高中數(shù)學(xué)2.3直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)　教案3人教版必修2

1、兩個(gè)平面垂直的判定和性質(zhì)（三） 教學(xué)目標(biāo)(一)教學(xué)知識(shí)點(diǎn)1兩個(gè)平面互相垂直的判定2兩個(gè)平面互相垂直的性質(zhì)(二)能力訓(xùn)練要求1通過本節(jié)教學(xué)，提高學(xué)生空間想象能力2通過問題解決，提高等價(jià)轉(zhuǎn)化思想滲透的意識(shí)3進(jìn)一步提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力(三)德育滲透目標(biāo)多角度分析、思考問題，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神 教學(xué)重點(diǎn)兩個(gè)平面垂直的判定、性質(zhì) 教學(xué)難點(diǎn)兩個(gè)平面垂直的判定定理、性質(zhì)定理運(yùn)用正確作出符合題意的空間圖形 教學(xué)方法從條件去分析其應(yīng)具有的結(jié)論，從結(jié)論去探討其應(yīng)具備的條件，誘導(dǎo)學(xué)生思考、分析問題 教具準(zhǔn)備投影片兩張第一張：(記作§963 A)

2、第二張：(記作§963 B) 教學(xué)過程 復(fù)習(xí)回顧1二面角、二面角的平面角2求作二面角的平面角的途徑及依據(jù) 講授新課2兩個(gè)平面垂直的判定師兩個(gè)平面互相垂直是兩個(gè)平面相交的特殊情形教室的墻面與地面、一個(gè)正方體中每相鄰的兩個(gè)面、課桌的側(cè)面與地面都是互相垂直的兩個(gè)平面互相垂直的概念和平面幾何里兩條直線互相垂直的概念類似，也是用它們所成的角為直角來定義的，上一節(jié)的學(xué)習(xí)告訴我們二面角的取值范圍是(0，p，即二面角既可以為銳角，也可以為鈍角，特殊情形又可以為直角請(qǐng)同學(xué)給兩個(gè)平面互相垂直下一定義：生兩個(gè)平面互相垂直的定義可表述為：如果兩個(gè)相交平面所成的二面角為直二面角，

3、那么這兩個(gè)平面互相垂直師那么兩個(gè)互相垂直的平面畫其直觀圖時(shí)，應(yīng)把直立平面的邊畫成和水平平面的橫邊垂直，如下圖師生共同動(dòng)手，圖的畫是否直觀，直接影響問題解決平面a 和b 垂直，記作ab師還以教室的門為例，由于門框木柱與地面垂直，那么經(jīng)過木柱的門無論轉(zhuǎn)到什么位置都有門面垂直于地面即ab ，請(qǐng)同學(xué)給出面面垂直的判定定理生兩個(gè)平面垂直的判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直師請(qǐng)兩位同學(xué)給出分析，證明生已知：ABb，ABbB，ABa求證：ab分析：要證ab需證a 和b 構(gòu)成的二面角是直二面角，而要證明一個(gè)二面角是直二面角，需找到其一個(gè)平面角，并證明這個(gè)二面角的平面角是直角

4、證明：設(shè)abCD，則由ABa知，AB、CD共面ABb，CDb，ABCD，垂足為點(diǎn)B在平面b內(nèi)過點(diǎn)B作直線BECD則ABE是二面角a-CD-b的平面角又ABBE，即二面角a-CD-b是直二面角ab師建筑工人在砌墻時(shí)，常用一段系有鉛錘的線來檢查所砌墻面是否和水平面垂直，依據(jù)是什么？生依據(jù)是兩個(gè)平面垂直的判定定理，一面經(jīng)過另一面的一條垂線師從轉(zhuǎn)化的角度來看，兩個(gè)平面垂直的判定定理可簡(jiǎn)述為：線面垂直面面垂直3兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)師在所給正方體中，下式是否正確：平面ADD1A1平面ABCD；D1AAB；D1A面ABCD生AB面ADD1A1，AB面ABCD平面ABCD平面ADD1A1AB面ADD1A1，D1

