程；也是再發(fā)現(xiàn)和再創(chuàng)造的過程。下面從課本一道立幾題的反思入手來分析和解答此題。倒1：P、A、B、C是球O的面上的四個點(diǎn)，PA、PB、PC兩兩垂直，且PA=PB=PC=1，求球O的體積和表面積。（課本P73，例2）圖1 圖2具體解法見課本例題解答反思：仔細(xì)研究此圖形，不難發(fā)現(xiàn)這三條互相垂直的

2、線可以看作是某個正方體的一個頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱，如果能看到這一點(diǎn)的話，我們可以利用補(bǔ)形的方法來完成此題的解答過程，把它補(bǔ)成球的內(nèi)切正方體，而球的內(nèi)切正方體的體對角線必過球心，這樣就很容易地求出球的直經(jīng)，從而求出球的體積V=和表面積S=3。由此可見在立幾中，正、長方體是立幾中的重要模型，教學(xué)積累使我們感到有不少的數(shù)學(xué)問題通過構(gòu)建正、長方體，可使復(fù)雜的問題簡單化，抽象問題直觀化，實(shí)施問題的有效轉(zhuǎn)換，使問題的解決變的簡捷易行。此為課本立幾中的一例題，在此題中我們感受到立幾中的基本圖形的重要性，同時要對基本圖形有一個比較深刻的了解，能感受到它的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，這樣就可用補(bǔ)形的方法來完成解題的過程。變式1：P、

3、A、B、C是球O的面上的四個點(diǎn)，PA、PB、PC兩兩垂直，且PA=1，PB=2，PC=3，求球O的體積和表面積。(構(gòu)建球內(nèi)接長方體可解)變式2：已知球面上的四點(diǎn)O、A、B、C滿足OA、OB、OC兩兩垂直，且球面上一點(diǎn)P，到OA、OB、OC的距離分別為3、4、5，求球的直徑。例2：一個正方體如圖那樣截去四個三棱錐，得到一個正三棱錐A-BCD，則截得到的正三棱錐的體積是正方體體積的幾分之幾。分析：此題如果直接去做的話，既要做圖，又要經(jīng)過繁瑣的計算，真的是有點(diǎn)處復(fù)雜，但我們會發(fā)現(xiàn)截去的四個小的三棱錐的體積非常好求，同時正方體的體積是已知的，所以此題可設(shè)正方體的棱長為a，則四個截去的三棱錐的體積是一樣

4、的大小，且等于正方體體積的六分之一，則截去的體積為正方體積的三分之二，則剩下的體積為正方體的體積的三分之一。變式：一正四面體的棱長都等于a，求此四面體的體積。（圖1） 圖1 圖2分析：大部分同學(xué)都是用從一個頂點(diǎn)向底面作垂線，求出正四面體的高，再求出正四面體的底面積，然后再求出正四面體的體積。反思：正四面體和正方體有著必然的聯(lián)系，我們可以研究正方體，（圖2）如果連接正方體的六個面的一條對角線，可以發(fā)現(xiàn)此六條對角線的連線恰好構(gòu)成一個正四面體，此四面體的棱長是正方體棱長的倍，這樣可以用正方體的體積減去四個三棱錐的體積，就可以求出此正四面體的體積，此法的計算量不大，而且需要的數(shù)據(jù)都是已知的。變式：球的

5、內(nèi)接正四面體的棱長為a，求此球的體積和表面積。（可以把正四面體補(bǔ)成一個正方體，則此四面體可以看作是正方體的六個面的對角線組成，正四面體的棱長等于正方體的邊長的倍，面球的直經(jīng)是正方體的對角線，所以球的體積和表面積即可求）利用補(bǔ)形的方法可以很容易地求出一個比較復(fù)雜的立體幾何題，上面幾個例子充分說明了這一點(diǎn)，但我們利用補(bǔ)形的方法也可以去求二面角和異面直線方面的問題。例3：過正方形ABCD的頂點(diǎn)A作PA面AC，設(shè)PA=PB，求平面PAB和面PAC所成二面角的大小。分析：將原圖補(bǔ)為正方體 ，顯然所求二面角為側(cè)面PQBA與對角面PQCD所成角，幫二面角為45°。（此題還可以用cos=來求解；其中

6、是面PCD在面PAB上的射影響面積，s是面PCD的面積）反思：我們做幾何題時一定要對基本圖形有很好的了解，能把它們之間的內(nèi)在關(guān)系弄好，弄懂，這對我們解決幾何問題來說是比較有利的，由此我們可以看到，數(shù)學(xué)有聯(lián)系緊密的知識結(jié)構(gòu)，數(shù)學(xué)知識本身就是一個創(chuàng)生和發(fā)展的過程，諸多數(shù)學(xué)家的發(fā)明和創(chuàng)造本身就是一本“活生生”的教科書。數(shù)學(xué)可以提供學(xué)生發(fā)現(xiàn)的方法和思維的策略，能夠給學(xué)生以智慧和力量，學(xué)生就有可能實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的“再創(chuàng)造”。因此，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生進(jìn)行的探究性學(xué)習(xí)和再創(chuàng)造，長此以往，學(xué)生在學(xué)習(xí)中就自然而然地就能進(jìn)行再創(chuàng)造和發(fā)現(xiàn)的奇跡，對于學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣有非常大的影響。例4：設(shè)a、b是空間的兩直線，它們在平

7、面上的射影是兩條相交直線，它們在平面上的射影是兩條平行直線，它們在平面上的射影是一條直線外一點(diǎn)，則這樣的平面有多少個？ 分析：構(gòu)造長方體 ，如圖所示：取為a，為b，面為ABCD為， 為，故與平行的平面都滿足題意，故有無數(shù)個。上述的這些例子說明，在解決某些幾何問題時，若能充分應(yīng)用割補(bǔ)法，利用具體對象的特征，往往能找到超乎常規(guī)的巧妙解法，這對激發(fā)學(xué)生興趣，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，促進(jìn)素質(zhì)教育的實(shí)施大有益處，同時課本既是教師教學(xué)之本，又是學(xué)生學(xué)習(xí)之本，教師對課本上的例題，習(xí)題及概念不能僅限于讓學(xué)生做完，老師講完，而應(yīng)適時引導(dǎo)學(xué)生及時進(jìn)行類比反思，多角度思維，逆向思維創(chuàng)造性思維等，真正讓學(xué)生成為課本的奴隸，做題的工具，同時又不能鄙棄教材，甚至丟在一邊，同時變式練習(xí)是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)之法寶，但同時要順其自然，追求自然的變式。所以，在解決問題的過程中，要用策略性知來監(jiān)控自己的解