高中數(shù)學(xué)第三章三角恒等變換3.1和角公式3.1.1兩角和與差的余弦示范教案

1、3.1.1 兩角和與差的余弦示范教案整體設(shè)計教學(xué)分析本節(jié)是結(jié)合第一章，以圓上點的運動作引子， 從中提出問題，引入本節(jié)的研究課題.在教學(xué)中要結(jié)合教科書中提供的問題背景，充分展示公式推導(dǎo)的思維過程.在正式推導(dǎo)之前， 可組織學(xué)生談?wù)勛约簩ν茖?dǎo)公式的想法，討論、研究和分析可能出現(xiàn)的思路，使學(xué)生更好地經(jīng)歷和參與數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)活動， 體驗數(shù)學(xué)的發(fā)展與創(chuàng)造過程.同時，引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)兩個向量數(shù)量積的定義及其坐標(biāo)運算，復(fù)習(xí)單位向量的三角表示，并嘗試自己推導(dǎo)兩角和的余弦公式.在公式推出之后，還可以引導(dǎo)學(xué)生對推導(dǎo)過程進(jìn)行反思，欣賞用向量方法推導(dǎo)公式的美妙，歸納、總結(jié)、發(fā)現(xiàn)公式的結(jié)構(gòu)特點以便掌握和靈活運用.在公式應(yīng)用的教學(xué)中

2、，要引導(dǎo) 學(xué)生充分注意變形中角的變化，靈活運用“角的代換”的方法，體會化歸思想在三角恒等變換中的應(yīng)用.利用向量知識探索兩角差的余弦公式時要注意推導(dǎo)的層次性：在回顧求角的余弦有哪些方法時，聯(lián)系向量知識，體會向量方法的作用；結(jié)合有關(guān)圖形，完成運用向量方法推導(dǎo)公式的必要準(zhǔn)備；探索過程不應(yīng)追求一步到位，可以先不去理會其中的細(xì)節(jié)，抓住主要問題及其線索進(jìn)行探索，然后再反思，予以完善；補充完善的過程，既要運用分類討論的思想，又要用到誘導(dǎo)公式.本節(jié)是數(shù)學(xué)公式的教學(xué)，教師要遵循公式教學(xué)的規(guī)律，應(yīng)注意以下幾方面：要使學(xué)生了解公式的由來；使學(xué)生認(rèn)識公式的結(jié)構(gòu)特征加以記憶；使學(xué)生掌握公式的推導(dǎo)和證明；通過例子使學(xué)生熟

3、悉公式的應(yīng)用，靈活運用公式進(jìn)行解答有關(guān)問題.三維目標(biāo)1 .通過讓學(xué)生探索、猜想、發(fā)現(xiàn)并推導(dǎo)“兩角差的余弦公式”，了解單角與復(fù)角的三 角函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系， 并通過強化題目的訓(xùn)練， 加深對兩角差的余弦公式的理解，培養(yǎng)學(xué)生的運算能力及邏輯推理能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì).2 .通過兩角差的余弦公式的運用，會進(jìn)行簡單的求值、化簡、證明，體會化歸思想在 數(shù)學(xué)當(dāng)中的運用，使學(xué)生進(jìn)一步掌握聯(lián)系的觀點，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力.3 .通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，使學(xué)生體會探究的樂趣，強化學(xué)生的參與意識，從而培養(yǎng)學(xué)生分 析問題、解決問題的能力.重點難點教學(xué)重點：兩角和與差的余弦公式.教學(xué)難點：兩角和與差的余弦公式的靈

4、活運用.課時安排1課時教學(xué)過程導(dǎo)入新課思路1.(直接導(dǎo)入)如果知道了 a , 3的三角函數(shù)，如何計算 ”+ 3 , a 3 的三角 函數(shù)呢？下面我們從向量的角度來探究這一問題，接著導(dǎo)入新課.思路2.(復(fù)習(xí)導(dǎo)入)我們在初中日就知道 cos45° =*，cos30° = 當(dāng),由此我們能否 得到cos15° =cos(45° 30° ) = ?這里是不是等于cos45° cos30°呢？教師可讓學(xué)生驗證，經(jīng)過驗證可知，我們的猜想是錯誤的.那么究竟是什么關(guān)系呢？cos( a 3 )等于什么呢？這時學(xué)生急于知道答案，由此展開新課.推進(jìn)

5、新課新知探究教師引導(dǎo)學(xué)生回顧兩個向量數(shù)量積的定義及其坐標(biāo)運算，復(fù)習(xí)單位向量的三角表示:OP5= (cos a , sin a ), O(Q= (cos 3 , sin 3 )并進(jìn)一步講解. 兀.一一.一.一 一.我們知道cos(x 彳)可以看作是向重(cosx , sinx)與向重(1,1)的夾角的余弦值，那么 cos( a - 3 )能否也看成是兩個向量夾角的余弦值呢？把cos( a - 3 )看成兩個向量夾角的余弦，考慮用向量的數(shù)量積來研究.如圖1,在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)x軸為始邊分別作角”，3,其終邊分別與單位圓交于 Pi (cos a , sin a ), P2(cos 3 , s