5、A面ADD1A1ABD1AAA1面ABCD，AD1與平面ABCD不垂直師平面ADD1A1面ABCD，平面ADD1A1平面ABCDAD，A是平面ADD1A1內(nèi)一點(diǎn)過點(diǎn)A可以在平面ADD1A1內(nèi)作無數(shù)條直線，而這些直線滿足什么條件就可以使之與平面垂直？判定定理解決兩個(gè)平面如何垂直，性質(zhì)定理可以解決上述線面垂直兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一平面師從轉(zhuǎn)化的角度可表述為：面面垂直，則線面垂直也給了我們以后證明問題的一種思想方法請(qǐng)同學(xué)予以證明生證明過程如下：已知：ab、aba，ABa，ABa于B求證：ABb證明：在平面b內(nèi)作BEa垂足為B，則ABE

6、就是二面角a-a-b的平面角由ab可知，ABBE又ABa，BE與a是b內(nèi)兩條相交直線，ABb師證明的難點(diǎn)在于“作BEa”為什么要做這一步？主要是由兩面垂直的關(guān)系，去找其二面角的平面角來決定的，構(gòu)造二面角的平面角過程可以體現(xiàn)學(xué)生的創(chuàng)新精神、轉(zhuǎn)化能力例2也可做為性質(zhì)定理用例2求證：如果兩個(gè)平面互相垂直，那么經(jīng)過第一個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)垂直于第二個(gè)平面的直線，在第一個(gè)平面內(nèi)已知：ab，Pa，Pa，ab求證：aa(§963 A)師請(qǐng)同學(xué)分析題的條件及結(jié)果，結(jié)合投影思考證明思路，為了證aa先作出直線ba然后證a與b是同一條線，生先證，爾后教師給予評(píng)注生證明：設(shè)abc，過點(diǎn)P在平面a內(nèi)作直線bc，ab

7、，bb，而ab，Pa因?yàn)榻?jīng)過一點(diǎn)只能有一條直線與平面b垂直所以直線a應(yīng)與直線b重合那么aa師利用“同一法”證明問題，主要是在按一般途徑不易完成問題的情形下所采用的一種數(shù)學(xué)方法，這里要求做到兩點(diǎn)：一是作出符合題意的直線b，不易想到；二是證明直線b和直線a重合，相對(duì)容易些點(diǎn)P的位置由投影所給的圖及證明過程可知，可以在交線上，也可以不在交線上其結(jié)論可作性質(zhì)定理用下面請(qǐng)同學(xué)閱讀例題3結(jié)合投影，試從不同角度證明例3如圖，AB是O的直徑，點(diǎn)C是圓O上的動(dòng)點(diǎn)，過動(dòng)點(diǎn)C的直線VC垂直于O所在平面，D、E分別是VA、VC的中點(diǎn)，直線DE與平面VBC有什么關(guān)系？試說明理由(§963 B)生可從多角度解決

8、該題解法一：VC面ABC，AC面ABC，BC面ABC，VCAC，VCBC則ACB就是面VBC-VC-面VAC的平面角因AB是O的直徑，故ACB90°面VBC面VAC又D、E分別是VA、VC的中點(diǎn)，則DEAC而ACVC即DEVC那么DE面VBC運(yùn)用面面垂直的判定及面面垂直的性質(zhì)轉(zhuǎn)化關(guān)系：二面角是直二面角面面垂直線面垂直解法二：因VC面ABC，AC面ABC，VCAC又AB是O的直徑，即有ACBC由此AC面VBC而D、E是VA、VC中點(diǎn)，DEAC，故DE面VBC此法比解法一簡(jiǎn)單明了，走的彎路較少轉(zhuǎn)化關(guān)系：線垂直面線垂直面內(nèi)線線垂直面與此線平行的線也垂直平面解法三：可找VB中點(diǎn)F，證DEF9

