空間中直線與直線之間的位置關(guān)系方法指引

1、空間中直線與直線之間的位置關(guān)系·方法指引 （1）證明兩條直線異面的方法證明兩條直線異面的方法有兩種：用定義證明：此時(shí)需用反證法，假設(shè)兩條直線不異面，根據(jù)空間兩條直線的位置關(guān)系，這兩條直線一定共面，即這兩條直線可能相交也可能平行，然后，推導(dǎo)出矛盾即可用定理證明：用該法證明時(shí)，必須闡述出定理滿足的條件aa，Aa，Ba，Ba，然后可以推導(dǎo)出直線a與AB是異面直線，以下我們將該結(jié)論作為例題12進(jìn)行論證，從而使我們?cè)趹?yīng)用它時(shí)能夠“理直氣壯”【例1】如圖21216，長(zhǎng)方體ABCDA1B1ClD1中，AB2，AD1求異面直線AA1與BD間的距離思路點(diǎn)撥 先作出公垂線段后，再計(jì)算公垂線段的

2、長(zhǎng)即得所求解：過(guò)點(diǎn)A作AE垂直BD，E為垂足由于AlAAE，AE是異面直線AA1與BD的公垂線段在RtBAD中，兩直角邊的長(zhǎng)分別為：AB2，AD1AE異面直線AA1與BD間的距離為誤點(diǎn)剖析 誤點(diǎn)有兩個(gè)，一個(gè)是作不出異面直線的公垂線，迷失計(jì)算方向；另一個(gè)是作出異面直線公垂線，但不給予論證，導(dǎo)致證明缺乏嚴(yán)密性評(píng)注：求兩異面直線間的距離，我們常常采用“作、證、算”三個(gè)步驟，這里所謂“作”即作出公垂線；“證”即證明作出的公垂線與兩異面直線都垂直且都相交；“算”即計(jì)算公垂線段的長(zhǎng)試解相關(guān)題11 如圖21216，在長(zhǎng)方體ABCDA1B1ClDl中，若AA1m，ABn，BCl，則異面直線AA1與BC間的距離

3、為_(kāi)；異面直線AB與B1C間的距離為_(kāi)參考答案：（1）n；（2）【例2】求證：過(guò)平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線和平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線思路點(diǎn)撥 如圖21217，已知aA，B，B要求證直線AB與a是異面直線，若是用定義來(lái)證明兩直線不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，我們很難辦到，但我們可以考慮從問(wèn)題的反面入手，即使用反證法證明解：假設(shè)直線AB與a在同一平面內(nèi)，那么這個(gè)平面一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)B和直線aB，經(jīng)過(guò)點(diǎn)B和直線a只能有一個(gè)平面，直線AB與a應(yīng)在內(nèi)A這與已知A相矛盾，直線AB與a是異面直線誤點(diǎn)剖析 不會(huì)從問(wèn)題的反面入手，導(dǎo)致思路受阻評(píng)注：（1）反證法是證明兩直線為異面直線的常用方法，也是較有效的方法，反證

4、法的證明思路是“否定結(jié)論，找矛盾”具體可分解為以下三步：假設(shè)結(jié)論不正確，即否定結(jié)論；找矛盾：在假設(shè)的前提下，通過(guò)正確的邏輯推理，得到矛盾，矛盾可以是與已知公理、定理、定義矛盾，也可以是與已知條件矛盾，或自相矛盾等等；否定假設(shè)，肯定要證明的結(jié)論（2）本例的結(jié)論，可以做為判定定理來(lái)判定兩直線為異面直線，此命題可用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述為：若a，A，B，Ba，則直線AB與a是異面直線試解相關(guān)題21 已知a、b是一對(duì)異面直線，而直線c、d是與a、b都相交的兩直線，若在a、b、c、d四條直線中，無(wú)三線共點(diǎn)的情況試證明：c、d是異面直線參考答案：采用反證法22 在正方體ABCDA1BlClD1中，求證：ACl與BD

