九年級數(shù)學(xué)上冊第二十四章圓知識點(diǎn)總結(jié)(新版)新人教版.doc

1、第二十四章圓24.1.1 圓知識點(diǎn)一圓的定義 圓的定義：第一種：在一個平面內(nèi)，線段 OA繞它固定的一個端點(diǎn) 。旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點(diǎn) A所形成 的圖形叫作圓。固定的端點(diǎn)。叫作圓心，線段OA叫作半徑。第二種：圓心為 0,半彳5為r的圓是所有到定點(diǎn)。的距離等于定長r的點(diǎn)的集合。比較圓的兩種定義可知：第一種定義是圓的形成進(jìn)行描述的，第二種是運(yùn)用集合的觀點(diǎn)下的定義，但是都說明確定了定點(diǎn)與定長，也就確定了圓。知識點(diǎn)二圓的相關(guān)概念(1) 弦:連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦，經(jīng)過圓心的弦叫作直徑。(2) ?。簣A上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡稱弧。圓的任意一條直徑的兩個端點(diǎn)把圓 分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。(

2、3) 等圓：等夠重合的兩個圓叫做等圓。(4) 等弧：在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。弦是線段，弧是曲線，判斷等弧首要的條件是在同圓或等圓中，只有在同圓或等圓中完全重合的弧才是等弧，而不是長度相等的弧。24.1.2 垂直于弦的直徑知識點(diǎn)一圓的對稱性圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸。知識點(diǎn)二垂徑定理AC=BCA M=BM(1)垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧。如圖所示，直徑為MD AB是弦，且CDL AR垂徑定理垂足為C的直徑垂直弧如上圖所示，直徑 MDW非直徑弦AB相交于點(diǎn)C,CD±ABAC=BC AM=BMAD=BDJ被平分的弦必須不

3、是直注意：因?yàn)閳A的兩條直徑必須互相平分函以垂徑定理的推論中, 徑，否則結(jié)論不成立?！?4.1.3 弧、弦、圓心角知識點(diǎn)弦、弧、圓心角的關(guān)系(1) 弦、弧、圓心角之間的關(guān)系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相 等，所對的弦也相等。(2) 在同圓或等圓中，如果兩個圓心角，兩條弧，兩條弦中有一組量相等，那么它 們所對應(yīng)的其余的各組量也相等。(3) 注意不能忽略同圓或等圓這個前提條件，如果丟掉這個條件，即使圓心角相等,所對的弧、弦也不一定相等，比如兩個同心圓中，兩個圓心角相同，但此時弧、弦不一定相等。24.1.4 圓周角知識點(diǎn)一圓周角定理(1) 圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周

4、角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半。(2) 圓周角定理的推論：半圓(或直徑)所對的圓周角是直角，90。的圓周角所對弦是直徑。(3) 圓周角定理揭示了同弧或等弧所對的圓周角與圓心角的大小關(guān)系?！巴』虻然　笔遣荒芨臑椤巴一虻认摇钡?，否則就不成立了，因?yàn)橐粭l弦所對的圓周角有兩類。知識點(diǎn)二圓內(nèi)接四邊形及其性質(zhì)圓內(nèi)接多邊形：如果一個多邊形的所有頂點(diǎn)都在同一個圓上，這個多邊形叫做圓內(nèi)接多邊形，這個圓叫做這個多邊形的外接圓。圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：(1)圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)。(2)四個內(nèi)角的和是360°(3)圓內(nèi)接四邊形的外角等于其內(nèi)對角24.2點(diǎn)、直線和圓的位置關(guān)系24.2.1 點(diǎn)和圓的位

5、置關(guān)系知識點(diǎn)一點(diǎn)與圓的位置關(guān)系(1) 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有：點(diǎn)在圓外，點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓內(nèi)三種。(2) 用數(shù)量關(guān)系表示：若設(shè)。 。的半徑是r,點(diǎn)P到圓的距離OP=d則有：點(diǎn)P在圓外 d >r;點(diǎn)p在圓上 d=r ;點(diǎn)p更用內(nèi)d vr。知識點(diǎn)二(1)經(jīng)過在同一條隹球的三個點(diǎn)不能作圓(2)不在同一條直線上的三個點(diǎn)確定一個圓，即經(jīng)過不在同一條直線上的三個點(diǎn)可以作圓，且只能作一個圓。知識點(diǎn)三 三角形的外接圓與外心(1) 經(jīng)過三角形三個頂點(diǎn)可以作一個圓，這個圓叫做三角形的外接圓。(2) 外接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，叫做這個三角形的外心。知識點(diǎn)四反證法(1) 反證法：假設(shè)命題的結(jié)論不成