9、0°，進(jìn)而證明ED面VBC(由ACVC，BCVC說明之) 課堂練習(xí)課本P38練習(xí)1，2，31畫互相垂直的兩個(gè)平面，兩兩垂直的三個(gè)平面畫圖略原則：直立平面的豎邊畫成和水平平面橫邊垂直此題可改為：在一個(gè)正方體中找出互相垂直的平面兩兩垂直的三個(gè)平面，觀察表示平面的邊與邊間關(guān)系2檢查工件相鄰兩個(gè)面是否垂直時(shí)，只要用曲尺的一邊緊靠在工件的一個(gè)面上，另一邊在工件的另一個(gè)面上轉(zhuǎn)動(dòng)，觀察尺邊是否和這個(gè)面密合就可以了，這是為什么？此題說明數(shù)學(xué)源于實(shí)際生活，反過來為實(shí)際生活服務(wù)解答該題所用的知識(shí)就是面面垂直的判定定理，滿足一面經(jīng)過另一面的一條垂線如果尺邊和這個(gè)面密合，則說明另一尺邊垂直于這個(gè)面

10、，那么工件的相鄰兩面互相垂直3如圖ab，abl，ABa，ABl，BCb，DEb，BCDE求證：ACDE要證線線垂直，依題創(chuàng)造條件運(yùn)用三垂線定理需證線面垂直時(shí)想到面面垂直性質(zhì)定理 課時(shí)小結(jié)(1)證明兩個(gè)平面垂直，關(guān)鍵在于找線，找到的直線在一個(gè)平面內(nèi)而與另一個(gè)平面垂直(2)證明直線和平面垂直，若能說明該線在兩個(gè)垂直平面其中一個(gè)內(nèi)而與交線垂直，則這條直線和另一平面垂直(3)判定定理、性質(zhì)定理有時(shí)要和其他定理結(jié)合起來用(例3練習(xí)3) 課后作業(yè)(一)P4012，13，14(必做)P398，9，10，11(任選兩題)必做題目12下列命題是否正確？如果正確，請(qǐng)作出證明；如果不正確，請(qǐng)舉出

11、反例(畫出草圖)(1)ag，bgab(2)ab，bgag(3)aa1，bb1，aba1b1解：(1)不正確垂直于同一平面的兩面還可能是相交平面(2)不正確垂直于同一平面的兩面還可能是平行平面 （1）（2）(3)正確垂直于同一平面的兩面可以平行，也可以相交13如圖ab，abl，Aa，Bb，ABa，AB與a、b所成的角分別是q1和q2，求點(diǎn)A、B在l上的射影A、B間的距離解：A、B分別是A、B在棱l上的射影，則AAl，BBl而ab，故AAb，BBa，則ABAq2，BABq1因ABacosq1，AAasinq2，故ABa解RtAAB即可求解利用AB若a與b不垂直，那么需經(jīng)B及A分別作AB及BB的平行

12、線交于點(diǎn)F，連AF，那么ABBF而AF的求解要求用到二面角的平面角14如圖，在立體圖形V-ABC中，VABVACABC90°，平面VAB和平面VBC有何種位置關(guān)系？請(qǐng)說明理由解：平面VAB和平面VBC垂直由VABVAC90°知VAAB，VAAC，即VA面ABC，BC面ABCVABC又ABC90°，BCAB，那么BC面VAB，又BC面VBC，故面VAB面VBC選做題8求證：(1)如果一個(gè)平面與另一個(gè)平面的垂線平行，那么這兩個(gè)平面互相垂直；(2)如果一個(gè)平面與另一個(gè)平面的垂面平行，那么這兩個(gè)平面互相垂直證明：(1)在平面a內(nèi)任取一點(diǎn)Pla，PlP、l可確定一平面g設(shè)a

13、gl則llab該題目難在構(gòu)造既符合題，又能使問題得證的立體圖形(2)設(shè)ab，bg過b 內(nèi)一點(diǎn)P作直線l，使la則lbl與g內(nèi)任一點(diǎn)Q確定平面d，設(shè)dgl，則llla，因此ga題目較抽象，構(gòu)造圖形，創(chuàng)造條件，使問題轉(zhuǎn)化為可利用已有定理來解決9已知ag，bg，abl，求證：lg用文字表述就是：如果兩相交面同時(shí)垂直于第三面，則交線也垂直于該面證明：過l上任一點(diǎn)P作直線l，使lg，由Pa，ag知la同理可證lb因此，labl，lg問題的證明，實(shí)質(zhì)上采取的是同一法，作出直線l，使之符合條件，使l與l重合10求證：(1)如果三條共點(diǎn)直線兩兩互相垂直，那么它們中每?jī)蓷l直線確定的平面也兩兩互相垂直；(2)三個(gè)

