差分方程Z變換

1、第3章 線性離散時間系統(tǒng)的描述及分析3.1 差分方程及其時域分析3.1.1差分方程3.1.2差分方程的解A 遞推解B 古典解C Z變換求解3.2 Z變換3.2.1Z變換的定義3.2.2Z變換的性質3.2.3Z反變換A 長除法B 留數法C 部分分式法3.3 離散時間系統(tǒng)的Z域分析3.3.1零輸入響應3.3.2零狀態(tài)響應3.3.3完全響應3.4 Z傳遞函數及其求法3.4.1Z傳遞函數的定義 3.4.2離散系統(tǒng)的運算3.4.3由G(s)求G(z)連續(xù)時間系統(tǒng)的離散化A 對G(s)的討論B 對離散化方法的評價C 留數法D 直接代換法E 系統(tǒng)等效法沖擊響應不變法；F 系統(tǒng)等效法階躍響應不變法G 部分分式

2、法3.4.4離散化方法小結3.5 線性離散時間系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析3.5.1閉環(huán)極點與輸出特性之間的關系3.5.2穩(wěn)定判據3.6 線性離散時間系統(tǒng)的頻率特性分析法3.6.1線性離散時間系統(tǒng)的頻率特性3.6.2線性離散時間系統(tǒng)的頻率特性分析法第3章 線性離散系統(tǒng)的描述及分析3.1 差分方程及其時域分析3.1.1 差分方程在線性離散時間動態(tài)系統(tǒng)中，輸入激勵序列u(k)與輸出響應序列y(k)之間的動態(tài)關系在時域中用差分方程來描述，差分方程一般寫成升序方式 (2.1)或寫成上式表明某一離散時間點上輸出值可能與當前時間點上的輸入值（當）以及此前若干個輸入和輸出值有關。推論開來，當前的輸出值是“此前”全部激勵

3、和內部狀態(tài)共同作用的“積累”效應?？紤]實時控制系統(tǒng)的時間因果律，必須有mn。當m=n時，表明當前時刻的輸入會直接影響當前時刻的輸出，可稱為“直傳”；當m<n時，表明當前時刻的輸入不會直接影響當前時刻的輸出；當前時刻的輸入對輸出的影響會延時“n-m”拍。差分方程也可以寫成降序方式式(2.1)中各項序號均減n(2.2)在降序方式中的n和m與升序方式中的n和m的含義不完全相同，因而對n和m并無限制。在降序方式中，當b00時，相當于升序方式中m=n的情況。此時“當前時刻的響應與當前時刻的輸入有關”。升序意味著超前，與連續(xù)時間系統(tǒng)中的微分相對應；當用Z變換法求解差分方程時，升序方式便于考慮初始條件

4、。降序意味著滯后，與連續(xù)時間系統(tǒng)中的積分相對應；當用Z變換法求解差分方程時，降序方式無法考慮初始條件。3.1.2 差分方程的解例：已知差分方程，其中r(k)=1，k0，x(0)=1，x(1)=2試由迭代法求其全解的前5項；分別由古典法求其零輸入解yzi(k)、零狀態(tài)解yzs(k)，以及全解y(k)。給定一個差分方程，根據特定的輸入時間序列u(k) 和初始條件，來求得其輸出序列y(k)，一般有三種方法。 A. 遞推解（迭代解）對式(2.1)差分方程可以寫成顯然給定初始條件后，就可依次求出各點值。但是，式(2.1)差分方程中的n個初始條件x(0)，x(10)， x(n-1)僅僅是指“零輸入初始條件

5、”，進行遞推求解時的初始條件應該是“全解初始條件”；因而應該先求出其“零狀態(tài)初始條件”，“全解初始條件”是“零輸入初始條件”與“零狀態(tài)初始條件”之和。上例已知零狀態(tài)初始條件，由此可遞推求得零輸入解yzi(k)；可求零輸入初始條件，由此可遞推求得零狀態(tài)解yzs(k)；以上初始條件之和為全解初始條件，由此遞推即可直接求得全解y(k)=yzi(k)+yzs(k)。B. 古典解法1) 零輸入解在式(2.1)中令輸入為零，即u(k)=0，k0，則得齊次方程 (2.3)類似于在解線性常微分方程時定義的微分算子p，對差分方程定義一個移序（增序）算子d，即(2.4)于是式(2.3)可以表示成以多項式A(d)存

