奧數(shù)專題流水行船問題

1、流水行船問題船在江河里航行時(shí)，除了本身的前進(jìn)速度外，還受到流水的推送或頂逆，在這種情況 下計(jì)算船只的航行速度、時(shí)間和所行的路程，叫做流水行船問題流水行船問題，是行程問題中的一種，因此行程問題中三個(gè)量（速度、時(shí)間、路程） 的關(guān)系在這里將要反復(fù)用到此外，流水行船問題還有以下兩個(gè)基本公式：順?biāo)俣?船速+水速，（1）逆水速度=船速-水速.（2）這里，船速是指船本身的速度，也就是在靜水中單位時(shí)間里所走過的路程.水速，是指水在單位時(shí)間里流過的路程.順?biāo)俣群湍嫠俣确謩e指順流航行時(shí)和逆流航行時(shí)船在單 位時(shí)間里所行的路程.根據(jù)加減法互為逆運(yùn)算的關(guān)系，由公式（I）可以得到：水速=順?biāo)俣?船速，船速=順?biāo)?/p>

2、度-水速.由公式（2）可以得到：水速=船速-逆水速度，船速=逆水速度+水速.這就是說，只要知道了船在靜水中的速度，船的實(shí)際速度和水速這三個(gè)量中的任意兩 個(gè)，就可以求出第三個(gè)量。另外，已知船的逆水速度和順?biāo)俣?，根?jù)公式（1）和公式（2），相加和相減就可 以得到：船速=（順?biāo)俣?逆水速度）吃，水速=（順?biāo)俣?逆水速度）吃。例1、甲、乙兩港間的水路長 208千米，一只船從甲港開往乙港，順?biāo)?8小時(shí)到達(dá)，從乙 港返回甲港，逆水13小時(shí)到達(dá)，求船在靜水中的速度和水流速度.分析：根據(jù)題意，要想求出船速和水速，需要按上面的基本數(shù)量關(guān)系先求出順?biāo)俣群湍?水速度，而順?biāo)俣群湍嫠俣瓤砂葱谐虇栴}的一般數(shù)

3、量關(guān)系，用路程分別除以順?biāo)?、?水所行時(shí)間求出.解：順?biāo)俣龋?08弋=26 （千米/小時(shí)）逆水速度：208-13=16 （千米/小時(shí)）船速：（26+16）吃=21 （千米/小時(shí)）水速：（2616）吃=5 （千米/小時(shí)）答：船在靜水中的速度為每小時(shí) 21千米，水流速度每小時(shí)5千米.例2、某船在靜水中的速度是每小時(shí)15千米，它從上游甲地開往下游乙地共花去了 8小時(shí), 水速每小時(shí)3千米，問從乙地返回甲地需要多少時(shí)間？分析：要想求從乙地返回甲地需要多少時(shí)間，只要分別求出甲、乙兩地之間的路程和逆水 速度。解：從甲地到乙地，順?biāo)俣龋?5+3=18 （千米/小時(shí)），甲乙兩地路程：18 >8=144

4、 （千米），從乙地到甲地的逆水速度：15 3=12 （千米/小時(shí)），返回時(shí)逆行用的時(shí)間：144-12= 12 （小時(shí)）.答：從乙地返回甲地需要12小時(shí).例3、甲、乙兩港相距360千米，一輪船往返兩港需35小時(shí)，逆流航行比順流航行多花了 5小時(shí).現(xiàn)在有一機(jī)帆船，靜水中速度是每小時(shí) 12千米，這機(jī)帆船往返兩港要多少小時(shí)？ 分析：要求帆船往返兩港的時(shí)間，就要先求出水速 由題意可以知道，輪船逆流航行與順流 航行的時(shí)間和與時(shí)間差分別是 35小時(shí)與5小時(shí)，用和差問題解法可以求出逆流航行和順流 航行的時(shí)間.并能進(jìn)一步求出輪船的逆流速度和順流速度.在此基礎(chǔ)上再用和差問題解法求 出水速.解：輪船逆流航行的時(shí)間：

