差分方程Z變換

1、第3章 線性離散時(shí)間系統(tǒng)的描述及分析3.1 差分方程及其時(shí)域分析3.1.1差分方程3.1.2差分方程的解A 遞推解B 古典解C Z變換求解3.2 Z變換3.2.1Z變換的定義3.2.2Z變換的性質(zhì)3.2.3Z反變換A 長(zhǎng)除法B 留數(shù)法C 部分分式法3.3 離散時(shí)間系統(tǒng)的Z域分析3.3.1零輸入響應(yīng)3.3.2零狀態(tài)響應(yīng)3.3.3完全響應(yīng)3.4 Z傳遞函數(shù)及其求法3.4.1Z傳遞函數(shù)的定義 3.4.2離散系統(tǒng)的運(yùn)算3.4.3由G(s)求G(z)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的離散化A 對(duì)G(s)的討論B 對(duì)離散化方法的評(píng)價(jià)C 留數(shù)法D 直接代換法E 系統(tǒng)等效法沖擊響應(yīng)不變法；F 系統(tǒng)等效法階躍響應(yīng)不變法G 部分分式

2、法3.4.4離散化方法小結(jié)3.5 線性離散時(shí)間系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析3.5.1閉環(huán)極點(diǎn)與輸出特性之間的關(guān)系3.5.2穩(wěn)定判據(jù)3.6 線性離散時(shí)間系統(tǒng)的頻率特性分析法3.6.1線性離散時(shí)間系統(tǒng)的頻率特性3.6.2線性離散時(shí)間系統(tǒng)的頻率特性分析法第3章 線性離散系統(tǒng)的描述及分析3.1 差分方程及其時(shí)域分析3.1.1 差分方程在線性離散時(shí)間動(dòng)態(tài)系統(tǒng)中，輸入激勵(lì)序列u(k)與輸出響應(yīng)序列y(k)之間的動(dòng)態(tài)關(guān)系在時(shí)域中用差分方程來描述，差分方程一般寫成升序方式 (2.1)或?qū)懗缮鲜奖砻髂骋浑x散時(shí)間點(diǎn)上輸出值可能與當(dāng)前時(shí)間點(diǎn)上的輸入值（當(dāng)）以及此前若干個(gè)輸入和輸出值有關(guān)。推論開來，當(dāng)前的輸出值是“此前”全部激勵(lì)

3、和內(nèi)部狀態(tài)共同作用的“積累”效應(yīng)?？紤]實(shí)時(shí)控制系統(tǒng)的時(shí)間因果律，必須有mn。當(dāng)m=n時(shí)，表明當(dāng)前時(shí)刻的輸入會(huì)直接影響當(dāng)前時(shí)刻的輸出，可稱為“直傳”；當(dāng)m<n時(shí)，表明當(dāng)前時(shí)刻的輸入不會(huì)直接影響當(dāng)前時(shí)刻的輸出；當(dāng)前時(shí)刻的輸入對(duì)輸出的影響會(huì)延時(shí)“n-m”拍。差分方程也可以寫成降序方式式(2.1)中各項(xiàng)序號(hào)均減n(2.2)在降序方式中的n和m與升序方式中的n和m的含義不完全相同，因而對(duì)n和m并無限制。在降序方式中，當(dāng)b00時(shí)，相當(dāng)于升序方式中m=n的情況。此時(shí)“當(dāng)前時(shí)刻的響應(yīng)與當(dāng)前時(shí)刻的輸入有關(guān)”。升序意味著超前，與連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)中的微分相對(duì)應(yīng)；當(dāng)用Z變換法求解差分方程時(shí)，升序方式便于考慮初始條件