6、立， 經(jīng)過推理得出矛盾， 由矛盾斷定所作假設(shè)不正確， 從而得到原命題成立，這種證明命題的方法叫做反證法。(2) 反證法的一般步驟：假設(shè)命題的結(jié)論不成立； 從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過邏輯推理，推出或與定義，或與公理，或與定理，或與已知等相矛盾 的結(jié)論；由矛盾判定假設(shè)不正確，從而得出原命題正確。24.2.2直線和圓的位置關(guān)系知識點(diǎn)一直線與圓的位置關(guān)系(1) 直線與圓的位置關(guān)系有：相交、相切、相離三種。(2) 直線與圓的位置關(guān)系可以用數(shù)量關(guān)系表示若設(shè)。的半徑是r,直線l與圓心0的距離為d,則有：直線l和。相交 d；直線l和。相切 d = r 九直線l和。相離 d x r ：q知識點(diǎn)二切線的判定和性質(zhì)(1) 切

7、線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。(2) 切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑。(3) 切線的其他性質(zhì)：切線與圓只有一個公共點(diǎn)；切線到圓心的距離等于半徑；經(jīng)過圓 心且垂直于切線的直線必過切點(diǎn)；必過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心。知識點(diǎn)三切線長定理(1) 切線長的定義：經(jīng)過圓外一點(diǎn)作圓的切線，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長，叫做這點(diǎn) 到圓的切線長。(2) 切線長定理：從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點(diǎn)和圓心 的連線平分兩條切線的夾角。(3) 注意：切線和切線長是兩個完全不同的概念，必須弄清楚切線是直線，是不能度量 的；切線長是一條線段的長，這條

8、線段的兩個端點(diǎn)一個是在圓外一點(diǎn)，另一個是切 點(diǎn)。知識點(diǎn)四三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心(1)三角形的內(nèi)切圓定義：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓。這個三角形叫做 圓的外切三角形。(2)三角形的內(nèi)心：三角形內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心。(3)注意：三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，所以當(dāng)三角形的內(nèi)心已知時，過三 角形的頂點(diǎn)和內(nèi)心的射線，必平分三角形的內(nèi)角。(4)直角三角形內(nèi)切圓半徑的求解方法：直角三角形直角邊為 a.b ,斜邊為c,直角三角形內(nèi)切圓半徑為 r. a-r+b-r=c, 得a b c11ab根據(jù)三角形面積的表布方法：-ab=-(a b c)r , r 一a22a b c24.3

9、正多邊形和圓知識點(diǎn)一 正多邊形的外接圓和圓的內(nèi)接正多邊形正多邊形與圓的關(guān)系非常密切，把圓分成n (n是大于2的自然數(shù))等份，順次連接各分點(diǎn)所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正多邊形，這個圓就是這個正多邊形的外接圓。正多邊形的中心：一個正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心。正多邊形的半徑：外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑。正多邊形的中心角：正多邊形每一條邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角。正多邊形的邊心距：中心到正多邊形一邊的距離叫做正多邊形的邊心距。知識點(diǎn)二正多邊形的性質(zhì)(1) 各邊相等，各角相等；(2) 都是軸對稱圖形，正 n邊形有n條對稱軸，每一條對稱軸都經(jīng)過n邊形的中心。(3) 正n邊形的

10、半徑和邊心距把正多邊形分成2n個全等的直角三角形。(4) 所有的正多邊形都是軸對稱圖形，每個正n邊形共有n條對稱軸，每條對稱軸都經(jīng)過正n邊形的中心；當(dāng)正n邊形的邊數(shù)為偶數(shù)時， 這個正n邊形也是中心對稱圖形, 正n邊形的中心就是對稱中心。(5) 正n邊形的每一個內(nèi)角等于 (n 2) 180 ,中心角和外角相等，等于 §60。24.4 弧長和扇形面積知識點(diǎn)一弧長公式在半彳至為R的圓中,對的弧長的計(jì)算公式n RL=180360。的圓心角所對的弧長就是圓的周長, nn RL= X 2 兀 R=oC=2兀R,所以n。的圓心角所知識點(diǎn)二扇形面積公式在半彳仝為R的圓中，360。的圓心角所對的扇形面