5、異面參考答案：略【例3】如圖21218，已知不共面的三條直線a，b，c相交于點(diǎn)P，Aa，Ba，Cb，Dc，求證：AD和BC是異面直線思路點(diǎn)撥 此題我們既可以用反證法證明，也可以用例12的結(jié)論作為判定定理來(lái)證明證法一：（反證法）：假設(shè)AD和BC共面，所確定的平面為，那么點(diǎn)P、A、B、C、D都在平面內(nèi)，直線a、b、c都在平面內(nèi)，與已知條件a、b、c不共面相矛盾AD與BC是異面直線證法二：（直接用判定定理）： acP，a和c確定一個(gè)平面，設(shè)為，巳知C平面，B平面，AD平面，BAD，AD和BC是異面直線誤點(diǎn)剖析 在證法二中，若缺少耐心，不交待滿足定理的條件就得到結(jié)論，造成證明過(guò)程的不完整和缺乏嚴(yán)密性，

6、因此，當(dāng)我們?cè)谟门卸ǘɡ碜C明兩直線為異面直線時(shí)，一定要注意判定定理的四個(gè)條件必須交待完整，缺一不可評(píng)注：本題充分體現(xiàn)了證明異面直線的兩種方法：反證法；用例12的判定定理直接證明試解相關(guān)題3l 如圖21219，a，b是異面直線，A、Ba，C、Db，E、F分別為線段AC和BD的中點(diǎn)，判斷直線EF和a的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論參考答案：EF和a是異面直線，可用反證法證明（2）兩異面直線所成角的求法求兩條異面直線所成角的關(guān)鍵是作出異面直線所成的角，作兩條異面直線所成角的方法是：將其中一條平移到某個(gè)位置使其與另一條相交或是將兩條異面直線同時(shí)平移到某個(gè)位置使它們相交值得注意的是：平移后相交所得的角必須容易

7、算出，因此平移時(shí)要求選擇恰當(dāng)位置【例4】S是邊長(zhǎng)為a正三角形ABC所在平面外一點(diǎn)，SASBSCa，E、F分別是SC和AB的中點(diǎn)，（1）求異面直線SA與EF所成的角；（2）求異面直線AE和SF所成角的余弦值思路點(diǎn)撥 （1）如圖21220， E是SC的中點(diǎn)，要平移SA使之與EF相交，只需取AC中點(diǎn)M，連EM，則EM為ACS的中位線，EMSAEM與EF所成的角即為所求（2）如圖21220，在SCF中，只要把SF平移到E點(diǎn)就可以了， E為SC中點(diǎn)，仍考慮用三角形中位線來(lái)實(shí)現(xiàn)平移，取CF的中點(diǎn)G，連接GESFGEA（或其補(bǔ)角）即為SF與AE所成的角解：（1）取AC的中點(diǎn)M，連接EM、FM，則由三角形中位

8、線定理知EMSA且EMSA，MFBC且MFBC，MEF（或其補(bǔ)角）是SA與EF所成的角，在EMF，EMSA，F(xiàn)MBC，連接FC，由題設(shè)條件易知：FCE為直角三角形，EFEMF為等腰直角三角形， MEF45°， 異面直線SA與EF所成的角為45°（2）連接CF并取其中點(diǎn)G，連接EG、AG，則EGSF且EGSF，GEA（或其補(bǔ)角）是異面直線SF與AE所成的角在AGE中，AE，EG，在RtAGF中，由余弦定理得：cosAEG，異面直線AE和SF所成的角的余弦值為誤點(diǎn)剖析 這里的計(jì)算量較大，易造成運(yùn)算錯(cuò)誤；當(dāng)平移兩條異面直線中的一條后獲得的角是鈍角，則不能將這個(gè)角作為異面直線所成的

9、角，而應(yīng)將它補(bǔ)角作為異面直線所成的角，關(guān)于這一點(diǎn)，極易在具體問(wèn)題中出錯(cuò)，需引起注意評(píng)注：在求異面直線所成的角時(shí)，可以平移兩條異面直線中一條，也可以平移兩條，原則是易于作圖，且平移各線段的長(zhǎng)度易于計(jì)算，如：本例中（2）也可以平移兩條直線，依據(jù)仍然是三角形的中位線，如圖21220，取SA的中點(diǎn)K把AE、SF均平移到K點(diǎn)相交，為此可取SE和AF的中點(diǎn)G、H，連接GK、HK即可，在GHK中，GKHK，但GH的求解卻很麻煩，這種平移就不如本例中給出的方法好試解相關(guān)題41 如圖21221，S是正ABC所在平面外一點(diǎn)，SASBSC，且ASBBSCCSA90°，M、N分別是AB和SC的中點(diǎn)，求異面直