6、在n個單根為例，即 ，則有零輸入解yzi(k)的“通解”式為(2.5)其中C1, C2, ., Cn是由n個（另輸入）初始條件決定的n個待定常數。設給定初始條件為 y(i)=yi ，i=0，1，n-1，分別代人上式可得 (2.6)可簡記為矩陣方式以n個單根為例，矩陣D一定可逆。于是可得待定常數為當A(d)存在重根時，亦可得相應結果，不再贅述。上例求得零輸入解yzi(k)。2) 零狀態(tài)解當“零輸入初始狀態(tài)”為零時，為求得式(2.1)在任意輸入u(k)激勵下的“零狀態(tài)響應”yzs(k)，首先考慮單位脈沖激勵u(k)=d(k)的特殊情況，此時的系統(tǒng)響應為單位脈沖響應，記為h(k)，式(2.1)成為可

7、寫成如下形式(2.7)上式中依次令k=-n，-n+1，-2，-1，0，可求得前面n+1個點的結果，當m<n時，h(0)=h0=0當k>0時，在式(2.7)中恒有k+m-i>0，即恒有d(k+m-i)=0，此時式(2.7)又成為一個齊次方程，等價為(2.8)上式按差分方程的零輸入解法求解，并考慮h(0)=0，即可得到式(2.1)的單位脈沖響應序列h(k)，k0。對于一個一般的輸入序列u(k)= u(0)，u(1)，u(2)，可以寫成按照線性系統(tǒng)的迭加原理，d(k-1)所激勵的響應為h(k-i)1(k-i)，i=0，1，于是可得u(k)激勵下的響應為 (2.9)稱為和的“卷和”。

8、顯然，卷和的定義與連續(xù)時間函數的卷積具有類似的形式。卷和計算例上例求得零狀態(tài)解yzsi(k)。3) 全解1) 和2)二者之和。上例y(k)=yzi(k)+ yzs(k)。C. Z變換解法后面再講3.2 Z變換3.2.1 Z變換的定義Z變換是對離散序列定義的，設有則的Z變換定義為（單邊）羅朗級數 (2.10)z Z變換域變量d 增序算子兩者在數字上具有完全相同的表現形式，但意義卻不同，不能混淆。就像s S變換域（拉氏變換）變量p 微分算子二者表現形式相同，但意義截然不同為什么要定義Z變換？Z變換把離散（等距時間點上）數值序列變換成有理分式；L變換把連續(xù)時間信號變換成有理分式；便于利用代數學的某些

9、結論進行簡單處理。Z變換的另一種“定義”對于時域信號y(t)=f(t)，采樣得離散信號y*(t)記得第1章中討論過y*(t)和y*(k)的（沖量的）等價性，取其拉氏變換，得(2.11)再令 ！(2.12)即得，二者的結果是一致的。但是，二者有兩點區(qū)別， 前者是對y(k)定義的，后者是對y*(t)定義的。在離散時間系統(tǒng)中使用前者更符合工程實際。但是，對于首先熟悉了Laplace變換的工程技術人員而言，后者更容易理解。 前者在數學上是嚴格的；而后者中的式(2.11)容易使得誤解z和s之間的關系。實時上z和s之間并沒有式(2.11)所示的關系，僅僅是有時同一個被控對象的Z變換傳遞函數和L變換傳遞函數

10、的特征根具有那個關系。3.2.2 Z變換的性質A. 在簡單的情況下，可直接按定義求得y(k)的Z變換Y(z)。(2.13)(2.14)(2.15)做為線性離散系統(tǒng)的Z變換，它有許多與L變換類似的性質，不同的是按照Z變換的定義，這些性質更容易被證明一些。B. 線性迭加性質：已知，下同。按定義可得， (2.16)C. 增序性質：（對應于L變換的微分性質）設g(k)=f(k+n)，k0， 為什么？(2.17)（令i=j+n）注意兩點：一是為什么要減去前面幾項？因為按照定義g(k)中沒有這幾項！二是與L變換的微分性質相比，形式上多了一個“z”。D. 減序性質：（對應于L變換的積分性質）設g(k)=f(