4、。降序意味著滯后，與連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)中的積分相對(duì)應(yīng)；當(dāng)用Z變換法求解差分方程時(shí)，降序方式無法考慮初始條件。3.1.2 差分方程的解例：已知差分方程，其中r(k)=1，k0，x(0)=1，x(1)=2試由迭代法求其全解的前5項(xiàng)；分別由古典法求其零輸入解yzi(k)、零狀態(tài)解yzs(k)，以及全解y(k)。給定一個(gè)差分方程，根據(jù)特定的輸入時(shí)間序列u(k) 和初始條件，來求得其輸出序列y(k)，一般有三種方法。 A. 遞推解（迭代解）對(duì)式(2.1)差分方程可以寫成顯然給定初始條件后，就可依次求出各點(diǎn)值。但是，式(2.1)差分方程中的n個(gè)初始條件x(0)，x(10)， x(n-1)僅僅是指“零輸入初始條件

5、”，進(jìn)行遞推求解時(shí)的初始條件應(yīng)該是“全解初始條件”；因而應(yīng)該先求出其“零狀態(tài)初始條件”，“全解初始條件”是“零輸入初始條件”與“零狀態(tài)初始條件”之和。上例已知零狀態(tài)初始條件，由此可遞推求得零輸入解yzi(k)；可求零輸入初始條件，由此可遞推求得零狀態(tài)解yzs(k)；以上初始條件之和為全解初始條件，由此遞推即可直接求得全解y(k)=yzi(k)+yzs(k)。B. 古典解法1) 零輸入解在式(2.1)中令輸入為零，即u(k)=0，k0，則得齊次方程 (2.3)類似于在解線性常微分方程時(shí)定義的微分算子p，對(duì)差分方程定義一個(gè)移序（增序）算子d，即(2.4)于是式(2.3)可以表示成以多項(xiàng)式A(d)存

6、在n個(gè)單根為例，即 ，則有零輸入解yzi(k)的“通解”式為(2.5)其中C1, C2, ., Cn是由n個(gè)（另輸入）初始條件決定的n個(gè)待定常數(shù)。設(shè)給定初始條件為 y(i)=yi ，i=0，1，n-1，分別代人上式可得 (2.6)可簡(jiǎn)記為矩陣方式以n個(gè)單根為例，矩陣D一定可逆。于是可得待定常數(shù)為當(dāng)A(d)存在重根時(shí)，亦可得相應(yīng)結(jié)果，不再贅述。上例求得零輸入解yzi(k)。2) 零狀態(tài)解當(dāng)“零輸入初始狀態(tài)”為零時(shí)，為求得式(2.1)在任意輸入u(k)激勵(lì)下的“零狀態(tài)響應(yīng)”yzs(k)，首先考慮單位脈沖激勵(lì)u(k)=d(k)的特殊情況，此時(shí)的系統(tǒng)響應(yīng)為單位脈沖響應(yīng)，記為h(k)，式(2.1)成為可

7、寫成如下形式(2.7)上式中依次令k=-n，-n+1，-2，-1，0，可求得前面n+1個(gè)點(diǎn)的結(jié)果，當(dāng)m<n時(shí)，h(0)=h0=0當(dāng)k>0時(shí)，在式(2.7)中恒有k+m-i>0，即恒有d(k+m-i)=0，此時(shí)式(2.7)又成為一個(gè)齊次方程，等價(jià)為(2.8)上式按差分方程的零輸入解法求解，并考慮h(0)=0，即可得到式(2.1)的單位脈沖響應(yīng)序列h(k)，k0。對(duì)于一個(gè)一般的輸入序列u(k)= u(0)，u(1)，u(2)，可以寫成按照線性系統(tǒng)的迭加原理，d(k-1)所激勵(lì)的響應(yīng)為h(k-i)1(k-i)，i=0，1，于是可得u(k)激勵(lì)下的響應(yīng)為 (2.9)稱為和的“卷和”。

8、顯然，卷和的定義與連續(xù)時(shí)間函數(shù)的卷積具有類似的形式。卷和計(jì)算例上例求得零狀態(tài)解yzsi(k)。3) 全解1) 和2)二者之和。上例y(k)=yzi(k)+ yzs(k)。C. Z變換解法后面再講3.2 Z變換3.2.1 Z變換的定義Z變換是對(duì)離散序列定義的，設(shè)有則的Z變換定義為（單邊）羅朗級(jí)數(shù) (2.10)z Z變換域變量d 增序算子兩者在數(shù)字上具有完全相同的表現(xiàn)形式，但意義卻不同，不能混淆。就像s S變換域（拉氏變換）變量p 微分算子二者表現(xiàn)形式相同，但意義截然不同為什么要定義Z變換？Z變換把離散（等距時(shí)間點(diǎn)上）數(shù)值序列變換成有理分式；L變換把連續(xù)時(shí)間信號(hào)變換成有理分式；便于利用代數(shù)學(xué)的某些

