二次根式的概念與性質(zhì)

1、二次根式的概念與性質(zhì)編稿：莊永春 審稿：邵劍英責(zé)編：張楊一、目標(biāo)認(rèn)知1 .學(xué)習(xí)目標(biāo)：.i理解二次根式的概念，了解被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)的理由；理解并掌握下列結(jié)論：及 3 o. m 0),(=厘。，必"白二0),并利用它們進(jìn)行計(jì)算和化簡(jiǎn).2 .重點(diǎn)：國新=西在3,必二3")及其運(yùn)用.3 .難點(diǎn)：利用 ，( J , J '. ， =以心之力解決具體問題.二、知識(shí)要點(diǎn)梳理知識(shí)點(diǎn)一：二次根式的概念一般地，我們把形如(a >0)?的式子叫做二次根式，“/ ”稱為二次根號(hào).要點(diǎn)詮釋：二次根式的兩個(gè)要素：根指數(shù)為2;被開方數(shù)為非負(fù)數(shù).知識(shí)點(diǎn)二：二次根式的性質(zhì)11.，2.(而)=a

2、 (a 0)3.=| a(a >0)a (1 < 0)4.積的算術(shù)平方根的性質(zhì)：向 =J業(yè)g'a b>o）.5.商的算術(shù)平方根的性質(zhì):要點(diǎn)詮釋：二次根式石（a封0）的值是非負(fù)數(shù)，其性質(zhì)（如="'* 2。）可以正用亦可逆用，正用時(shí)去掉根號(hào)起到化簡(jiǎn)的作用；逆用時(shí)可以把一個(gè)非負(fù)數(shù)寫成完全平方的形式，有利于在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)進(jìn)行因式分解.知識(shí)點(diǎn)三：代數(shù)式§形如5, a, a+b, ab, £ , x3,夜（口 ' °）這些式子，用基本的運(yùn)算符號(hào)（基本運(yùn)算包括加、減、乘、除、乘方、開方）把數(shù)和表示數(shù)的字母連接起來的式子，我們稱這

3、樣的式子為代數(shù)式（algebraic expression）.三、規(guī)律方法指導(dǎo)1 .如何判斷一個(gè)式子是否是二次根式？（1）必須含有二次根號(hào)，即根指數(shù)為2;（2）被開方數(shù)可以是數(shù)也可以是代數(shù)式但必須是非負(fù)的，否則在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無意義.2 .如何確定二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？要使二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義必須滿足被開方數(shù)為非負(fù)數(shù).要確定被開方數(shù)中所含.當(dāng)二次根式字母的取值范圍，可根據(jù)題意列出不等式，通過解不等式確定字母的取值范圍作為分母時(shí)要注意分母不能為零經(jīng)典例題透析類型一：二次根式的概念卜列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式:2垃、狗、工、&(X >0)、1而、依、一點(diǎn)、區(qū) +

4、下、(x >0, y> 0).思路點(diǎn)撥：二次根式應(yīng)滿足兩個(gè)條件：第一，有二次根號(hào)“ ” ；第二，被開方數(shù)是正數(shù)或0.解：二次根式有： 加、&(x >0)、加、-2、J'尸(x >0, y>0);) 不是二次根式的有：狗、已拘、不+乎 .C2、當(dāng)x是多少時(shí)，加-1在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？國思路點(diǎn)撥：由二次根式的定義可知，被開方數(shù)一定要大于或等于 0,所以3x-1 >0, 弘-1才能有意義.解：由 3x-1 >0,得：x> 31 當(dāng)x>與時(shí)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義.總結(jié)升華：要使二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，必須滿足被開方數(shù)是非負(fù)數(shù).舉一

5、反三【變式1】x是怎樣的實(shí)數(shù)時(shí)，下列各式實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義? 41/ ； (2);解：由工41)'>0,解得：x取任意實(shí)數(shù)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)都有意義當(dāng)x取任意實(shí)數(shù)時(shí)，二次根式 依 41)(2)由 x-1 >0,且 x-1 W0,解得：x> 1當(dāng)x>1時(shí)，二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)都有意義【變式2當(dāng)x是多少時(shí)，J2E+工十1在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義? 思路點(diǎn)撥：要使 缶+ 3 +工十1在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，1必須同時(shí)滿足djt + 3>0解：依題意，得k+1h°3由得：x>- 2由得：xw-13當(dāng)x>-2且xW-1時(shí)，類型二：二次根式的性質(zhì)國3、計(jì)算:國七,