11、積就是圓的面積S=tt R2,所以圓心角為n°n R2的扇形的面積為 S扇形=360比較扇形的弧長公式和面積公式發(fā)現(xiàn):2S扇形= n_R_ n-R 1r Lr,所以 sllR360180 22 s 用力 2知識點(diǎn)三圓錐的側(cè)面積和全面積圓錐的側(cè)面積是曲面，沿著圓錐的一條母線將圓錐的側(cè)面展開,容易得到圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形。設(shè)圓錐的母線長為l ,底面圓的半徑為r,那么這個扇形的半徑為 l ,扇形的弧長為2兀r,因此圓錐的側(cè)面積 o閶金惻 ）1一，人一，-2 r l rl。圓錐的全面積為2宇錐全 Sa錐側(cè) S2rl r 。中考回顧1.（2017甘肅天水中考 貝U S陰影=（B ）如圖，

12、AB是。O 的直徑，弦 CDL AB / BCD30° , CD4_ m,A.2 % B.1 C.二兀 D. 二兀 a e2（2017四川中考）如圖，AB是。O的直徑，且AB經(jīng)過弦CD勺中點(diǎn)H,已知cos / CDB=, BD=5,則 OH的長度為（D ）B.一- 口C.13.（2017甘肅蘭少M(fèi)中考）如圖，在。中，工出=§?，點(diǎn)D在。O上，/CDB=5° , 則/AOB= B ）A.45°B.50°C.55°D.60°4.（2017山東青島中考）如圖，AB是。的直徑，點(diǎn)CDE在。上，若/AED30。 的度數(shù)為（B）A.10

13、0°B.1100C.1150D.12005.（2017湖北黃岡中考）如圖，在。中，OAL BC/AOB70。，則/ ADC勺度數(shù)為（A.30 °B.35°C.45°D.70°B ），貝上BCD6.（2017福建中考）如圖，AB是。O的直徑，C, D是。O上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn).下列四個角中，定與/ ACM余的角是（D ）A. / ADC B. / ABD C. / BAC D. / BAD7.（2017貴州黔東南州中考）如圖，。的直徑AB垂直于弦CD垂足為E, /A=15° ,半徑為2, 則弦CD的長為（A ）A.2B.-1C.金D.4

14、模擬預(yù)測1 .如圖，點(diǎn) ABC 在。上，/ABO=2° , / ACO38° ,則/ BOC?于（B ） A.60 °B.70°C.120°D.140°解析：卜口圖，過點(diǎn)A作。O的直徑，交。O于點(diǎn)D.在 OA沖，OA=QB./BOD =OBA£ OAB2X32 =64 .同理可得，/ COD =OCA+OAC=X38° =76° , ：/ BOC = BOD+ COD=40 .故選 D.2 .如圖，AB是。O的弦，半徑OA2, / AOB120。，則弦 AB的長是（B ）A2恭B.2 C.遮 D.3 .；

15、3 .如圖，四邊形ABC吶接于。OF是宓上一點(diǎn)，且以二亞'，連接CF并延長交AD的延長線 于點(diǎn)E,連接AC.若/ ABC=05 , / BAC=5° ,貝U/ E 的度數(shù)為（B ）A.45°B.50°C.55°D.60°4 .如圖，。是 ABC勺外接圓，/ B=60° ,。O的半徑為4,則AC的長等于（A ）A.4 加B.6C.2 宙D.85 .如圖，AB是。O的直徑，弦CD交AB于點(diǎn)E,且AE=CD= / BAO=Z BOD則。O的半徑為(B.)A4線 B .5 C .4D. 3V Z BAC=Z BOD：品二的， . AB

16、, CD.,. AE=CD= ： DE=CD4.設(shè) OD=貝U OE=AE-r=8-r.在 RtAODE, OD=rDE=4, OE8-r. OD=dE+oE ：r2=42+（8-r ）2,解得 r=5.6 .若。O的半徑為1,弦AB=£弦AC群,則/ BAC勺度數(shù) 為 15° 或 75° .7 .如圖，AABC是。O的內(nèi)接三角形，點(diǎn)D是3t的中點(diǎn)，已知/ AOB98 /COB120。.則/ ABD勺度數(shù)是101° .8 .如圖，將三角板的直角頂點(diǎn)放在。O的圓心上，兩條直角邊分別交。O于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在優(yōu)弧 AB上，且與點(diǎn) A B不重合，連接PAPB.則/ APB為45° .9 .如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限，。P與x軸交于Q A兩點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6,0）, 。P的半徑為 n 則點(diǎn)P的坐標(biāo)為 （3,2）.10 .如圖，已知AB是。O的直徑，AC是弦，過點(diǎn)O作ODLAC于點(diǎn)D連接BC. 求證：OD=BC (2) 若/ BAC400 ,求J瓦'的度數(shù).-I旭明：|（證法一）:AB是。O的直徑，：OA=OB.又 ODL AC：/ODA= BCA90 .OD BC.：AD=CDJOD=