9、結(jié)論進(jìn)行簡(jiǎn)單處理。Z變換的另一種“定義”對(duì)于時(shí)域信號(hào)y(t)=f(t)，采樣得離散信號(hào)y*(t)記得第1章中討論過y*(t)和y*(k)的（沖量的）等價(jià)性，取其拉氏變換，得(2.11)再令 ！(2.12)即得，二者的結(jié)果是一致的。但是，二者有兩點(diǎn)區(qū)別， 前者是對(duì)y(k)定義的，后者是對(duì)y*(t)定義的。在離散時(shí)間系統(tǒng)中使用前者更符合工程實(shí)際。但是，對(duì)于首先熟悉了Laplace變換的工程技術(shù)人員而言，后者更容易理解。 前者在數(shù)學(xué)上是嚴(yán)格的；而后者中的式(2.11)容易使得誤解z和s之間的關(guān)系。實(shí)時(shí)上z和s之間并沒有式(2.11)所示的關(guān)系，僅僅是有時(shí)同一個(gè)被控對(duì)象的Z變換傳遞函數(shù)和L變換傳遞函數(shù)

10、的特征根具有那個(gè)關(guān)系。3.2.2 Z變換的性質(zhì)A. 在簡(jiǎn)單的情況下，可直接按定義求得y(k)的Z變換Y(z)。(2.13)(2.14)(2.15)做為線性離散系統(tǒng)的Z變換，它有許多與L變換類似的性質(zhì)，不同的是按照Z變換的定義，這些性質(zhì)更容易被證明一些。B. 線性迭加性質(zhì)：已知，下同。按定義可得， (2.16)C. 增序性質(zhì)：（對(duì)應(yīng)于L變換的微分性質(zhì)）設(shè)g(k)=f(k+n)，k0， 為什么？(2.17)（令i=j+n）注意兩點(diǎn)：一是為什么要減去前面幾項(xiàng)？因?yàn)榘凑斩xg(k)中沒有這幾項(xiàng)！二是與L變換的微分性質(zhì)相比，形式上多了一個(gè)“z”。D. 減序性質(zhì)：（對(duì)應(yīng)于L變換的積分性質(zhì)）設(shè)g(k)=f(

11、k-n)，k0， 為什么？（令i -n =j）(2.18)為什么第一項(xiàng)沒啦？因?yàn)榘凑斩xf(k)中的這幾項(xiàng)為零！E. 卷和性質(zhì)：（對(duì)應(yīng)于L變換的卷積性質(zhì)）(2.19)F. 初值性質(zhì)：(2.20)證明：按照Z變換的定義。G. 終值性質(zhì)：(2.21)當(dāng)f(k)不收斂（F(z)中有單位圓外極點(diǎn)）時(shí)，終值性質(zhì)不能使用！證明：同令z1得，其它略3.2.3 Z反變換已知F(z)有理分式，求f(k)使得，記為(2.22)A. 長(zhǎng)除法羅朗級(jí)數(shù)展開如果F(z)是有理分式，必可展開為羅朗級(jí)數(shù)，如果F(z)是真有理分式，必可展開為（單邊）羅朗級(jí)數(shù)（有始函數(shù)），即有 f(k)，k0如果F(z)是嚴(yán)格真有理分式，則一定