6、in 3 ),則/P 1OP= a 3 .由于余弦函數(shù)是周期為2 Tt的偶函數(shù)，所以，我們只需考慮0W a 3 W兀 的情況.設(shè)向量 a= OP = (cos a , sin a ),b= OF2= (cos 3 , sin 3 ),貝U a b=| a| b|cos( a - 3 ) =cos( a 3 ) .另一方面，由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，有 a - b = cos a cos 3 + sin a sin 3, 所以 cos( a - 3 ) = cos a cos 3 + sin a sin 3 .這就是兩角差的余弦公式.教師引導(dǎo)學(xué)生探究“用-3代替3”的換元方法就可以得到cos( a

7、 + 3 ) = cos a ( 3 ) = cos a cos( 3 ) + sin a sin( 3 ), 即cos( a + 3 ) =cos a cos 3 sin a sin 3 ,這就是兩角和的余弦公式. 這兩個公式分別記為 Clb, C + B.應(yīng)用示例思路1例1求cos105°及cos15°的值.解：cos105° = cos(60 ° +45° )=cos60° cos45° sin60 ° sin45 °=1 亞近江由一乖=22.22=4；cos15° =cos(45

8、6; 30° )= cos45° cos30° +sin45° sin30 °一二 3 二 1-22 + 22.6+ .2變式訓(xùn)練1 .不查表求 sin75 ° , sin15 °的值.解：sin75 ° =cos15° = cos(45 ° 30° )= cos45° cos30° +sin45° sin30 °瞽X孚+*x；=恒拜.2t2y- 6V6+V22sin15 =叩cos15 =/1 x4_/8-25+ 平-中=，16=4.2 .不查

9、表求值：cos110° cos20° +sin110° sin20 ° .解：原式=cos(110° 20° )=cos90° = 0.，人4 兀，、兀兀例 2 已知 COS a = 5( _2< a < Tt ), 求 COS( "6- - a ) , COS( + a ).八4兀_解：因為COS a = 5，且< a < 71 ,所以Tt兀兀VI41 3 3 4噌”=2()+2 .歹 10兀兀兀cos( "6- +) = cos-cos a sin -sin4135) -2 ,

10、 53+4、., 310變式訓(xùn)練已知 sin a = , a C （0 ,兀），cos 3 = 一 右，3 是第三象限角，求 513cos( a 3 )的值.解：當(dāng)4且 sin a =5cos a =、1 sin4421 535,又由cos 33是第三象限角，得sin 3 = 1 cos 3 =一5 2131213.所以 cos( a - 3 ) = cos a cos 3 + sin a sin 33= (5)X(一，兀 ，一4 一當(dāng) a （0 , 了）時，且 sin a = 5，得因止匕 cos( a ) = cos-cos a + sin -sin所以 cos( a - 3 ) = co

11、s a cos 3 + sin a sin 3= 3X(-)+4x (-12) = -63.5(13)5 (13)65點評：由于aC(0,兀)，這樣cos a的符號可正、可負(fù)，需討論，教師引導(dǎo)學(xué)生運用分類的思想，對角a進(jìn)行分類討論，從而培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性和邏輯的條理性.教師強調(diào)分類時要不重不漏.例 3 利用公式 C + b 證明：cos a + (2k + 1)兀=一 cos a .證明：cos a + (2k + 1) nt =cos a cos(2k + 1)兀sin a sin(2k + 1) nt =一 cos a .思路2例 1 計算：(1)cos( -15° );(2)

12、cos15 ° cos105° +sin15° sin105 ° ;(3)sinxsin(x +y) + cosxcos(x +y).活動：教師可以大膽放給學(xué)生自己探究，點撥學(xué)生分析題目中的角一15。，思考它可以拆分為哪些特殊角的差，如15° =15° 30°或15° =45° -60° ,然后套用公式求值即可.也可化cos( -15° )=cos15°再求值.讓學(xué)生細(xì)心觀察(2)(3)可知，其形式與公式 C -B的右邊一致，從而化為特殊角的余弦函數(shù).解：(1)原式=cos1

13、5° =cos(45° 30° )= cos45° cos30° +sin45° sin30 °2'32 1="2- x -2-+-2-X 2_ 16+ . 2=4.(2)原式=cos(15 ° 105° ) = cos( -90° )=cos90° = 0.(3)原式= cosx (x + y) = cos( y) = cosy.點評：本例重點是訓(xùn)練學(xué)生靈活運用兩角差的余弦公式進(jìn)行計算求值，從不同角度培養(yǎng)學(xué)生正用、逆用、變形用公式解決問題的能力，為后面公式的學(xué)習(xí)打下