5、（35+5）吃=20 （小時(shí)），順流航行的時(shí)間：（35 5）吃=15 （小時(shí)），輪船逆流速度：360吃0=18 （千米/小時(shí)），順流速度：360-15=24 （千米/小時(shí)）， 水速：（2418） -2=3 （千米/小時(shí)），帆船的順流速度：12 + 3= 15 （千米/小時(shí)），帆船的逆水速度：123=9 （千米/小時(shí)）， 帆船往返兩港所用時(shí)間：360-15+ 360-9 = 24+40=64 （小時(shí)）.答：機(jī)帆船往返兩港要64小時(shí).下面繼續(xù)研究兩只船在河流中相遇問題.當(dāng)甲、乙兩船（甲在上游、乙在下游）在江河 里相向開出，它們單位時(shí)間靠攏的路程等于甲、乙兩船速度和 .這是因?yàn)椋?甲船順?biāo)俣?乙船

6、逆水速度=（甲船速+水速）+ （乙船速-水速）=甲船船速+乙船船速.這就是說，兩船在水中的相遇問題與靜水中的及兩車在陸地上的相遇問題一樣，與水 速沒有關(guān)系.同樣道理，如果兩只船，同向運(yùn)動，一只船追上另一只船所用的時(shí)間，也只與路程差 和船速有關(guān)，與水速無關(guān).這是因?yàn)椋杭状標(biāo)俣?乙船順?biāo)俣?（甲船速+水速）-（乙船速+水速）=甲船速-乙船速.如果兩船逆向追趕時(shí)，也有甲船逆水速度-乙船逆水速度=（甲船速-水速）-（乙船速-水速）=甲船速-乙船速.這說明水中追及問題與在靜水中追及問題及兩車在陸地上追及問題一樣.由上述討論可知，解流水行船問題，更多地是把它轉(zhuǎn)化為已學(xué)過的相遇和追及問題來 解答.例4

7、、小剛和小強(qiáng)租一條小船，向上游劃去，不慎把水壺掉進(jìn)江中，當(dāng)他們發(fā)現(xiàn)并調(diào)過船 頭時(shí)，水壺與船已經(jīng)相距2千米，假定小船的速度是每小時(shí) 4千米，水流速度是每小時(shí)2 千米，那么他們追上水壺需要多少時(shí)間？分析：此題是水中追及問題，已知路程差是 2千米，船在順?biāo)械乃俣仁谴?水速.水壺 飄流的速度只等于水速，所以速度差=船順?biāo)俣?水壺飄流的速度=（船速+水速）-水速= 船速.解：路程差-船速=追及時(shí)間2-4=0.5 （小時(shí)）.答：他們二人追回水壺需用0.5小時(shí).例5、甲、乙兩船在靜水中速度分別為每小時(shí) 24千米和每小時(shí)32千米，兩船從某河相距 336千米的兩港同時(shí)出發(fā)相向而行，幾小時(shí)相遇？如果同向而行

8、，甲船在前，乙船在后， 幾小時(shí)后乙船追上甲船？解：相遇時(shí)用的時(shí)間：336- （24+32）=336弋6=6 （小時(shí)）.追及用的時(shí)間（不論兩船同向逆流而上還是順流而下）：336-（ 32 24）= 42 （小時(shí)）.答：兩船6小時(shí)相遇；乙船追上甲船需要 42小時(shí).課后練習(xí)題1. 甲、乙之間的水路是234千米，一只船從甲港到乙港需9小時(shí)，從乙港返回甲港需13小 時(shí)，問船速和水速各為每小時(shí)多少千米？2. 一艘每小時(shí)行25千米的客輪，在大運(yùn)河中順?biāo)叫?40千米，水速是每小時(shí)3千米，需 要行幾個(gè)小時(shí)？3. 一只小船靜水中速度為每小時(shí)30千米.在176千米長河中逆水而行用了 11個(gè)小時(shí).求返回 原處需用幾