12、有f(0)=0。例，B. 留數(shù)法在實(shí)時(shí)離散控制系統(tǒng)中有f(k)，k0,則一定有按照復(fù)變函數(shù)的留數(shù)理論，考慮如下圍線（逆時(shí)針包圍含全部極點(diǎn)）積分，留數(shù)是如何定義的？稱為的留數(shù)于是有(2.23)即在其所有極點(diǎn)zi，i=1，2，n，處的留數(shù)之和。按照留數(shù)計(jì)算規(guī)則，若z0是F(z)的單重極點(diǎn)則有若z0是F(z)的m重極點(diǎn),則有C. 部分分式法留數(shù)法的特例一般都是直接查表部分分式法是應(yīng)用留數(shù)法得到的一些易于實(shí)際應(yīng)用的特例情況，設(shè)F(z)有n個(gè)單重根z1，zn，則可以寫成部分分式形式 (2.24)按照迭加原理，我們可以求得其中每一項(xiàng)的Z反變換，即按式(2.23)有，(2.25)正是所希望的結(jié)果。3.3 離

13、散時(shí)間系統(tǒng)的Z域分析利用Z變換求解差分方程。3.3.1 零輸入響應(yīng)對(duì)式（2.1）所示差分方程，當(dāng)輸入u(k)=0, k0時(shí)，成為齊次方程,y(0)=y0，y(1)=y1，.，y(n-1)=yn-1應(yīng)用Z變換的增序性質(zhì)，并注意給定的零輸入初始條件，得整理可得于是可得式(2.1)的零輸入響應(yīng)為3.3.2 零狀態(tài)響應(yīng)設(shè)式(2.1)所示系統(tǒng)在沒有輸入激勵(lì)時(shí)，其內(nèi)部初始能量積累為零，即所謂零狀態(tài)，此時(shí)不考慮初始條件對(duì)式2.1的兩邊同時(shí)進(jìn)行Z變換，可得定義 (2.26)稱為離散動(dòng)態(tài)系統(tǒng)式(2.1)的Z傳遞函數(shù)，則上式可寫成則有按照卷和定理其中g(shù)(k)是什么，以及如何求得g(k)？設(shè)u(k)=(k)是一個(gè)單

14、位脈沖函數(shù)，已知，U(z)=Z(k)=1，即可得系統(tǒng)對(duì)u(k)=(k)的零狀態(tài)響應(yīng)，稱為單位脈沖響應(yīng)，并記為h(k), k0，并有現(xiàn)在，如欲解析求解式（2.1）所示的差分方程的零狀態(tài)響應(yīng)，主要有兩種方法。Z域法： 時(shí)域法：3.3.3 完全響應(yīng)對(duì)式（2.1）求Z變換時(shí)，同時(shí)考慮初始條件，即可得系統(tǒng)的完全響應(yīng)，與分別求出yzi(k)和yzs(k)再相加是一致的。即： (2.27)幾點(diǎn)說明：在求零狀態(tài)響應(yīng)時(shí)，顯然零狀態(tài)解yzs(k)的初始n個(gè)值并不一定為零，零狀態(tài)僅僅是說當(dāng)輸入為零時(shí)，系統(tǒng)初值為零。求零狀態(tài)響應(yīng)時(shí)，對(duì)式(2.1)兩邊求Z變換時(shí)，此時(shí)的yzs(k)與u(k)都是有初值的，因此亦應(yīng)考慮增

15、序性質(zhì)時(shí)的初值，但是在整理時(shí)兩邊的初值正好相互抵消，因此在求零狀態(tài)響應(yīng)時(shí)的Z變換時(shí)，可以不考慮初值。在求完全響應(yīng)時(shí)，由u(k)引起的yzs(k)中的那一部分初值效應(yīng)必然由u(k)的初值效應(yīng)所抵消，因此只考慮系統(tǒng)的零輸入初值。例：已知差分方程，其中r(k)=1，k0，x(0)=1，x(1)=2。試由Z變換法求其全解。3.4 Z傳遞函數(shù)及其求法3.4.1 Z傳遞函數(shù)的定義定義一個(gè)離散時(shí)間被控對(duì)象的動(dòng)態(tài)特性，或連續(xù)時(shí)間對(duì)象的離散控制動(dòng)態(tài)特性。由輸入-輸出序列Z變換之比來定義。傳遞函數(shù)描述一個(gè)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的輸入輸出穩(wěn)態(tài)傳遞特性（穩(wěn)態(tài)的含義是不包含初始條件的影響）。圖2.1 離散時(shí)間被控對(duì)象傳遞函數(shù)的定義Y