11、k-n)，k0， 為什么？（令i -n =j）(2.18)為什么第一項沒啦？因為按照定義f(k)中的這幾項為零！E. 卷和性質：（對應于L變換的卷積性質）(2.19)F. 初值性質：(2.20)證明：按照Z變換的定義。G. 終值性質：(2.21)當f(k)不收斂（F(z)中有單位圓外極點）時，終值性質不能使用！證明：同令z1得，其它略3.2.3 Z反變換已知F(z)有理分式，求f(k)使得，記為(2.22)A. 長除法羅朗級數展開如果F(z)是有理分式，必可展開為羅朗級數，如果F(z)是真有理分式，必可展開為（單邊）羅朗級數（有始函數），即有 f(k)，k0如果F(z)是嚴格真有理分式，則一定

12、有f(0)=0。例，B. 留數法在實時離散控制系統(tǒng)中有f(k)，k0,則一定有按照復變函數的留數理論，考慮如下圍線（逆時針包圍含全部極點）積分，留數是如何定義的？稱為的留數于是有(2.23)即在其所有極點zi，i=1，2，n，處的留數之和。按照留數計算規(guī)則，若z0是F(z)的單重極點則有若z0是F(z)的m重極點,則有C. 部分分式法留數法的特例一般都是直接查表部分分式法是應用留數法得到的一些易于實際應用的特例情況，設F(z)有n個單重根z1，zn，則可以寫成部分分式形式 (2.24)按照迭加原理，我們可以求得其中每一項的Z反變換，即按式(2.23)有，(2.25)正是所希望的結果。3.3 離

13、散時間系統(tǒng)的Z域分析利用Z變換求解差分方程。3.3.1 零輸入響應對式（2.1）所示差分方程，當輸入u(k)=0, k0時，成為齊次方程,y(0)=y0，y(1)=y1，.，y(n-1)=yn-1應用Z變換的增序性質，并注意給定的零輸入初始條件，得整理可得于是可得式(2.1)的零輸入響應為3.3.2 零狀態(tài)響應設式(2.1)所示系統(tǒng)在沒有輸入激勵時，其內部初始能量積累為零，即所謂零狀態(tài)，此時不考慮初始條件對式2.1的兩邊同時進行Z變換，可得定義 (2.26)稱為離散動態(tài)系統(tǒng)式(2.1)的Z傳遞函數，則上式可寫成則有按照卷和定理其中g(k)是什么，以及如何求得g(k)？設u(k)=(k)是一個單

14、位脈沖函數，已知，U(z)=Z(k)=1，即可得系統(tǒng)對u(k)=(k)的零狀態(tài)響應，稱為單位脈沖響應，并記為h(k), k0，并有現在，如欲解析求解式（2.1）所示的差分方程的零狀態(tài)響應，主要有兩種方法。Z域法： 時域法：3.3.3 完全響應對式（2.1）求Z變換時，同時考慮初始條件，即可得系統(tǒng)的完全響應，與分別求出yzi(k)和yzs(k)再相加是一致的。即： (2.27)幾點說明：在求零狀態(tài)響應時，顯然零狀態(tài)解yzs(k)的初始n個值并不一定為零，零狀態(tài)僅僅是說當輸入為零時，系統(tǒng)初值為零。求零狀態(tài)響應時，對式(2.1)兩邊求Z變換時，此時的yzs(k)與u(k)都是有初值的，因此亦應考慮增

15、序性質時的初值，但是在整理時兩邊的初值正好相互抵消，因此在求零狀態(tài)響應時的Z變換時，可以不考慮初值。在求完全響應時，由u(k)引起的yzs(k)中的那一部分初值效應必然由u(k)的初值效應所抵消，因此只考慮系統(tǒng)的零輸入初值。例：已知差分方程，其中r(k)=1，k0，x(0)=1，x(1)=2。試由Z變換法求其全解。3.4 Z傳遞函數及其求法3.4.1 Z傳遞函數的定義定義一個離散時間被控對象的動態(tài)特性，或連續(xù)時間對象的離散控制動態(tài)特性。由輸入-輸出序列Z變換之比來定義。傳遞函數描述一個動態(tài)系統(tǒng)的輸入輸出穩(wěn)態(tài)傳遞特性（穩(wěn)態(tài)的含義是不包含初始條件的影響）。圖2.1 離散時間被控對象傳遞函數的定義Y