9、個(gè)小時(shí)。4. 一只船在河里航行，順流而下每小時(shí)行 18千米.已知這只船下行2小時(shí)恰好與上行3小 時(shí)所行的路程相等.求船速和水速。5. 兩個(gè)碼頭相距352千米，一船順流而下，行完全程需要11小時(shí).逆流而上，行完全程需要 16小時(shí)，求這條河水流速度。6. A、B兩碼頭間河流長為90千米，甲、乙兩船分別從 A、B碼頭同時(shí)啟航.如果相向而行 3小時(shí)相遇，如果同向而行15小時(shí)甲船追上乙船，求兩船在靜水中的速度。7. 乙船順?biāo)叫?小時(shí)，行了 120千米，返回原地用了 4小時(shí).甲船順?biāo)叫型欢嗡罚?用了 3小時(shí).甲船返回原地比去時(shí)多用了幾小時(shí)？8. 某河有相距45千米的上、下兩碼頭，每天定時(shí)有甲、乙兩

10、艘船速相同的客輪分別從兩碼頭同時(shí)出發(fā)相向而行.一天甲船從上游碼頭出發(fā)時(shí)掉下一物，此物浮于水面順?biāo)h下，4分鐘后，與甲船相距1千米.預(yù)計(jì)乙船出發(fā)后幾小時(shí)可以與此物相遇？1. 從甲到乙順?biāo)俣龋?34為=26 （千米/小時(shí)）.從乙到甲逆水速度：234-13= 18 （千米/小時(shí)）.船速是：（26+18） -2=22 （千米/小時(shí)）.水速是：（26-18） 皆 4 （千米/小時(shí)）.2順?biāo)俣龋?5+3=28 （千米/小時(shí)）.順?biāo)?40千米所需時(shí)間：140吃8=5 （小時(shí)）.3. 水速：30- （176-） =14 （千米/小時(shí)）.返回原處所需時(shí)間：176- （14+ 30）= 4 （小時(shí)）.4.

11、逆水速度：182-3=12 （千米/小時(shí)）.船速：（18+12） -2=15 （千米/小時(shí)）.水流速度：（18-12） -2=3 （千米/小時(shí)）.5. （352-1-352 16）吃=5 （千米/小時(shí)）.6. 90-3= 30 （千米/小時(shí)）.90-15=6 （千米/小時(shí)）.甲船速度：（30+ 6） -2=18 （千米/小時(shí)）.乙船速度：（30-6） -2= 12 （千米/小時(shí)）.7. 乙船順?biāo)俣龋?20-2=60 （千米/小時(shí)）.乙船逆水速度：120-4=30 （千米/小時(shí)）.水流速度：（60-30） -2= 15 （千米/小時(shí)）.甲船順?biāo)俣龋?20-3= 40 （千米/小時(shí)）. 甲船逆

12、水速度：40-2 >15=10 （千米/小時(shí)）.甲船逆水航行時(shí)間：1200=12（小時(shí)）. 甲船返回原地比去時(shí)多用時(shí)間：12-3=9 （小時(shí)）.8. 船速：1000-4=250 （米/分）.相遇時(shí)間：45000吃50=180 （分）=3 （小時(shí)）.流水行船問題船在江河里航行時(shí)，除了本身的前進(jìn)速度外，還受到流水的推送或頂逆，在這種情況下計(jì)算船只的航行速度、時(shí)間和所行的路程，叫做流水行船問題.流水行船問題，是行程問題中的一種，因此行程問題中三個(gè)量（速度、時(shí)間、路程）的關(guān)系在這里將要反復(fù)用到.此外，流水行船問題還有以下兩個(gè)基本公式：順?biāo)俣?船速+水速，（1）逆水速度=船速-水速.（2）這里，