16、(z) y(k)u(k)U(z)離散時(shí)間系統(tǒng)G(z)A 對(duì)于離散時(shí)間系統(tǒng)比如這個(gè)離散時(shí)間系統(tǒng)原來是由差分方程描述的。對(duì)于式(2.1)描述的差分方程， (2.1)根據(jù)Z變換的性質(zhì)，兩邊求Z變換（不考慮初始條件），并化簡(jiǎn)可得(2.28)如果差分方程是由式2.2描述的，(2.2)則同理可得(2.29)當(dāng)nm時(shí)，與式(2.28)相同注意：2） 為什么上二式求Z變換時(shí)不考慮初始條件？傳遞函數(shù)只描述穩(wěn)態(tài)特性，與初始條件無關(guān)！3） 式(2.28)和(2.29)稱為有理分式；n<m時(shí)稱為（假）有理分式，反時(shí)間因果律，離散時(shí)間系統(tǒng)中不存在；nm時(shí)稱為真有理分式，輸入-輸出有直通分量；n>m時(shí)稱為嚴(yán)格

17、真有理分式，輸入-輸出至少延時(shí)一拍。B 對(duì)于一個(gè)連續(xù)時(shí)間的采樣控制系統(tǒng)離散時(shí)間系統(tǒng)G(z)y(k)u(k)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)G(s)圖2 采樣控制的連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的離散時(shí)間傳遞函數(shù)s)和G(z)表示不同的函數(shù)關(guān)系。ZOH對(duì)于一個(gè)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)，對(duì)其進(jìn)行離散時(shí)間控制時(shí)前面必須加一個(gè)零階保持器（ZOH）。只有對(duì)其輸入和輸出采樣得到響應(yīng)的輸入-輸出離散時(shí)間序列時(shí)，才能對(duì)其定義Z傳遞函數(shù)。3.4.2 離散系統(tǒng)的運(yùn)算流圖化簡(jiǎn)，與連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)完全相同。A 串聯(lián)圖4離散時(shí)間系統(tǒng)的并聯(lián)G1(z)G2(z)Gn(z)G(z)圖3離散時(shí)間系統(tǒng)的串聯(lián)。B 并聯(lián)圖5離散時(shí)間反饋系統(tǒng)C 反饋系統(tǒng)對(duì)于任意的復(fù)雜系統(tǒng)，可由梅森公式求

18、得。3.4.3 由G(s)求G(z)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)（或信號(hào)）的離散化A 對(duì)G(s)的討論一般來說，G(s)的含義可能有以下三種情況：1) G(s)為時(shí)域信號(hào)g(t)的Laplace變換此時(shí)，應(yīng)該由G(s)求的g(t)，對(duì)g(t)離散化得g(k)，最后再求G(z)。2) G(s)為控制器的傳遞函數(shù)它只是一個(gè)數(shù)字模型G(s)既可以由連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)（模擬）實(shí)現(xiàn)，輸入輸出為連續(xù)時(shí)間變量；G(s)也可以由離散時(shí)間系統(tǒng)（數(shù)字）實(shí)現(xiàn)、輸入輸出為離散時(shí)間變量；此時(shí)，對(duì)G(s)直接離散化即可，不需要ZOH。3) G(s)是一個(gè)（連續(xù)時(shí)間）被控對(duì)象離散化后的輸入時(shí)離散時(shí)間的，但是G(s)只能接受連續(xù)時(shí)間激勵(lì)信號(hào)，因此

