二次根式的概念與性質(zhì)

1、二次根式的概念與性質(zhì)編稿：莊永春 審稿：邵劍英責編：張楊一、目標認知1 .學(xué)習目標：.i理解二次根式的概念，了解被開方數(shù)是非負數(shù)的理由；理解并掌握下列結(jié)論：及 3 o. m 0),(=厘。，必"白二0),并利用它們進行計算和化簡.2 .重點：國新=西在3,必二3")及其運用.3 .難點：利用 ，( J , J '. ， =以心之力解決具體問題.二、知識要點梳理知識點一：二次根式的概念一般地，我們把形如(a >0)?的式子叫做二次根式，“/ ”稱為二次根號.要點詮釋：二次根式的兩個要素：根指數(shù)為2;被開方數(shù)為非負數(shù).知識點二：二次根式的性質(zhì)11.，2.(而)=a

2、 (a 0)3.=| a(a >0)a (1 < 0)4.積的算術(shù)平方根的性質(zhì)：向 =J業(yè)g'a b>o）.5.商的算術(shù)平方根的性質(zhì):要點詮釋：二次根式石（a封0）的值是非負數(shù)，其性質(zhì)（如="'* 2。）可以正用亦可逆用，正用時去掉根號起到化簡的作用；逆用時可以把一個非負數(shù)寫成完全平方的形式，有利于在實數(shù)范圍內(nèi)進行因式分解.知識點三：代數(shù)式§形如5, a, a+b, ab, £ , x3,夜（口 ' °）這些式子，用基本的運算符號（基本運算包括加、減、乘、除、乘方、開方）把數(shù)和表示數(shù)的字母連接起來的式子，我們稱這

3、樣的式子為代數(shù)式（algebraic expression）.三、規(guī)律方法指導(dǎo)1 .如何判斷一個式子是否是二次根式？（1）必須含有二次根號，即根指數(shù)為2;（2）被開方數(shù)可以是數(shù)也可以是代數(shù)式但必須是非負的，否則在實數(shù)范圍內(nèi)無意義.2 .如何確定二次根式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？要使二次根式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義必須滿足被開方數(shù)為非負數(shù).要確定被開方數(shù)中所含.當二次根式字母的取值范圍，可根據(jù)題意列出不等式，通過解不等式確定字母的取值范圍作為分母時要注意分母不能為零經(jīng)典例題透析類型一：二次根式的概念卜列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式:2垃、狗、工、&(X >0)、1而、依、一點、區(qū) +

4、下、(x >0, y> 0).思路點撥：二次根式應(yīng)滿足兩個條件：第一，有二次根號“ ” ；第二，被開方數(shù)是正數(shù)或0.解：二次根式有： 加、&(x >0)、加、-2、J'尸(x >0, y>0);) 不是二次根式的有：狗、已拘、不+乎 .C2、當x是多少時，加-1在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？國思路點撥：由二次根式的定義可知，被開方數(shù)一定要大于或等于 0,所以3x-1 >0, 弘-1才能有意義.解：由 3x-1 >0,得：x> 31 當x>與時，在實數(shù)范圍內(nèi)有意義.總結(jié)升華：要使二次根式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，必須滿足被開方數(shù)是非負數(shù).舉一

5、反三【變式1】x是怎樣的實數(shù)時，下列各式實數(shù)范圍內(nèi)有意義? 41/ ； (2);解：由工41)'>0,解得：x取任意實數(shù)在實數(shù)范圍內(nèi)都有意義當x取任意實數(shù)時，二次根式 依 41)(2)由 x-1 >0,且 x-1 W0,解得：x> 1當x>1時，二次根式在實數(shù)范圍內(nèi)都有意義【變式2當x是多少時，J2E+工十1在實數(shù)范圍內(nèi)有意義? 思路點撥：要使 缶+ 3 +工十1在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，1必須同時滿足djt + 3>0解：依題意，得k+1h°3由得：x>- 2由得：xw-13當x>-2且xW-1時，類型二：二次根式的性質(zhì)國3、計算:國七,