6、（包回廠何A0）（思路點(diǎn)撥：我們可以直接利用解：（可=7“四（小_7（4） 2 J =4 .%+3中的2x+3>0和工+1中的x+1 W0.1）2匯+ 3 +工+ 1在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義.r 時(shí)3fv?Y2岫（明（4）團(tuán)6）*昌-后（石）'-a（a >0）的結(jié)論解題.j 區(qū)丫 3,（2）陽2（3"） =3"i"；（5）9扃二(6)(3折-(5后=45-75 = -30【變式1】計(jì)算:(A>0)；(2)+ 2 鼻1(4)+ 9思路點(diǎn)撥：(1)因?yàn)閤>0,所以x+1 >0;(3)a 2+2a+1=(a+1) 2>0;(2)a

7、2>0;(4)4x 2-12x+9=(2x) 2-2 - 2x - 3+32=(2x-3) 2>0.所以上面的4題都可以運(yùn)用a > 0）'的重要結(jié)論解題.(2)解：又. (a+1)2 3>0,，22+22+1>0,+ 2 + 1=a2+2a+1;(4)4x2-12x+9=(2x) 又.(2x-3) 2>02-2 - 2x - 3+32=(2x-3) 24x2-12x+9 >0,K 129'=4x2-12x+9.4、化簡(jiǎn)：言思路點(diǎn)撥：因?yàn)椋?）9=3 2,(2)(-4)2=42, (3)25=5 2, (4)(-3) 2=32,所以都可運(yùn)

8、用 而二去化簡(jiǎn).解：（1）出二厚=3;(2) J '' = '' ' =4;(4)H.C填空：當(dāng)aR0時(shí)，必= 若護(hù) =a，則a可以是什么數(shù)？ (2)若后 =-a,則a可以是什么數(shù)? (3) E >a,則a可以是什么數(shù)？;當(dāng)a<0時(shí),v7 =,?并根據(jù)這一性質(zhì)回答下列問題.思路點(diǎn)撥：A =a(a > 0),()2"中的數(shù)是正數(shù),，要填第一個(gè)空格可以根據(jù)這個(gè)結(jié)論，第二空格就不行，應(yīng)變形，使“ 因?yàn)?，?dāng)a<。時(shí)， K產(chǎn) ,那么-a >0.(1)根據(jù)結(jié)論求條件；(2)根據(jù)第二個(gè)填空的分析，逆向思'想；(3)根據(jù)(

9、1)、(2)可知必二I"，而I團(tuán)要 大于a,只有什么時(shí)候才能保證呢?解：因?yàn)楸?2 ,所以a> 0；(2)因?yàn)楸?一口，所以aw。；因?yàn)楫?dāng)a>0時(shí)G = 要使必 >a ,即使a>a所以a不存在；當(dāng)a<0時(shí)，后"=一自， 要使>以,即使a >a,即a<。；綜上，a<0.類型三：二次根式性質(zhì)的應(yīng)用66、當(dāng)x=-4時(shí)，求二次根式J】F的值國思路點(diǎn)撥：二次根式也是一種代數(shù)式，求二次根式的值和求其他代數(shù)式的值方法相同解：將x=-4代入二次根式，得J-2K =J1- 2父(-4) = T? =3 .已知y=*+'芯2+5,求

10、的值.工 (2)若標(biāo)彳+而口 =0,求肝0s +”的值.z _ 2解：（1）由 2一五 之0，” 2 3 0,可得支=2 ,尸=5 , y 5(2)J IJ口 +1 = 0, 1 = 0；.+1 = (I, A - 1= 0二 a - -1, b - 1&s . 1加)拿f 、工境一維 。.a +啟 -一)4-1= 2.8、在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：（1）x 2-5 ; （2）x 3-2x ;解:原式二-一優(yōu)丫=” 6a _ 6.（2）原式士工（” - 2） 士工，-（應(yīng)尸-+ 0)(至一學(xué)習(xí)成果測(cè)評(píng)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)一、選擇題1 .下列式子中，不是二次根式的是（）2A.而B.屈C.gD.工2 .已