19、必須在輸入端需增設(shè)一個(gè)保持器（例如零階保持器ZOH），將離散序列轉(zhuǎn)化為連續(xù)時(shí)間函數(shù)。G(s)的輸出一定是連續(xù)時(shí)間函數(shù)，需對(duì)其進(jìn)行采樣。圖6對(duì)連續(xù)時(shí)間被控對(duì)象的離散化B 對(duì)離散化方法的評(píng)價(jià)離散化方法不是唯一的，它們各有其特點(diǎn)和適用范圍。因而需要對(duì)離散化方法建立評(píng)價(jià)指標(biāo)體系。對(duì)信號(hào)的離散化結(jié)果應(yīng)該是唯一的，嚴(yán)格的。就是說在采樣點(diǎn)上的取值嚴(yán)格等于原函數(shù)。對(duì)調(diào)節(jié)器傳遞函數(shù)G(s)的離散化結(jié)果G(z)，應(yīng)與G(s)的頻率特相一致。這時(shí)會(huì)因所用方法的不同而有差異。對(duì)被控對(duì)象傳遞函數(shù)G(s)的離散化結(jié)果G(z)，在不同情況下有不同的要求，后面會(huì)詳細(xì)討論。這時(shí)也會(huì)因方法的不同而有差異。評(píng)價(jià)一個(gè)離散化方法，大概

20、有如下5項(xiàng)指標(biāo)。但是在不同的應(yīng)用場(chǎng)合有不同的要求。1) 易操作性。2) 從S平面到Z平面的映射關(guān)系。包括映射的單值性和穩(wěn)定性的遺傳性。3) 頻率特性畸變。指G(z)的頻率特性與G(s)的頻率特的一致性。4) 穩(wěn)態(tài)增益畸變。指G(z)的穩(wěn)態(tài)增益與G(s)的穩(wěn)態(tài)增益的一致性。5) 時(shí)域（采樣點(diǎn)）響應(yīng)的一致性。指在采樣點(diǎn)上G(z)和G(s)取值的一致性。C 留數(shù)法適用于G(s)為時(shí)域信號(hào)g(t)的Laplace變換的情況。這時(shí)， G(z)和G(s) 在采樣點(diǎn)上的取值是完全一致的。 按定義 帶入g(t) 交換求和求積分的順序 級(jí)數(shù)和的閉式按留數(shù)定理即可得，(2.30)D 直接代換法 操作簡(jiǎn)單，但卻有誤

21、差。直接代換法既適用于對(duì)控制器的離散化，亦適用于對(duì)被控對(duì)象的離散化。但是不適用于對(duì)信號(hào)的離散化（在采樣點(diǎn)上取值不嚴(yán)格）。使用直接代換法對(duì)被控對(duì)象離散化時(shí)，一方面物理上需要引入ZOH，兩一方面代換是并不包括ZOH。直接代換法有很多種，下面介紹常用的幾種。1) 后向差分法設(shè)連續(xù)時(shí)間描述為：用差分代替微分，采樣周期取為T，（為什么叫“后向”差分？）比較G(s)和G(z)，可得代換式，(2.31)S®z映射關(guān)系：?jiǎn)沃狄灰粚?duì)應(yīng)S平面上左半平面穩(wěn)定域 ÜÞ Z平面上單位圓內(nèi)正實(shí)軸上小圓G(s)穩(wěn)定 Þ G(z)穩(wěn)定圖7后向差分法的穩(wěn)定性遺傳顯然穩(wěn)定性的遺傳不是可逆的

22、，但“S穩(wěn)定”Þ “z穩(wěn)定”，因此常被采用。（S平面上除了aef小圓外，所有的s映射到Z平面都是穩(wěn)定的）頻軸畸變較大。穩(wěn)態(tài)增益無畸變。即：不能保證時(shí)域（采樣點(diǎn)）響應(yīng)的一致性。2) 前向差分法連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)描述為 用差分代替微分 （為什么叫“后向”差分？）比較G(s)和G(z)，可得代換式，(2.32)S到z映射關(guān)系：?jiǎn)沃狄灰粚?duì)應(yīng)。事實(shí)上就是一個(gè)平移。圖8前向差分法的穩(wěn)定性遺傳G(s)穩(wěn)定 G (z) 穩(wěn)定顯然，G(s)穩(wěn)定很難保證G (z)是穩(wěn)定的，固很少采用。頻軸畸變較大。穩(wěn)態(tài)增益無畸變，即：不能保證時(shí)域（采樣點(diǎn)）響應(yīng)的一致性。3) 雙線性變換法（Tustin法）連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)描述為