16、(z) y(k)u(k)U(z)離散時間系統(tǒng)G(z)A 對于離散時間系統(tǒng)比如這個離散時間系統(tǒng)原來是由差分方程描述的。對于式(2.1)描述的差分方程， (2.1)根據Z變換的性質，兩邊求Z變換（不考慮初始條件），并化簡可得(2.28)如果差分方程是由式2.2描述的，(2.2)則同理可得(2.29)當nm時，與式(2.28)相同注意：2） 為什么上二式求Z變換時不考慮初始條件？傳遞函數只描述穩(wěn)態(tài)特性，與初始條件無關！3） 式(2.28)和(2.29)稱為有理分式；n<m時稱為（假）有理分式，反時間因果律，離散時間系統(tǒng)中不存在；nm時稱為真有理分式，輸入-輸出有直通分量；n>m時稱為嚴格

17、真有理分式，輸入-輸出至少延時一拍。B 對于一個連續(xù)時間的采樣控制系統(tǒng)離散時間系統(tǒng)G(z)y(k)u(k)連續(xù)時間系統(tǒng)G(s)圖2 采樣控制的連續(xù)時間系統(tǒng)的離散時間傳遞函數s)和G(z)表示不同的函數關系。ZOH對于一個連續(xù)時間系統(tǒng)，對其進行離散時間控制時前面必須加一個零階保持器（ZOH）。只有對其輸入和輸出采樣得到響應的輸入-輸出離散時間序列時，才能對其定義Z傳遞函數。3.4.2 離散系統(tǒng)的運算流圖化簡，與連續(xù)時間系統(tǒng)完全相同。A 串聯(lián)圖4離散時間系統(tǒng)的并聯(lián)G1(z)G2(z)Gn(z)G(z)圖3離散時間系統(tǒng)的串聯(lián)。B 并聯(lián)圖5離散時間反饋系統(tǒng)C 反饋系統(tǒng)對于任意的復雜系統(tǒng)，可由梅森公式求

18、得。3.4.3 由G(s)求G(z)連續(xù)時間系統(tǒng)（或信號）的離散化A 對G(s)的討論一般來說，G(s)的含義可能有以下三種情況：1) G(s)為時域信號g(t)的Laplace變換此時，應該由G(s)求的g(t)，對g(t)離散化得g(k)，最后再求G(z)。2) G(s)為控制器的傳遞函數它只是一個數字模型G(s)既可以由連續(xù)時間系統(tǒng)（模擬）實現，輸入輸出為連續(xù)時間變量；G(s)也可以由離散時間系統(tǒng)（數字）實現、輸入輸出為離散時間變量；此時，對G(s)直接離散化即可，不需要ZOH。3) G(s)是一個（連續(xù)時間）被控對象離散化后的輸入時離散時間的，但是G(s)只能接受連續(xù)時間激勵信號，因此

19、必須在輸入端需增設一個保持器（例如零階保持器ZOH），將離散序列轉化為連續(xù)時間函數。G(s)的輸出一定是連續(xù)時間函數，需對其進行采樣。圖6對連續(xù)時間被控對象的離散化B 對離散化方法的評價離散化方法不是唯一的，它們各有其特點和適用范圍。因而需要對離散化方法建立評價指標體系。對信號的離散化結果應該是唯一的，嚴格的。就是說在采樣點上的取值嚴格等于原函數。對調節(jié)器傳遞函數G(s)的離散化結果G(z)，應與G(s)的頻率特相一致。這時會因所用方法的不同而有差異。對被控對象傳遞函數G(s)的離散化結果G(z)，在不同情況下有不同的要求，后面會詳細討論。這時也會因方法的不同而有差異。評價一個離散化方法，大概

20、有如下5項指標。但是在不同的應用場合有不同的要求。1) 易操作性。2) 從S平面到Z平面的映射關系。包括映射的單值性和穩(wěn)定性的遺傳性。3) 頻率特性畸變。指G(z)的頻率特性與G(s)的頻率特的一致性。4) 穩(wěn)態(tài)增益畸變。指G(z)的穩(wěn)態(tài)增益與G(s)的穩(wěn)態(tài)增益的一致性。5) 時域（采樣點）響應的一致性。指在采樣點上G(z)和G(s)取值的一致性。C 留數法適用于G(s)為時域信號g(t)的Laplace變換的情況。這時， G(z)和G(s) 在采樣點上的取值是完全一致的。 按定義 帶入g(t) 交換求和求積分的順序 級數和的閉式按留數定理即可得，(2.30)D 直接代換法 操作簡單，但卻有誤

