空間中直線與直線之間的位置關系方法指引

1、空間中直線與直線之間的位置關系·方法指引 （1）證明兩條直線異面的方法證明兩條直線異面的方法有兩種：用定義證明：此時需用反證法，假設兩條直線不異面，根據(jù)空間兩條直線的位置關系，這兩條直線一定共面，即這兩條直線可能相交也可能平行，然后，推導出矛盾即可用定理證明：用該法證明時，必須闡述出定理滿足的條件aa，Aa，Ba，Ba，然后可以推導出直線a與AB是異面直線，以下我們將該結論作為例題12進行論證，從而使我們在應用它時能夠“理直氣壯”【例1】如圖21216，長方體ABCDA1B1ClD1中，AB2，AD1求異面直線AA1與BD間的距離思路點撥 先作出公垂線段后，再計算公垂線段的

2、長即得所求解：過點A作AE垂直BD，E為垂足由于AlAAE，AE是異面直線AA1與BD的公垂線段在RtBAD中，兩直角邊的長分別為：AB2，AD1AE異面直線AA1與BD間的距離為誤點剖析 誤點有兩個，一個是作不出異面直線的公垂線，迷失計算方向；另一個是作出異面直線公垂線，但不給予論證，導致證明缺乏嚴密性評注：求兩異面直線間的距離，我們常常采用“作、證、算”三個步驟，這里所謂“作”即作出公垂線；“證”即證明作出的公垂線與兩異面直線都垂直且都相交；“算”即計算公垂線段的長試解相關題11 如圖21216，在長方體ABCDA1B1ClDl中，若AA1m，ABn，BCl，則異面直線AA1與BC間的距離

3、為_；異面直線AB與B1C間的距離為_參考答案：（1）n；（2）【例2】求證：過平面外一點與平面內一點的直線和平面內不經(jīng)過該點的直線是異面直線思路點撥 如圖21217，已知aA，B，B要求證直線AB與a是異面直線，若是用定義來證明兩直線不同在任何一個平面內，我們很難辦到，但我們可以考慮從問題的反面入手，即使用反證法證明解：假設直線AB與a在同一平面內，那么這個平面一定經(jīng)過點B和直線aB，經(jīng)過點B和直線a只能有一個平面，直線AB與a應在內A這與已知A相矛盾，直線AB與a是異面直線誤點剖析 不會從問題的反面入手，導致思路受阻評注：（1）反證法是證明兩直線為異面直線的常用方法，也是較有效的方法，反證

4、法的證明思路是“否定結論，找矛盾”具體可分解為以下三步：假設結論不正確，即否定結論；找矛盾：在假設的前提下，通過正確的邏輯推理，得到矛盾，矛盾可以是與已知公理、定理、定義矛盾，也可以是與已知條件矛盾，或自相矛盾等等；否定假設，肯定要證明的結論（2）本例的結論，可以做為判定定理來判定兩直線為異面直線，此命題可用數(shù)學語言描述為：若a，A，B，Ba，則直線AB與a是異面直線試解相關題21 已知a、b是一對異面直線，而直線c、d是與a、b都相交的兩直線，若在a、b、c、d四條直線中，無三線共點的情況試證明：c、d是異面直線參考答案：采用反證法22 在正方體ABCDA1BlClD1中，求證：ACl與BD

5、異面參考答案：略【例3】如圖21218，已知不共面的三條直線a，b，c相交于點P，Aa，Ba，Cb，Dc，求證：AD和BC是異面直線思路點撥 此題我們既可以用反證法證明，也可以用例12的結論作為判定定理來證明證法一：（反證法）：假設AD和BC共面，所確定的平面為，那么點P、A、B、C、D都在平面內，直線a、b、c都在平面內，與已知條件a、b、c不共面相矛盾AD與BC是異面直線證法二：（直接用判定定理）： acP，a和c確定一個平面，設為，巳知C平面，B平面，AD平面，BAD，AD和BC是異面直線誤點剖析 在證法二中，若缺少耐心，不交待滿足定理的條件就得到結論，造成證明過程的不完整和缺乏嚴密性，

6、因此，當我們在用判定定理證明兩直線為異面直線時，一定要注意判定定理的四個條件必須交待完整，缺一不可評注：本題充分體現(xiàn)了證明異面直線的兩種方法：反證法；用例12的判定定理直接證明試解相關題3l 如圖21219，a，b是異面直線，A、Ba，C、Db，E、F分別為線段AC和BD的中點，判斷直線EF和a的位置關系，并證明你的結論參考答案：EF和a是異面直線，可用反證法證明（2）兩異面直線所成角的求法求兩條異面直線所成角的關鍵是作出異面直線所成的角，作兩條異面直線所成角的方法是：將其中一條平移到某個位置使其與另一條相交或是將兩條異面直線同時平移到某個位置使它們相交值得注意的是：平移后相交所得的角必須容易

7、算出，因此平移時要求選擇恰當位置【例4】S是邊長為a正三角形ABC所在平面外一點，SASBSCa，E、F分別是SC和AB的中點，（1）求異面直線SA與EF所成的角；（2）求異面直線AE和SF所成角的余弦值思路點撥 （1）如圖21220， E是SC的中點，要平移SA使之與EF相交，只需取AC中點M，連EM，則EM為ACS的中位線，EMSAEM與EF所成的角即為所求（2）如圖21220，在SCF中，只要把SF平移到E點就可以了， E為SC中點，仍考慮用三角形中位線來實現(xiàn)平移，取CF的中點G，連接GESFGEA（或其補角）即為SF與AE所成的角解：（1）取AC的中點M，連接EM、FM，則由三角形中位