14、兩兩垂直的平面的交線兩兩垂直證明：(1)a、b可確定平面a，a、c可確定平面b因ca，cb，a、b是a內(nèi)兩相交線，ca而cb故有ab同理可證ag，bg題目難在：創(chuàng)造性地利用有關(guān)定理解決問題，這要求心中有定理、圍繞定理想思路(2)第9題告訴我們垂直于同一面的兩相交面，交線也垂直于該面11求證：如果平面a 和不在這個(gè)平面內(nèi)的直線l都垂直于平面b，那么la證明：ab，a內(nèi)有b 的垂線l，而l、l都垂直于b知ll又l在平面a外，因此la巧妙地利用線線平行線面平行，而找到l使之在a 內(nèi)而與b 垂直是關(guān)鍵，注意總結(jié)規(guī)律(二)預(yù)習(xí)內(nèi)容及提綱1如何解決尋找二面角的平面角問題？2無棱二面角問題怎樣求解？

15、0;板書設(shè)計(jì)§963兩個(gè)平面垂直的判定和性質(zhì)(三)2兩個(gè)平面垂直的判定判定定理3兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)性質(zhì)定理，例2例3練習(xí)小結(jié)作業(yè) 備課資料 一、異面直線上兩點(diǎn)間距離已知兩條異面直線a、b所成角為q ，其公垂線段AA1d，在a、b上分別取點(diǎn)E、F，設(shè)A1Em，AFn，則EF_解析：設(shè)經(jīng)b而與a平行的平面為a，線AA1及線a確定的平面為b，abcaa，ac那么b、c所成角就是異面直線a、b成角AA1b，AA1c，則AA1a，故ab經(jīng)E作EGc于G，則EGa連GF，EGGF，EGAA1d，那么在GAF中，F(xiàn)G2m2n2-2mncosq在EGF中，EF2EG2FG2d2F

16、G2故EF2d2m2n2-2mncosq當(dāng)F在另一側(cè)(AA1另一側(cè))，EF2d2m2n2-2mncos(180°-q)d2m2n22mncosq故EF答案：評(píng)述：在該題解決過程中，從平面的性質(zhì)到面面垂直、線面垂直，涉及多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，求解過程體現(xiàn)等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，將空間兩異面直線上任意兩點(diǎn)距離問題，通過平面a、平面b 轉(zhuǎn)化為平面問題公式說明兩異面直線公垂線的存在性，且公垂線段長(zhǎng)是異面直線上任兩點(diǎn)連線最短的公式應(yīng)用1求異面直線上任意兩點(diǎn)距離2求二面角的平面角例1二面角a-l-b為60°，Aa，Bb，ACl于C，BDl于D，AC5 cm，BD7 cm，CD，求AB解：將AC、BD看成兩

17、異面直線經(jīng)D作DEAC，則DECD，又BDCD，則EDB就是a-l-b的平面角BDE60°而BDE也是AC、BD成角又CD是AC、BD的公垂線，那么EF7 (cm)評(píng)述：在二面角內(nèi)構(gòu)造圖形，找角的大小，確定公垂線是關(guān)鍵，這是利用公式求距離的問題例2在空間四邊形ABCD中，DBDC1，BC，CAAB2，AD，求二面角A-BD-C的大小解：因DBDC1，BC，DC2DB2BC2即DBC是直角三角形BDCD又BA2BD241AD2，即ABD是直角三角形，ABBD那么AB與DC兩線所成角的大小等于所求二面角的大小，設(shè)角為q，則有cosqq 60°評(píng)述：該題說明一個(gè)二面角的大小可以用異面直線所成角來度量，但要注意此時(shí)存在角的范圍變化，二面角可以是鈍角，但異面直線決不能是鈍角，運(yùn)用公式時(shí)注意這一點(diǎn)不