14、牢固的基礎(chǔ)變式訓(xùn)練函數(shù)f(x) =sinx - cosx的最大值為()A. 1B. , 2C. . 3D. 2答案：B，-1例 2 已知 cos a = 7, cos( a + 3 )=11 一Tt ,14,且 a、3 (0 ,萬)，求 cos 3 的值.解：.兀a、3 C (0 ,) , a + 3(0,兀)5 ,314 .又,: 3=(a+3)a,cos 3 = cos( a + 3 )cos a + sin( a + 3 )sin a111 5 3 4 3 1=()xxy=-.(14) 71472變式訓(xùn)練1 .求值：cos15° +sin15 ° .解：原式=/（乎c

15、os150 十二in15= /cos(45。-15° ) =2cos30。=)=-2(cos45 ° cos15° + sin45 ° sin15 ° ).62 .2 .已知銳角3 滿足COS atan( a 3 )=一；,求 cos 3 .3“，I4解：人為銳角,且cosa = 5sin a =二 51又tan( a - 3 ) = 7<0 3 COS( a B ) = j.10從而 sin( a - 3 ) = tan( a 3 )cos( a 3 ) = .,10cos 3 = cos a ( a 3 ) = cos a cos(

16、a 3 ) + sin a sin( a 3 )43319 10二二 乂 肅 5 乂 ( 一而) = 50 .課堂小結(jié)1 .先由學(xué)生自己思考回顧公式的推導(dǎo)過程，觀察公式的特征，特別要注意公式既可正 用、逆用，還可變形用，并掌握運用變角和拆角的思想方法解決問題.然后教師引導(dǎo)學(xué)生圍 繞以下幾點小結(jié)：（1）怎么聯(lián)系有關(guān)知識進(jìn)行新知識的探究？（2）利用差角余弦公式方面：對公式結(jié)構(gòu)和功能的認(rèn)識，三角變換的特點.2 .教師畫龍點睛：本節(jié)課要理解并掌握兩角差的余弦公式及其推導(dǎo)，要正確熟練地運角的關(guān)系，準(zhǔn)確判斷三角函數(shù)值的符 以達(dá)到優(yōu)化解題過程，規(guī)范解用公式進(jìn)行解題，在解題時要注意分析三角函數(shù)名稱、 號.多對

17、題目進(jìn)行一題多解，從中比較最佳解決問題的途徑, 題步驟，領(lǐng)悟變換思路，強化數(shù)學(xué)思想方法之目的.作業(yè)課本本節(jié)練習(xí)B組15.設(shè)計感想“實際問題一猜想一探索進(jìn)行主動探索數(shù)學(xué)知識發(fā)生1 .本節(jié)課是典型的公式教學(xué)模式，因此本節(jié)課的設(shè)計流程從 推導(dǎo)一記憶一應(yīng)用”. 它充分展示了公式教學(xué)中以學(xué)生為主體，并學(xué)會增產(chǎn)生發(fā)展的過程.同時充分發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用，引導(dǎo)學(xué)生利用舊知識推導(dǎo)證明新知識，記憶公式的方法，靈活運用公式解決實際問題.從而培養(yǎng)學(xué)生獨立探索數(shù)學(xué)知識的能力,強學(xué)生的應(yīng)用意識，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性.2 .教學(xué)矛盾的主要方面是學(xué)生的學(xué)，學(xué)是中心，會學(xué)是目的，根據(jù)高中三角函數(shù)的知 識特點，讓學(xué)生真正嘗試到探

18、索的喜悅， 真正成為教學(xué)的主體.學(xué)生體會到數(shù)學(xué)的美， 一種成功感，從而提高了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.(1)sin80° cos55° +cos80° cos35° ;(2)cos80° cos20° +sin100° sin380 ° .4.已知：1兀sin 0=5, 0 2 (,兀)，求 cos( 0 一 ,.2/ 兀35.已知：sin a = 3, a (,兀),cos 3 = 4,3 e(兀，)的值.3 兀 ，、一),求 cos( a - 3 )的備用習(xí)題備課資料什冗1 .右一 < a < |3 <

19、則a 3正小屬于的區(qū)間()A.(% , % )兀兀B(-2, T)C (-K, 0)D. (0 ,兀)2.已知a、33 '1010為銳角，cos a =10 , cos 3 = ：0-，則 a + 3 = .3.不查表求值:23'值.6 .已知函數(shù)f(x) =Asin(x +。)(A>0,0<。<兀)，x C R的最大值是1,其圖象經(jīng)過點 M5, 1 2)求f(x)的解析式；(2)已知 a、3 C (0 ,)，且 f( a ) =3, f( 3 )=普,求 f( a - 3 )的值. 2513參考答案：兀二2 .12.1. D 2.y3 . (1)原式=sin80° sin35 ° +cos80° cos35° = cos(80 ° 35° )=cos45° =(2)原式=cos80° cos20