存在與唯一性定理的證明

1、存在與唯一性定理的證明作者:日期:Picard存在與唯一性定理的證明定義：設(shè)函數(shù)f(x,y)在閉區(qū)域D上有定義，如果存在常數(shù) L 0,使對任何(x,yj,(x,y2) D均滿足不等式f (x,yi)f(x, y2)L yiy2 ,那么稱f (x,y)在D上關(guān)于y滿足Lipschitz條件,稱L為Lipschitz常數(shù)Picard定理：設(shè)f (x, y)在閉矩形域D : x xoa, yy°b上連續(xù)，且關(guān)于y滿足Lipschitz條件，那么初值問題d f(“)dxy(xo) yo在區(qū)間|x0 h,xo h上有且只有一個解，其中min( a, ), MMmaxf(x,y)證明:整個證明過

2、程分成如下五個局部I,首先證明求初值的解等價于求積分方程y0f (x, y)dx,x的連續(xù)解。x0事實上，假設(shè)y (x)(x I)是初值問題的解，那么有d( (x)dx(X。)y。f (x,(x),x I由此，f (x, (x)在I上連續(xù)，從而可積，于是對恒等式d( (x)dxf(X, (x),xI積分并利用初始條件，得x到(x)yof (x, (x)dx,x I即，y (x)(x I)是積分方程的解x0x反之，設(shè)y (x)(x I)是方程的連續(xù)解，即有恒等式(x) y0 f (x, (x)dx, x Ix0因為f (x, (x)在I上連續(xù)，故(x)xy°f(x, (x)dx,x I

3、x0右端是積分上限 x I的可微函數(shù)，從而(x)在I可微于是將(x)y°xf (x, (x)dx,xx0I兩邊對x求導，得恒等式 f(x, dxy (x)(x I)是初值問題的解(x),x I ,并令 xx得y(x°)y。，因此因此，我們只需證明積分方程存在唯一定義在區(qū)間Ix0h,x0h上的連續(xù)解。我們采用Picard的逐次逼近法來證明，根本思路就是在所設(shè)條件下構(gòu)造岀一個一致收斂的連續(xù)函數(shù)序列，它的極限函數(shù)恰 是積分方程的唯一解n，用逐次迭代法在區(qū)間|上構(gòu)造逐次近似的連續(xù)函數(shù)序列yn 1(X)yo f (x, yn(x)dxXo,X Iyo(x) yo0時，注意到f(x,y

4、0(x)是I上的連續(xù)函數(shù)，所以由知yi(x)yoXf(x, yo(x),(x I)在xoI上是連續(xù)可微滿足不等y(x)yo|f(x,y°(x)dxx0于是在區(qū)間I 上 yi(x)yoMh bx0因此，f (x, y1 (x)在|上是連續(xù)的，所以由式知Xy2(x) yo f (x,y(x),(x I)在xo上是連可微的,而且滿y2(x) yof(x,y(x)dx Mxo于是在區(qū)間1 上 y2(x)yoMh bxo以此類推，應(yīng)用數(shù)學歸納法易證:由式給出的所謂Picard序列yn(x)是區(qū)間I上的連續(xù)函數(shù)序列，而且滿足不等yn(x) yomx x0 Mh b, no,i，.山，證明Pica

5、rd序列yn(x)在區(qū)間I上一致收斂考慮級數(shù)yoy (x) yoyn (x) yn i (x)yonyk(x)yk 1(X)yn(x)，于是,要證明序列yn(x)在區(qū)間i上一致收斂，只需證明級數(shù)在k 1一致收斂。為此我們歸納證明不等式:yn l(x)yn(x) MLnxXo在|上成立事實上，當n 0y(x)yol|f(x,y°(x)dx M x xo 知式成立，假設(shè)當n k時式成立，xoyk i(x)yk(x) MLkk 1(k 0,1,.)在I上成立(k 1)xXo那么由式知yk 2(x)yk 1 (x) f (x, yk 1(x) f (x,yk(x)dx根據(jù)Lipschitz條

6、件和歸納假設(shè)得xoxyk 2(x) yk i(x)Lyki(x) yk(x) dxx0MLkxxo(k 1) dxMLk 1x xok2(k 2)因當Xhn 1I 時,X X0h,故由式知 yn1(x) yn(x)ML (n 1)(n on.)xo即當n k 1時式也成立，因此有數(shù)學歸納法知式得證 1因正項級數(shù)MLn-收斂,故由函數(shù)項級數(shù)一致收斂的Weierstrass(魏爾斯特拉斯)判別法知級數(shù)no (n 1)在區(qū)間|上一致收斂從而Picard序列yn(x)在區(qū)間I上一致收斂設(shè)其極限函數(shù)為(x)，即當x I時一致的有l(wèi)im yn(x)(x)n那么y (x)在I上是連續(xù)的且由yn(x) y0b

7、推知(x) y0b,x IIV，證明y (x),(x I)是積分方程的解x在式兩端令 n 得到 (x)y0 lim f (s, yn(s)dsnxx因此問題歸結(jié)為證明lim f (s, yn(s)ds f (s, (s)dsnX0X0因Picard序列yn(x)在I上一致收斂，那么任給0,存在自然數(shù)N N()，當n N時，對I中所有 x 有 yn(x)(x) Lh故當x I時，由 Lipschitz條件知xxf(s,yn(s)dsf(x, (x)dsX0xx|f(s, yn(s) f (s, (x) dsx0xLyn(s)(s) dsX0xL dsx0x x?hN hxf(s,X0(s)ds成

8、立因此式 lim f (s, yn (s)dsnX0x因而當 x I 時有(x) y0f (s, (s)ds，所以 y(x),( xxoI)是積分方程的一個連續(xù)解V ,證明積分方程的連續(xù)解的唯一性設(shè)y(x)也是方程的定義在區(qū)間I上的連續(xù)解，那么(x)xyof (x, (x)dx, x I于是與步驟山類似，可歸納證明得yn(x)(x)h" 1MLn h(n(n 1)0,1,.)在 I上成立從而Picard序列yn(x)在區(qū)間I上也一致收斂與(x)，因此我們推出 (x)(x), x I所以，積分方程的連續(xù)解是唯一的。至此，定理得證?！咀ⅰ慷ɡ碇袛?shù)h min a, -的幾何意義因為在閉矩形

9、域 D上有f(x,y) M ,所以方程dy f(x, y)的積分曲線上任一點的切線斜率介于M與dxM 之間。過點 p(x°,y°)分別引斜率為 M 與M 的直線BC和BC :y yo M (x Xo), y y° M (x冷)，當M b時,如圖所示；當M -時，如圖所示aa顯然方程 3 f (x,y)過點p(xo,y。)的積分曲線y(x)(如果存在的話)不可能進入圖或所示的兩dx個陰影區(qū)域內(nèi)。假設(shè) m b(即a 由圖可見解y(x)在整個區(qū)間x a,x a上有定義；假設(shè)aMM b (即a )由可見，不能保證解y (x)在x a,x a上有定義。它可能在 aMx x1(x0 x x a)或x x2(x0 a x, xj外到達D的上邊界y y0 b或下邊界y y0 b,于是，當X xi或X x2時,y (x)沒有定義。此時，由于點B1, C1, B