11、知一個(gè)正方形的面積是 5,那么它的邊長是（）A. 5B.廣C.D.以上皆不對(duì)3.（福建省福州市）若代數(shù)式工一I在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則 x的取值范圍為（）LI I12? 4A. x>0B. x>04.3的值是（）A.5. a>0 時(shí),B. 3C. 4 3D .以上都不對(duì)在、-與，比較它們的結(jié)果,卜面四個(gè)選項(xiàng)中正確的是A.二"B.C.寸,廠 D. .廠 V 一6.（遼寧省大連市）如圖，數(shù)軸上點(diǎn) N表示的數(shù)可能是（）A1B.1C, ' 'D.、二、填空題1 .若瓜=4,則x =.2 .若總屋口有意義,則占的取值范圍是3 . - 4。-。4 =.仙4一娟4

12、. .=.5 .g=.7.若而"十醯:0 ,則出；若dO - 3ap=玄，則喜8.化簡(jiǎn)：也德“' =10.（內(nèi)蒙古鄂爾多斯市）如圖，在數(shù)軸上，A、B兩點(diǎn)之間表示整數(shù)的點(diǎn)有 個(gè).A8-I1k用書三、解答題1 .求下列二次根式中字母 a的取值范圍:心+1 ,（2）2 .某工廠要制作一批體積為 1m3的產(chǎn)品包裝盒，其高為 0.2m,按設(shè)計(jì)需要，？底面應(yīng)做成正方形，試問底面邊長應(yīng)是多少？能力提升、選擇題1.使式子JU -52有意義的未知數(shù)乂有（）個(gè)A. 0C. 2D.無數(shù)2.（山西省臨汾市）若Jg6以十/=31以,則淳與3的大小關(guān)系是B.D. , 3.下列計(jì)算正確的是A.B.二5=5

13、D.4.（福建省廈門市）卜列四個(gè)結(jié)論中，正確的是35< < A.5 75 3一 匕七B.-()*22 C.D.二、填空題472 .若丁而 是一個(gè)正整數(shù)，則正整數(shù) m的最小值是3 .已知實(shí)數(shù)即s在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示，則Jg引一-二三、解答題1.當(dāng)x是多少時(shí),g+3+ +X2在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義?2.若萬凄+五二5有意義,a 5| + Ay + 4 0十八來(工 +¥)1Vl/古3.（北京市海淀區(qū)）已知實(shí)數(shù)x, y滿足I ”,求代數(shù)式 ''的值.4.已知國三十歷,求x+y的值.綜合探究那么第1 .（福建省南安市）觀察分析下列數(shù)據(jù)，尋找規(guī)律： 0, ，灰，3,

14、 2色，4,3金, 10個(gè)數(shù)據(jù)應(yīng)是.2 .（江蘇省蘇州市）等式WT=必+J）"+（）中的括號(hào)應(yīng)填入.3 .先化簡(jiǎn)再求值：當(dāng) a=9時(shí)，求a+Jl-2& +，的值，甲乙兩人的解答如下：甲的解答為：原式=a+J=a =a+（1-a）=1 ;乙的解答為：原式 =a+J。-=a+（a-1）=2a-1=17 .兩種解答中， 的解答是錯(cuò)誤的，錯(cuò)誤的原因是 .4 .若一3 W k三2時(shí)，試化簡(jiǎn)I工_:I +1十 - -10戈+ 2:| .5 .在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解下列因式 / -2 ；（2）- - 9.答案與解析 基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)、1.D2.B3.D4.C5.A6.Ba > 二、1.162.-3

15、.-0.024一"5.2-x6.<0r>-7.二8.39. 2 ;(2)6 ; (3)-610.41.解：(1)由 a+1 > 0 ,得 a > -1字母a的取值范圍是大于或等于-1的實(shí)數(shù)。（2） 1 2口 >0,得 l-2a >0,即 av 之1字母a的取值范圍是小于2的實(shí)數(shù)。（3）因?yàn)闊o論a取何值，都有1-3） 30 ,所以a取值范圍是全體實(shí)數(shù)。2.解：設(shè)底面邊長為 x,則0.2x 2=1，解答：x=能力提升一、1.B2.B3.B4.D二、1. - -2.53.b二、IT1.解：依題意得：I"。，3，2h+3.當(dāng)x>- 2且xW0時(shí)， 戈+x2在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義.2 .解：'J3>（）, 右二百之0 ,且43-k + Jk-3有意義43 - x = 0,- 3 = 0, x = 33 .解：中-5隹0,歷八。且Il）斗爐”0二1 工-5|二a 心十4二0 .r-5 = O7 y = 0 二兀=% y = Y（什 y） =14 .解：丫爐石之0,再港0且舊1+產(chǎn)/0,+3 = 0,= 0二