6、（包回廠何A0）（思路點撥：我們可以直接利用解：（可=7“四（小_7（4） 2 J =4 .%+3中的2x+3>0和工+1中的x+1 W0.1）2匯+ 3 +工+ 1在實數(shù)范圍內(nèi)有意義.r 時3fv?Y2岫（明（4）團6）*昌-后（石）'-a（a >0）的結(jié)論解題.j 區(qū)丫 3,（2）陽2（3"） =3"i"；（5）9扃二(6)(3折-(5后=45-75 = -30【變式1】計算:(A>0)；(2)+ 2 鼻1(4)+ 9思路點撥：(1)因為x>0,所以x+1 >0;(3)a 2+2a+1=(a+1) 2>0;(2)a

7、2>0;(4)4x 2-12x+9=(2x) 2-2 - 2x - 3+32=(2x-3) 2>0.所以上面的4題都可以運用a > 0）'的重要結(jié)論解題.(2)解：又. (a+1)2 3>0,，22+22+1>0,+ 2 + 1=a2+2a+1;(4)4x2-12x+9=(2x) 又.(2x-3) 2>02-2 - 2x - 3+32=(2x-3) 24x2-12x+9 >0,K 129'=4x2-12x+9.4、化簡：言思路點撥：因為（1）9=3 2,(2)(-4)2=42, (3)25=5 2, (4)(-3) 2=32,所以都可運

8、用 而二去化簡.解：（1）出二厚=3;(2) J '' = '' ' =4;(4)H.C填空：當aR0時，必= 若護 =a，則a可以是什么數(shù)？ (2)若后 =-a,則a可以是什么數(shù)? (3) E >a,則a可以是什么數(shù)？;當a<0時,v7 =,?并根據(jù)這一性質(zhì)回答下列問題.思路點撥：A =a(a > 0),()2"中的數(shù)是正數(shù),，要填第一個空格可以根據(jù)這個結(jié)論，第二空格就不行，應(yīng)變形，使“ 因為，當a<。時， K產(chǎn) ,那么-a >0.(1)根據(jù)結(jié)論求條件；(2)根據(jù)第二個填空的分析，逆向思'想；(3)根據(jù)(

9、1)、(2)可知必二I"，而I團要 大于a,只有什么時候才能保證呢?解：因為必=2 ,所以a> 0；(2)因為必=一口，所以aw。；因為當a>0時G = 要使必 >a ,即使a>a所以a不存在；當a<0時，后"=一自， 要使>以,即使a >a,即a<。；綜上，a<0.類型三：二次根式性質(zhì)的應(yīng)用66、當x=-4時，求二次根式J】F的值國思路點撥：二次根式也是一種代數(shù)式，求二次根式的值和求其他代數(shù)式的值方法相同解：將x=-4代入二次根式，得J-2K =J1- 2父(-4) = T? =3 .已知y=*+'芯2+5,求

10、的值.工 (2)若標彳+而口 =0,求肝0s +”的值.z _ 2解：（1）由 2一五 之0，” 2 3 0,可得支=2 ,尸=5 , y 5(2)J IJ口 +1 = 0, 1 = 0；.+1 = (I, A - 1= 0二 a - -1, b - 1&s . 1加)拿f 、工境一維 。.a +啟 -一)4-1= 2.8、在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式：（1）x 2-5 ; （2）x 3-2x ;解:原式二-一優(yōu)丫=” 6a _ 6.（2）原式士工（” - 2） 士工，-（應(yīng)尸-+ 0)(至一學(xué)習成果測評基礎(chǔ)達標一、選擇題1 .下列式子中，不是二次根式的是（）2A.而B.屈C.gD.工2 .已

11、知一個正方形的面積是 5,那么它的邊長是（）A. 5B.廣C.D.以上皆不對3.（福建省福州市）若代數(shù)式工一I在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則 x的取值范圍為（）LI I12? 4A. x>0B. x>04.3的值是（）A.5. a>0 時,B. 3C. 4 3D .以上都不對在、-與，比較它們的結(jié)果,卜面四個選項中正確的是A.二"B.C.寸,廠 D. .廠 V 一6.（遼寧省大連市）如圖，數(shù)軸上點 N表示的數(shù)可能是（）A1B.1C, ' 'D.、二、填空題1 .若瓜=4,則x =.2 .若總屋口有意義,則占的取值范圍是3 . - 4。-。4 =.仙4一娟4