13、船速是指船本身的速度，也就是在靜水中單位時(shí)間里所走過的路程.水速，是指水在單位時(shí)間里流過的路程.順?biāo)俣群湍嫠俣确謩e指順流航行時(shí)和逆流航行時(shí)船在單 位時(shí)間里所行的路程.根據(jù)加減法互為逆運(yùn)算的關(guān)系，由公式（I）可以得到：水速=順?biāo)俣?船速，船速=順?biāo)俣?水速.由公式（2）可以得到：水速=船速-逆水速度，船速=逆水速度+水速.這就是說，只要知道了船在靜水中的速度，船的實(shí)際速度和水速這三個(gè)量中的任意兩個(gè)，就可以求出第三個(gè)量。另外，已知船的逆水速度和順?biāo)俣?，根?jù)公式（1）和公式（2），相加和相減就可 以得到：船速=（順?biāo)俣?逆水速度）-2，水速=（順?biāo)俣?逆水速度）-2。例1、甲、乙兩港間

14、的水路長 208千米，一只船從甲港開往乙港，順?biāo)?8小時(shí)到達(dá)，從乙 港返回甲港，逆水13小時(shí)到達(dá)，求船在靜水中的速度和水流速度.例2、某船在靜水中的速度是每小時(shí)15千米，它從上游甲地開往下游乙地共花去了 8小時(shí), 水速每小時(shí)3千米，問從乙地返回甲地需要多少時(shí)間？例3、甲、乙兩港相距360千米，一輪船往返兩港需35小時(shí)，逆流航行比順流航行多花了 5小時(shí).現(xiàn)在有一機(jī)帆船，靜水中速度是每小時(shí) 12千米，這機(jī)帆船往返兩港要多少小時(shí)？下面繼續(xù)研究兩只船在河流中相遇問題.當(dāng)甲、乙兩船（甲在上游、乙在下游）在江河 里相向開出，它們單位時(shí)間靠攏的路程等于甲、乙兩船速度和 這是因?yàn)椋杭状標(biāo)俣?乙船逆水速度=

15、（甲船速+水速）+ （乙船速-水速）=甲船船速+乙船船速. 這就是說，兩船在水中的相遇問題與靜水中的及兩車在陸地上的相遇問題一樣，與水 速沒有關(guān)系.同樣道理，如果兩只船，同向運(yùn)動，一只船追上另一只船所用的時(shí)間，也只與路程差 和船速有關(guān)，與水速無關(guān).這是因?yàn)椋杭状標(biāo)俣?乙船順?biāo)俣?（甲船速+水速）-（乙船速+水速）=甲船速-乙船速.如果兩船逆向追趕時(shí)，也有 甲船逆水速度-乙船逆水速度=（甲船速-水速）-（乙船速-水速）=甲船速-乙船速.這說明水中追及問題與在靜水中追及問題及兩車在陸地上追及問題一樣.由上述討論可知，解流水行船問題，更多地是把它轉(zhuǎn)化為已學(xué)過的相遇和追及問題來 解答.例4、小剛

16、和小強(qiáng)租一條小船，向上游劃去，不慎把水壺掉進(jìn)江中，當(dāng)他們發(fā)現(xiàn)并調(diào)過船 頭時(shí)，水壺與船已經(jīng)相距2千米，假定小船的速度是每小時(shí) 4千米，水流速度是每小時(shí)2 千米，那么他們追上水壺需要多少時(shí)間？課后練習(xí)題1.甲、乙之間的水路是234千米，一只船從甲港到乙港需9小時(shí)，從乙港返回甲港需13小 時(shí)，問船速和水速各為每小時(shí)多少千米？2. 一艘每小時(shí)行25千米的客輪，在大運(yùn)河中順?biāo)叫?40千米，水速是每小時(shí)3千米，需 要行幾個(gè)小時(shí)？3. 一只小船靜水中速度為每小時(shí)30千米.在176千米長河中逆水而行用了 11個(gè)小時(shí).求返回 原處需用幾個(gè)小時(shí)。4. 一只船在河里航行，順流而下每小時(shí)行18千米.已知這只船下行2小時(shí)恰好與上行3小時(shí)所行的路程相等.求船速和水速。5. 兩個(gè)碼頭相距352千米，一船順流而下，行完全程需要11小時(shí).逆流而上，行完全程需要 16小時(shí)，求這條河水流速度。6.