河南省初中數(shù)學競賽預(yù)賽試題及答案

1、全國初中數(shù)學競賽預(yù)賽試題及參考答案(競賽時間：2014年3月2日上午9： 00-11： 00)一、選擇題(共6小題，每小題6分，共36分)以下每小題均給出了代號為A, B, C, D的四個選項，其中有且只有一個選項是準確的.請將準確選項的代號字母填入 題后的括號里，不填、多填或錯填都得0分)1.若。是最大的負整數(shù)，h是絕對值最小的有理數(shù)，c是倒數(shù)等于它本身的自然數(shù),則"233 +201劭的值為【】(A) 2013(B) 2014(C) 2015(D) 0【答】D.解：最大的負整數(shù)是一1,1;絕對值最小的有理數(shù)是0, /，=();倒數(shù)等于它本身的自然數(shù)是1,c = l.At/2013

2、+2014/7 +c2O,5=(-l)2°,3+2014x0 +l20I5=0.2 .已知實數(shù)滿足卜:+> +則代數(shù)式4t 攵+ 1的值是【】4x + y-2z = 2.(A) -3 【答】A.(B) 3(C) -7(D) 7解：兩式相減得3x-3z = -3,貝必x4z + l = -3.3 .如圖，將表面展開圖(圖1)還原為正方體，按圖2所示擺放，那么，圖1中的線段MN在圖2中的對應(yīng)線段是【】(A) a(B) b(C) c (D) d(第3題佟I)【答】C.解：將圖1中的平面圖折成 正方體，MN和線段c重合,不妨 設(shè)圖1中完整的正方形為完整面, AMN和A8M所在的面為組

3、合面，則AMN和ABM所在的 面為兩個相鄰的組合面，比較圖2,首先確定8點，所以線段”與AM重合，MN與線段c重合.4.已知二次函數(shù)），=。/+以+。的圖象如圖所示，則下列7個代數(shù)式刈，ac, be.b2 -4t/c , a+ b + c, a-b + c, 2a + 中，其值為正的式子的個數(shù)為【】【答】C.解：由圖象可得：6/ > 0 , /? < 0 , c >0 , /. ah < 0, ac> 0 9 be <0.拋物線與x軸有兩個交點，尸一“。.當x=l時，y<0,即a + 匕 + evO.當x=-1時，），>0,即+ c>0.從

4、圖象可得，拋物線對稱軸在直線x=l的左邊，即_L<1,2 +。>0.所以7個代數(shù)式中，其值為正的式子的個數(shù)為4個.2a5 .如圖，RtZXOAB的頂點。與坐標原點重合，NAO8=90° , AO=2BO,當A點在 反比例函數(shù)），=, （x>0）的圖象上移動時，8點坐標滿足的函數(shù)解析式為【】X(A) y = - (x<0) 8x(C) y = - (x<0)2x(8) y = - (x<0) 4x(D) y = - (x<0)xOAOB)2 = 4.【答】B.解：如圖，分別過點48分別做y軸的垂線AN,8M ,那么A4NOs 。磔，則sa 5N

5、0s° 'OMB丁 Sno 7°N x AN = SAOMB =- ZZoOM xBM =-,故),=_L44x6 .如圖，四邊形A8"K是邊長為6的正方形，點C、O在邊AB上，且AC=O8=1, 點P是線段上的動點，分別以AP、P8為邊在線段4B的同側(cè)作正方形AMNP和正 方形BRQP, E、尸分別為MM QR的中點，連接ER設(shè)E廠的中點為G,則當點尸從 點C運動到點。時，點G移動的路徑長為【】(A) 1(B) 2(C) 3(D) 6【答】B.解：設(shè)KH中點為S,連接PE、ES、SF、PF. PS, 可證明四邊形PES尸為平行四邊形，G為PS的中點，即在

6、點P運動過程中，G始終 為PS的中點，所以G的運行軌跡為 CS。的中位線, V CD=A B-AC-BD=6-=4,點 G 移動的 路徑長為x 4 =2.2二、填空題(共6小題，每小題6分，共36分)7.已知一2cx<2,化簡|2x + 3 - J(x_9) 得12【答】3x6 3解：V-<x<2, 2x + 3>0, x-9<0,原式=2x + 3 + x 9 = 3x - 6.8 . 一個不透明的袋子中有除顏色外其余都相同的紅、黃、藍色玻璃球若干個，其中 紅色玻璃球有6個，黃色玻璃球有9個，已知從袋子中隨機摸出一個藍色玻璃球的概率 為二,那么，隨機摸出一個為紅

7、色玻璃球的概率為.5出一個紅色玻璃球）=6 + 9 + 10 25x 26+9+x 5解：設(shè)口袋中藍色玻璃球有x個，依題意，得一-=*,即x = 10,所以P （摸C 型;+ X + 1- ni.l ） I 19 .若=4, 則r+_ + = =【答】8.則（x +，）2 =9,即/+=7.工/+! + 1 = 8.10 .如圖,在RS 045中,ZA05=30°, 48=2,將Rs 04B繞。點順時針旋轉(zhuǎn) 90。得到RtA OCD,則AB掃過的面積為.（第10題圖）【答】71.解：:RsOAB 中，NAO8=30。，AB=2, ：.AO=CO=2X 9 80=00=4,成形OSD

8、+ SOB - S網(wǎng)形oac - S4COD 二 S炳形OBD 一形。人。90x/tx42 90X4X（271）21L如圖，在矩形A3CO中，AB=3, BC=4,點七是AO上一個動點，把84E沿BE向矩形內(nèi)部折疊，當點A的對應(yīng)點4恰落在NBCO的平分線上時，CAl=.【答】2V2±1.解：過4作AiM±BC,垂足為M,設(shè)CM=AM=x, 則 8M=4x,在 RtA AiBM 中，AM2 =AB2-BM2 =9-(4-x)2,a、b、9一(4一口2 = /,，x=4M=2土二 2工在等腰 RtZk ACM 中，CAi=2y/2±.12 .已知。、b、c、d是四個不