21、差。直接代換法既適用于對控制器的離散化，亦適用于對被控對象的離散化。但是不適用于對信號的離散化（在采樣點上取值不嚴格）。使用直接代換法對被控對象離散化時，一方面物理上需要引入ZOH，兩一方面代換是并不包括ZOH。直接代換法有很多種，下面介紹常用的幾種。1) 后向差分法設連續(xù)時間描述為：用差分代替微分，采樣周期取為T，（為什么叫“后向”差分？）比較G(s)和G(z)，可得代換式，(2.31)S®z映射關系：單值一一對應S平面上左半平面穩(wěn)定域 ÜÞ Z平面上單位圓內正實軸上小圓G(s)穩(wěn)定 Þ G(z)穩(wěn)定圖7后向差分法的穩(wěn)定性遺傳顯然穩(wěn)定性的遺傳不是可逆的

22、，但“S穩(wěn)定”Þ “z穩(wěn)定”，因此常被采用。（S平面上除了aef小圓外，所有的s映射到Z平面都是穩(wěn)定的）頻軸畸變較大。穩(wěn)態(tài)增益無畸變。即：不能保證時域（采樣點）響應的一致性。2) 前向差分法連續(xù)時間系統(tǒng)描述為 用差分代替微分 （為什么叫“后向”差分？）比較G(s)和G(z)，可得代換式，(2.32)S到z映射關系：單值一一對應。事實上就是一個平移。圖8前向差分法的穩(wěn)定性遺傳G(s)穩(wěn)定 G (z) 穩(wěn)定顯然，G(s)穩(wěn)定很難保證G (z)是穩(wěn)定的，固很少采用。頻軸畸變較大。穩(wěn)態(tài)增益無畸變，即：不能保證時域（采樣點）響應的一致性。3) 雙線性變換法（Tustin法）連續(xù)時間系統(tǒng)描述為

23、用差分代替微分，, 比較的代換式， (2.33)（為什么叫“雙線性變換？）圖9雙線性變換法的穩(wěn)定性遺傳s到z的映射關系：單值一一對應；S平面上左半平面穩(wěn)定域 ÜÞ Z平面上單位圓內穩(wěn)定域G(s)穩(wěn)定 ÜÞ G(z)穩(wěn)定當T足夠小時（即當足夠大時）頻軸畸變很小；穩(wěn)態(tài)增益無畸變；顯然，在直接代換法中，雙線性變換是最好的。事實上在程序化處理的G(s)到G(z)變換中都采用雙線性變換法，應用最為廣泛。E 系統(tǒng)等效法沖激響應不變法提法：設有（被控對象）G(s)和G(z)，若G(s)在(t)的激勵下的響應g(t)在kT處的采樣值g(kT)與G(z)在 (k)的激勵下

24、所得之響應相等，即稱G(z)和G(s)是沖擊響應不變（等價）的。但是，事實上(k)和(t)并不等價。原因是，(t)的沖量為1，而（加上零階保持器之后）(k)的沖量為“T”，二者差一個系數“T”；使得G(z)的穩(wěn)態(tài)增益隨著T大幅變化，這是不允許的。 為什么還要講這種方法？按定義，在(t)激勵下，有沖激響應g(t)按采樣周期T采樣即得按照輸入輸出等效原則，在單位脈沖輸入(k)的激勵下，應有輸出g(k)如上式所示。根據Z變換的定義，即有對上式求Z變換 交換和積順序 求級數和的閉式 按留數定理 (2.34)因此，沖擊響應等效法也是留數計算法。顯然，此式與式(2.30)的留數法相同。此式用來對信號的G(