10、線SM與BN所成角參考答案：arccos【例5】已知空間四邊形ABCD中，ABCD3，E、F分別是BC、AD上的點(diǎn)，并且BEECAFFD12，EF（見(jiàn)圖21222），求AB和CD所成角的大小思路點(diǎn)撥 由于受本題圖形的局限，所以在選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)，平移異面直線時(shí)，該點(diǎn)不宜選在AB與CD上，從題設(shè)條件看，應(yīng)將它選在對(duì)角線BD的靠近B點(diǎn)的三等分點(diǎn)G處，再將G與E、F相連，還要連EF，于是異面直線AB與CD所成的角就是EGF（或EGF的補(bǔ)角）而EGF的大小可以在EGF中通過(guò)計(jì)算求得解：如圖21222，連結(jié)BD，在BD上取點(diǎn)G，使BGGDl2，連結(jié)EG、FG、EFBCD中，EGCD；同理FGAB，EG和FG

11、所成的銳角（或直角）就是異面直線AB和CD所成的角BCD中，EGCD，CD3，EGCD12，EG1ABD中，F(xiàn)GAB，AB3，F(xiàn)GAB23，F(xiàn)G2在EFG中，EG1，F(xiàn)G2，EF，由余弦定理，得：cosEGFEGF120°，由于異面直線AB和CD所成的角是銳角或直角，AB與CD所成的角為60°誤點(diǎn)剖析 誤將EGF作為所求AB與CD的角評(píng)注：求異面直線所成角的一般步驟是：選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)，平移異面直線中的一條或兩條成為相交直線，這里的點(diǎn)通常選擇特殊位置的點(diǎn)，如線段的中點(diǎn)或端點(diǎn)，也可以是異面直線中某一條上的特殊點(diǎn)求相交直線所成的角，通常是在相應(yīng)的三角形中進(jìn)行計(jì)算因?yàn)楫惷嬷本€所成的角

12、的取值范圍是0°90°，所以當(dāng)在三角形中求的交角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為異面直線所成的角試解相關(guān)題5l 如圖21223，在空間四邊形ABCD中，ABCD8，M、N分別是BD、AC的中點(diǎn)，若異面直線AB與CD成的角為60°，求MN的長(zhǎng)（3）異面直線間距離的求法如何求異面直線間的距離?簡(jiǎn)單地說(shuō)，運(yùn)用“定義法”，即設(shè)法作出異面直線的公垂線段再設(shè)法求出它的長(zhǎng)；又由于異面直線的距離具有“存在性”、“唯一性”和“最小性”（即公垂線段是分別在兩異面直線上任意兩點(diǎn)間的連線中長(zhǎng)度最短的一條線段），抓住“最小性”就能產(chǎn)生“最小值法”即設(shè)法建立起兩端點(diǎn)分別在兩異面直線上的線段長(zhǎng)的函數(shù)

13、，然后求函數(shù)的最小值參考答案：或4【例6】在空間四邊形ABCD中，ABBCCDDAACBDa，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)（1）求證：EF是AB和CD的公垂線段；（2）求AB和CD的距離思路點(diǎn)撥 利用等腰三角形底邊上的中線即是高的性質(zhì)，從而易證EF就是異面直線AB和CD的公垂線段，只須解RtFEB即可（如圖21224所示）解：（1）如圖21224所示連AF、BFBCD與ACD為邊長(zhǎng)為a的正三角形，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)AFBFa又E為AB的中點(diǎn)，EF與AB垂直相交，同理EFCDEF為AB、CD的公垂線段（2）由（1）知，EF為AB和CD的距離，在RtFEB中，BEEF即AB和CD間的距離為誤點(diǎn)剖析 不會(huì)利用等腰三角形的性質(zhì)；計(jì)算EF的長(zhǎng)時(shí)不能構(gòu)造RtFEB評(píng)注：本例考查我們對(duì)兩條異面直線間距離概念的理解、以及論證與計(jì)算能力用“定義法”求異面直線間的距離的步驟可簡(jiǎn)單地歸納為：一作，二證，三計(jì)算試解相關(guān)題6l 在圖21225所示的邊長(zhǎng)為a