9、同的整數(shù),且滿足 a+h+c+d =5,若加是關(guān)于x的方程（xa） （xb） （xC、”的一個整數(shù)根，則7的值為.【答】20.解：:（?一）（?一）（1一c） （?一"）=2014» 且 、b、c、d 是四個不同的整 數(shù)，因為2 是大于“、b、c、"的一個整數(shù)根，（?一）、（?一）、（?一c）、（一（/） 是四個不同的正整數(shù). 72014=1x2x19x53,/. (？) + (nib) + (mc) + (md) =1+2+19+53=75.又 丁 a+h+c+d =5,in =20.三、解答題（第13題14分，第14題16分，第15題18分，共48分）13 .

10、某學校為九年級數(shù)學競賽獲獎選手購買以下三種獎品，其中小筆記本每本5元, 大筆記本每本7元，鋼筆每支10元，購買的大筆記本的數(shù)量是鋼筆數(shù)量的2倍，共花費 346元，若使購買的獎品總數(shù)最多，則這三種獎品的購買數(shù)量各為多少？解：設(shè)購買小筆記本x本，大筆記本），本，鋼筆z支，則有5x + 7y + 10z = 346, y = 2z.易知 0VxW69, 0VyW49, 0VzW34, 4分346 _ 24z； 5x + 14z + lOz = 346, 5x + 24z = 346,即 x =二.Va, yt z 均為正整數(shù),346- 24z >0,即 0VzW14 只能取14, 9和4. 8

11、分'"I Z 為 14 時，x = 2=2, y = 2z=28. x+y + z = 44.當 Z 為 9 時，x =26, y = 2z = 18. x+ y + z = 53.當 Z 為 4 時，x = "6 4、=50, ), = 2z=8. x+y + z = 62.綜上所述，若使購買的獎品總數(shù)最多，應(yīng)購買小筆記本50本，大筆記本8本，鋼筆4支.14分14 .如圖，在矩形488中，AD=8,直線。上交直線48于點E,交直線8c于凡AE=6.（1）若點尸是邊AO上的一個動點（不與點4、。重合），PH LDE于H,設(shè)DP為k四邊形AEHP的面積為y試求），與x

12、的函數(shù)解析式;(2)若 AE=2EB.求圓心在直線BC上，且與直線?？诙枷嗲械?。的半徑長；圓心在直線BC上，且與直線DE及矩形ABCD的某一邊所在直線都相切的 圓共有多少個？(直接寫出滿足條件的圓的個數(shù)即可.)解得n = 3I。分14、解：（1）在 RtAAEO中，-AE = 6,AD = :. ED=O.丁 /PHD = ZEAD = 9U0,/PDH = NEDA: 'PHD = AEAD.x DHPH43 _ *J DH =x, PH=x.108655y sed一 S w=24- -x2. 25(2)AD/BC,:.怔BF s AE4P.,EF _3 _BF一記一4一石，EF =

13、 5,BF = 4.7分若。與直線DE、AB都相切，且圓心a在AB的左 側(cè)，過點。/乍QG|_LDF于G，則可設(shè)95=0/= ?S市f+S,=5四r，二不旺-5 + -7 -3 = -3«4. 乙乙乙若。2與直線DE、AB都相切，且圓心。2在AB的右側(cè)，過點。2作QG2，。/于G2,則 可設(shè)儀62=。28 =白Sho,D = ；. FO? DC = ；. DF . OJ.(4+)(6 + 3) =，(10 + 5) ry 22解得q=6.13分3即滿足條件的圓的半徑為二或6.26個.16分15.如圖1,等腰梯形Q48C的底邊OC在x軸上，AB/OC, O為坐標原點，。4 = AB二B

14、C, ZAOC=60°,連接08,點尸為線段08上一個動點，點E為邊OC中點.（1）連接力、PE,求證：R=PE；（2）連接PC,若PC+PE=2y5 ,試求A8的最大值；（3）在（2）在條件下，當AB取最大值時，如圖2,點M坐標為（0, 1）,點O 為線段0c上一個動點，當。點從。點向C點移動時，直線M。與梯形另一邊交點為N, 設(shè)。點橫坐標為機，當MNC為鈍角三角形時，求7的范圍.解：（1）證明：如圖1,連接AE.OA = AB,：. ZAOB = ZABO.v AB/OC,:. ZABO= ZBOC.NAOC = 60°,/. ZAOB = ZBOC = 30°

15、;. /. ZOBC = 90°.石為OC的中點,/. OC = 2BC = 20A. ：. OAE為等邊三角形OB垂直平分線段4E.PA = PE.5分(2) PC+PE= 2逐，J PC+PA= 2途.顯然有 OB=ACPC+PA=2y7分RtA BOC AB=OA=BC=x,則 OC=2x, OB二瓜,即AB的最大值為2. 10分（3）當 AB 取最大值時，AB=OA=BC=2, OC=4.分三種情況討論：當N點在。4上時，如圖2,若CN_LMN時，此時線段。4上N點下方的點（不包 括N、O）均滿足為鈍角三角形.過N作NFJ_x軸，垂足為尸，:A點坐標為（1, 6）,可設(shè)N點坐標為（。，瓜）,則。NF=圓 ,FC=4-a. .OMDsAFNDsAFCN, 絲=空=竺.竺=了 =巫.OM NF FC 14-a解得，? = =）,即當0<?<上空時，可（7為鈍