25、s)求其G(z)時是嚴格正確的，但是，用來對被控對象的G(s)求其G(z)時卻是不對的。此代換不易操作，特別是不易計算機實現。S到z的映射關系分析如下。若G(s)有一個極點 ，則G(z)一定有一個極點其中顯然，s平面 Þ z平面，單值映射 z平面 Þ s平面，多值映射圖10沖擊響應等效法的穩(wěn)定性遺傳如果只考慮S平面的主值域，即，則有一一對應的關系。在主值域內有，因此，頻軸無畸變。求式(2.34)的穩(wěn)態(tài)增益可見G(z)的穩(wěn)態(tài)增益受采樣周期T響應很大。因此，穩(wěn)態(tài)增益畸變嚴重使得本法很少使用。當T足夠小時，一定可使所有S域極點均落在主域之內，此時的映射可相當于一一對應的。 主域整

26、個Z平面； 左半平面單位圓內； 右半平面單位圓外； 虛軸單位圓； 容易理解，如果在(k)的激勵下也引入零階保持器時，(k)和(t)就成為等價的了（為什么？），于是式(2.34)成為，(2.35)由下式可以證明穩(wěn)態(tài)增益無畸變(2.36)F 系統(tǒng)等效法階躍響應不變法提法：設有G(s)和G(z)，若G(s)在1(t)的激勵下的響應e(t)在kT處的采樣值e(kT)與G(z)在1(k)的激勵下所得之響應相等，即稱G(z)和G(s)是階躍響應不變（等價）的。在階躍輸入的特殊情況下，在1(t)的后面有無零階保持器是無區(qū)別的（？）。有兩邊求z變換，得可得，(2-37)S到z的映射關系與沖激響應不變法相同；從

27、變換關系式可知，無頻軸畸變。由下式可知，無增益畸變對比式(2.36)和式(2.37)可知，引入零階保持器時的沖激響應等效法式(2.36)與不引入零階保持器時的階躍響應等效法式(2.37)二者是等價的。G 部分分式法事實上，部分分式法是留數計算法的一個變形，也是留數法的一種使用形式。一般教科書中都給出相應的表格以供查照。3.4.4 離散化方法小結1) 對于表示信號的G(s)的離散化必須直接使用留數法（部分分式法）。2) 在物理上，表示調節(jié)器的G(s)不需要ZOH，表示被控對象的G(s)必需要加ZOH。3) 無論對于表示調節(jié)器還是表示被控對象的G(s)的離散化，都可以使用直接代換法，也可以使用留數

28、法（部分分式法）。但是在數學上，使用直接代換法時不需要ZOH，使用留數法（部分分式法）時需要先加上ZOH。3.5 線性離散時間系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析3.5.1 離散系統(tǒng)的閉環(huán)極點（特征值）與系統(tǒng)輸出特性的關系設線性離散時間系統(tǒng)G(z)，其中Am(z)為m階首一多項式，并設pi為單實根或單共軛復根的情況，且設G(z)中沒有z=1的極點，即有pi1。當存在復根或z=1的極點時，如下各項分析結論仍然成立。當存在一對共軛復根時，有當輸入為單位階躍序列，即，此時輸出為由上一節(jié)討論可知，求上式的Z反變換，可得上式中，k0為與階躍輸入相對應的穩(wěn)態(tài)響應項 pr為單重實根極點，kr為與pr相對應的輸出項系數 ps為單

29、重共軛復極點，其中rs為其幅值，為其幅角 ks為與極點ps相對應的輸出項的系數幅值，為其相位角由上式可知，如果，則隨著，Pi的對應輸出項發(fā)散，不穩(wěn)定如果，則隨著， Pi的對應輸出項為恒值（實根）或等幅振蕩（共軛復根），臨界穩(wěn)定。如果，則隨著，pi的對應項收斂，穩(wěn)定。再考察共軛復根對應輸出項的相角特性（周期振蕩），令，則一個振蕩周期對應的周期數為，（考慮共軛復數）。顯然，越接近零，kd越大，即振蕩周期越長，當時，輸出正負交替。震蕩周期為兩個采樣周期。圖例：P1對應輸出，發(fā)散， P對應輸出，穩(wěn)定， 0-11圖11 Z平面上的極點分布與穩(wěn)定性P對應輸出，穩(wěn)定， P對應輸出，穩(wěn)定，P對應輸出，臨界穩(wěn)定， P對應輸出，臨界穩(wěn)定， P對應輸出，臨界穩(wěn)定， 試分別畫出