23、用差分代替微分，, 比較的代換式， (2.33)（為什么叫“雙線性變換？）圖9雙線性變換法的穩(wěn)定性遺傳s到z的映射關(guān)系：?jiǎn)沃狄灰粚?duì)應(yīng)；S平面上左半平面穩(wěn)定域 ÜÞ Z平面上單位圓內(nèi)穩(wěn)定域G(s)穩(wěn)定 ÜÞ G(z)穩(wěn)定當(dāng)T足夠小時(shí)（即當(dāng)足夠大時(shí)）頻軸畸變很??；穩(wěn)態(tài)增益無畸變；顯然，在直接代換法中，雙線性變換是最好的。事實(shí)上在程序化處理的G(s)到G(z)變換中都采用雙線性變換法，應(yīng)用最為廣泛。E 系統(tǒng)等效法沖激響應(yīng)不變法提法：設(shè)有（被控對(duì)象）G(s)和G(z)，若G(s)在(t)的激勵(lì)下的響應(yīng)g(t)在kT處的采樣值g(kT)與G(z)在 (k)的激勵(lì)下

24、所得之響應(yīng)相等，即稱G(z)和G(s)是沖擊響應(yīng)不變（等價(jià)）的。但是，事實(shí)上(k)和(t)并不等價(jià)。原因是，(t)的沖量為1，而（加上零階保持器之后）(k)的沖量為“T”，二者差一個(gè)系數(shù)“T”；使得G(z)的穩(wěn)態(tài)增益隨著T大幅變化，這是不允許的。 為什么還要講這種方法？按定義，在(t)激勵(lì)下，有沖激響應(yīng)g(t)按采樣周期T采樣即得按照輸入輸出等效原則，在單位脈沖輸入(k)的激勵(lì)下，應(yīng)有輸出g(k)如上式所示。根據(jù)Z變換的定義，即有對(duì)上式求Z變換 交換和積順序 求級(jí)數(shù)和的閉式 按留數(shù)定理 (2.34)因此，沖擊響應(yīng)等效法也是留數(shù)計(jì)算法。顯然，此式與式(2.30)的留數(shù)法相同。此式用來對(duì)信號(hào)的G(

25、s)求其G(z)時(shí)是嚴(yán)格正確的，但是，用來對(duì)被控對(duì)象的G(s)求其G(z)時(shí)卻是不對(duì)的。此代換不易操作，特別是不易計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)。S到z的映射關(guān)系分析如下。若G(s)有一個(gè)極點(diǎn) ，則G(z)一定有一個(gè)極點(diǎn)其中顯然，s平面 Þ z平面，單值映射 z平面 Þ s平面，多值映射圖10沖擊響應(yīng)等效法的穩(wěn)定性遺傳如果只考慮S平面的主值域，即，則有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。在主值域內(nèi)有，因此，頻軸無畸變。求式(2.34)的穩(wěn)態(tài)增益可見G(z)的穩(wěn)態(tài)增益受采樣周期T響應(yīng)很大。因此，穩(wěn)態(tài)增益畸變嚴(yán)重使得本法很少使用。當(dāng)T足夠小時(shí)，一定可使所有S域極點(diǎn)均落在主域之內(nèi)，此時(shí)的映射可相當(dāng)于一一對(duì)應(yīng)的。 主域整

26、個(gè)Z平面； 左半平面單位圓內(nèi)； 右半平面單位圓外； 虛軸單位圓； 容易理解，如果在(k)的激勵(lì)下也引入零階保持器時(shí)，(k)和(t)就成為等價(jià)的了（為什么？），于是式(2.34)成為，(2.35)由下式可以證明穩(wěn)態(tài)增益無畸變(2.36)F 系統(tǒng)等效法階躍響應(yīng)不變法提法：設(shè)有G(s)和G(z)，若G(s)在1(t)的激勵(lì)下的響應(yīng)e(t)在kT處的采樣值e(kT)與G(z)在1(k)的激勵(lì)下所得之響應(yīng)相等，即稱G(z)和G(s)是階躍響應(yīng)不變（等價(jià)）的。在階躍輸入的特殊情況下，在1(t)的后面有無零階保持器是無區(qū)別的（？）。有兩邊求z變換，得可得，(2-37)S到z的映射關(guān)系與沖激響應(yīng)不變法相同；從