12、. .=.5 .g=.7.若而"十醯:0 ,則出；若dO - 3ap=玄，則喜8.化簡：也德“' =10.（內(nèi)蒙古鄂爾多斯市）如圖，在數(shù)軸上，A、B兩點之間表示整數(shù)的點有 個.A8-I1k用書三、解答題1 .求下列二次根式中字母 a的取值范圍:心+1 ,（2）2 .某工廠要制作一批體積為 1m3的產(chǎn)品包裝盒，其高為 0.2m,按設(shè)計需要，？底面應(yīng)做成正方形，試問底面邊長應(yīng)是多少？能力提升、選擇題1.使式子JU -52有意義的未知數(shù)乂有（）個A. 0C. 2D.無數(shù)2.（山西省臨汾市）若Jg6以十/=31以,則淳與3的大小關(guān)系是B.D. , 3.下列計算正確的是A.B.二5=5

13、D.4.（福建省廈門市）卜列四個結(jié)論中，正確的是35< < A.5 75 3一 匕七B.-()*22 C.D.二、填空題472 .若丁而 是一個正整數(shù)，則正整數(shù) m的最小值是3 .已知實數(shù)即s在數(shù)軸上的對應(yīng)點如圖所示，則Jg引一-二三、解答題1.當x是多少時,g+3+ +X2在實數(shù)范圍內(nèi)有意義?2.若萬凄+五二5有意義,a 5| + Ay + 4 0十八來(工 +¥)1Vl/古3.（北京市海淀區(qū)）已知實數(shù)x, y滿足I ”,求代數(shù)式 ''的值.4.已知國三十歷,求x+y的值.綜合探究那么第1 .（福建省南安市）觀察分析下列數(shù)據(jù)，尋找規(guī)律： 0, ，灰，3,

14、 2色，4,3金, 10個數(shù)據(jù)應(yīng)是.2 .（江蘇省蘇州市）等式WT=必+J）"+（）中的括號應(yīng)填入.3 .先化簡再求值：當 a=9時，求a+Jl-2& +，的值，甲乙兩人的解答如下：甲的解答為：原式=a+J=a =a+（1-a）=1 ;乙的解答為：原式 =a+J。-=a+（a-1）=2a-1=17 .兩種解答中， 的解答是錯誤的，錯誤的原因是 .4 .若一3 W k三2時，試化簡I工_:I +1十 - -10戈+ 2:| .5 .在實數(shù)范圍內(nèi)分解下列因式 / -2 ；（2）- - 9.答案與解析 基礎(chǔ)達標、1.D2.B3.D4.C5.A6.Ba > 二、1.162.-3

15、.-0.024一"5.2-x6.<0r>-7.二8.39. 2 ;(2)6 ; (3)-610.41.解：(1)由 a+1 > 0 ,得 a > -1字母a的取值范圍是大于或等于-1的實數(shù)。（2） 1 2口 >0,得 l-2a >0,即 av 之1字母a的取值范圍是小于2的實數(shù)。（3）因為無論a取何值，都有1-3） 30 ,所以a取值范圍是全體實數(shù)。2.解：設(shè)底面邊長為 x,則0.2x 2=1，解答：x=能力提升一、1.B2.B3.B4.D二、1. - -2.53.b二、IT1.解：依題意得：I"。，3，2h+3.當x>- 2且xW0時， 戈+x2在實數(shù)范圍內(nèi)有意義.2 .解：'J3>（）, 右二百之0 ,且43-k + Jk-3有意義43 - x = 0,- 3 = 0, x = 33 .解：中-5隹0,歷八。且Il）斗爐”0二1 工-5|二a 心十4二0 .r-5 = O7 y = 0 二兀=% y = Y（什 y） =14 .解：丫爐石之0,再港0且舊1+產(chǎn)/0,+3 = 0,= 0二