8、線定理知EMSA且EMSA，MFBC且MFBC，MEF（或其補角）是SA與EF所成的角，在EMF，EMSA，F(xiàn)MBC，連接FC，由題設條件易知：FCE為直角三角形，EFEMF為等腰直角三角形， MEF45°， 異面直線SA與EF所成的角為45°（2）連接CF并取其中點G，連接EG、AG，則EGSF且EGSF，GEA（或其補角）是異面直線SF與AE所成的角在AGE中，AE，EG，在RtAGF中，由余弦定理得：cosAEG，異面直線AE和SF所成的角的余弦值為誤點剖析 這里的計算量較大，易造成運算錯誤；當平移兩條異面直線中的一條后獲得的角是鈍角，則不能將這個角作為異面直線所成的

9、角，而應將它補角作為異面直線所成的角，關于這一點，極易在具體問題中出錯，需引起注意評注：在求異面直線所成的角時，可以平移兩條異面直線中一條，也可以平移兩條，原則是易于作圖，且平移各線段的長度易于計算，如：本例中（2）也可以平移兩條直線，依據(jù)仍然是三角形的中位線，如圖21220，取SA的中點K把AE、SF均平移到K點相交，為此可取SE和AF的中點G、H，連接GK、HK即可，在GHK中，GKHK，但GH的求解卻很麻煩，這種平移就不如本例中給出的方法好試解相關題41 如圖21221，S是正ABC所在平面外一點，SASBSC，且ASBBSCCSA90°，M、N分別是AB和SC的中點，求異面直

10、線SM與BN所成角參考答案：arccos【例5】已知空間四邊形ABCD中，ABCD3，E、F分別是BC、AD上的點，并且BEECAFFD12，EF（見圖21222），求AB和CD所成角的大小思路點撥 由于受本題圖形的局限，所以在選擇適當?shù)狞c，平移異面直線時，該點不宜選在AB與CD上，從題設條件看，應將它選在對角線BD的靠近B點的三等分點G處，再將G與E、F相連，還要連EF，于是異面直線AB與CD所成的角就是EGF（或EGF的補角）而EGF的大小可以在EGF中通過計算求得解：如圖21222，連結BD，在BD上取點G，使BGGDl2，連結EG、FG、EFBCD中，EGCD；同理FGAB，EG和FG

11、所成的銳角（或直角）就是異面直線AB和CD所成的角BCD中，EGCD，CD3，EGCD12，EG1ABD中，F(xiàn)GAB，AB3，F(xiàn)GAB23，F(xiàn)G2在EFG中，EG1，F(xiàn)G2，EF，由余弦定理，得：cosEGFEGF120°，由于異面直線AB和CD所成的角是銳角或直角，AB與CD所成的角為60°誤點剖析 誤將EGF作為所求AB與CD的角評注：求異面直線所成角的一般步驟是：選擇適當?shù)狞c，平移異面直線中的一條或兩條成為相交直線，這里的點通常選擇特殊位置的點，如線段的中點或端點，也可以是異面直線中某一條上的特殊點求相交直線所成的角，通常是在相應的三角形中進行計算因為異面直線所成的角

12、的取值范圍是0°90°，所以當在三角形中求的交角為鈍角時，應取它的補角作為異面直線所成的角試解相關題5l 如圖21223，在空間四邊形ABCD中，ABCD8，M、N分別是BD、AC的中點，若異面直線AB與CD成的角為60°，求MN的長（3）異面直線間距離的求法如何求異面直線間的距離?簡單地說，運用“定義法”，即設法作出異面直線的公垂線段再設法求出它的長；又由于異面直線的距離具有“存在性”、“唯一性”和“最小性”（即公垂線段是分別在兩異面直線上任意兩點間的連線中長度最短的一條線段），抓住“最小性”就能產生“最小值法”即設法建立起兩端點分別在兩異面直線上的線段長的函數(shù)

13、，然后求函數(shù)的最小值參考答案：或4【例6】在空間四邊形ABCD中，ABBCCDDAACBDa，E、F分別是AB、CD的中點（1）求證：EF是AB和CD的公垂線段；（2）求AB和CD的距離思路點撥 利用等腰三角形底邊上的中線即是高的性質，從而易證EF就是異面直線AB和CD的公垂線段，只須解RtFEB即可（如圖21224所示）解：（1）如圖21224所示連AF、BFBCD與ACD為邊長為a的正三角形，F(xiàn)為CD的中點AFBFa又E為AB的中點，EF與AB垂直相交，同理EFCDEF為AB、CD的公垂線段（2）由（1）知，EF為AB和CD的距離，在RtFEB中，BEEF即AB和CD間的距離為誤點剖析 不會利用等腰三角形的性質；計算EF的長時不能構造RtFEB評注：本例考查我們對兩條異面直線間距離概念的理解、以及論證與計算能力用“定義法”求異面直線間的距離的步驟可簡單地歸納為：一作，二證，三計算試解相關題6l 在圖21225所示的邊長為a