27、變換關(guān)系式可知，無頻軸畸變。由下式可知，無增益畸變對(duì)比式(2.36)和式(2.37)可知，引入零階保持器時(shí)的沖激響應(yīng)等效法式(2.36)與不引入零階保持器時(shí)的階躍響應(yīng)等效法式(2.37)二者是等價(jià)的。G 部分分式法事實(shí)上，部分分式法是留數(shù)計(jì)算法的一個(gè)變形，也是留數(shù)法的一種使用形式。一般教科書中都給出相應(yīng)的表格以供查照。3.4.4 離散化方法小結(jié)1) 對(duì)于表示信號(hào)的G(s)的離散化必須直接使用留數(shù)法（部分分式法）。2) 在物理上，表示調(diào)節(jié)器的G(s)不需要ZOH，表示被控對(duì)象的G(s)必需要加ZOH。3) 無論對(duì)于表示調(diào)節(jié)器還是表示被控對(duì)象的G(s)的離散化，都可以使用直接代換法，也可以使用留數(shù)

28、法（部分分式法）。但是在數(shù)學(xué)上，使用直接代換法時(shí)不需要ZOH，使用留數(shù)法（部分分式法）時(shí)需要先加上ZOH。3.5 線性離散時(shí)間系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析3.5.1 離散系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)（特征值）與系統(tǒng)輸出特性的關(guān)系設(shè)線性離散時(shí)間系統(tǒng)G(z)，其中Am(z)為m階首一多項(xiàng)式，并設(shè)pi為單實(shí)根或單共軛復(fù)根的情況，且設(shè)G(z)中沒有z=1的極點(diǎn)，即有pi1。當(dāng)存在復(fù)根或z=1的極點(diǎn)時(shí)，如下各項(xiàng)分析結(jié)論仍然成立。當(dāng)存在一對(duì)共軛復(fù)根時(shí)，有當(dāng)輸入為單位階躍序列，即，此時(shí)輸出為由上一節(jié)討論可知，求上式的Z反變換，可得上式中，k0為與階躍輸入相對(duì)應(yīng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)項(xiàng) pr為單重實(shí)根極點(diǎn)，kr為與pr相對(duì)應(yīng)的輸出項(xiàng)系數(shù) ps為單

29、重共軛復(fù)極點(diǎn)，其中rs為其幅值，為其幅角 ks為與極點(diǎn)ps相對(duì)應(yīng)的輸出項(xiàng)的系數(shù)幅值，為其相位角由上式可知，如果，則隨著，Pi的對(duì)應(yīng)輸出項(xiàng)發(fā)散，不穩(wěn)定如果，則隨著， Pi的對(duì)應(yīng)輸出項(xiàng)為恒值（實(shí)根）或等幅振蕩（共軛復(fù)根），臨界穩(wěn)定。如果，則隨著，pi的對(duì)應(yīng)項(xiàng)收斂，穩(wěn)定。再考察共軛復(fù)根對(duì)應(yīng)輸出項(xiàng)的相角特性（周期振蕩），令，則一個(gè)振蕩周期對(duì)應(yīng)的周期數(shù)為，（考慮共軛復(fù)數(shù)）。顯然，越接近零，kd越大，即振蕩周期越長(zhǎng)，當(dāng)時(shí)，輸出正負(fù)交替。震蕩周期為兩個(gè)采樣周期。圖例：P1對(duì)應(yīng)輸出，發(fā)散， P對(duì)應(yīng)輸出，穩(wěn)定， 0-11圖11 Z平面上的極點(diǎn)分布與穩(wěn)定性P對(duì)應(yīng)輸出，穩(wěn)定， P對(duì)應(yīng)輸出，穩(wěn)定，P對(duì)應(yīng)輸出，臨界穩(wěn)定， P對(duì)應(yīng)輸出，臨界穩(wěn)定， P對(duì)應(yīng)輸出，臨界穩(wěn)定， 試分別畫出