窗函數(shù)法設(shè)計線性相位FIR數(shù)字濾波器

1、廣州大學物理與電子工程學院廣州大學物理與電子工程學院第五章 FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計5.2 5.2 窗函數(shù)法設(shè)計線性相位窗函數(shù)法設(shè)計線性相位FIRFIR數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器主要內(nèi)容主要內(nèi)容重點與難點重點與難點重點重點1、難點難點1、問題：問題： 理想濾波器的頻率響應(yīng)理想濾波器的頻率響應(yīng)Hd (ejW W )已知，如何設(shè)計一已知，如何設(shè)計一物理可實現(xiàn)的濾波器，使其頻響特性逼近物理可實現(xiàn)的濾波器，使其頻響特性逼近Hd (ejW W )? jjjddd1 (e)(e)ed2kh kIDTFT HHWWWW hd k一般情況下是無限長非因果序列，一般情況下是無限長非因果序列，需對其進行需對其進行和和處理

2、。處理。(1) 將將hdk 關(guān)于關(guān)于k =0對稱對稱截短，即截短，即hk= hdk, L k L(2) 若若 hk非因果系統(tǒng)，可將其非因果系統(tǒng)，可將其右移右移使其成為因果系統(tǒng)使其成為因果系統(tǒng)hk= hdk L， 0 0 k 2L只能設(shè)計只能設(shè)計I型或型或III型線性相位型線性相位FIR濾波器濾波器(1) 由下式計算由下式計算hd k：(2) 計算出計算出hdk后，取其在后，取其在0 k M范圍的值：范圍的值：hk= hdk， 0 0 k M可設(shè)計四種類型的線性相位可設(shè)計四種類型的線性相位FIR濾波器濾波器jjdd1 (e)ed2kh kHWWWj(-0.5M)jd1( )eed2kAWWWW2

3、d12d02d1khkhkhkhMkMkkWWWd)e ()e (212jjd2HH22khkhdk結(jié)論：結(jié)論：上述方法所設(shè)計的濾波器是在上述方法所設(shè)計的濾波器是在積分平方積分平方 誤差誤差最小意義下的最佳濾波器。最小意義下的最佳濾波器。 1221 ddkk Mh kh k1根據(jù)要求確定線性相位根據(jù)要求確定線性相位FIR濾波器的濾波器的類型類型2確定理想濾波器的確定理想濾波器的幅度幅度函數(shù)函數(shù)Ad(W W)和和相位相位函數(shù)函數(shù)f fd(W W) 3按照下式計算按照下式計算IDTFT得得hdkWWWWfdee )(21j)(jdddkAkh4截短截短hdk得：得：hk= hdk， 0 0 k M

4、f fd(W W)= 0.5MW W + 設(shè)計一個幅度響應(yīng)能逼近理想設(shè)計一個幅度響應(yīng)能逼近理想帶通帶通濾波器的線濾波器的線性相位性相位FIR濾波器。濾波器。 (1) 確定線性相位確定線性相位FIR濾波器類型：可選用濾波器類型：可選用I型或型或II型型(2) 確定理想濾波器的幅度函數(shù)確定理想濾波器的幅度函數(shù)Ad(W W)：其他 0 1)(2c1cdWWWWAf fd(W W)= 0.5MW W (3) 確定理想濾波器的相位確定理想濾波器的相位f fd(W W)：設(shè)計一個幅度響應(yīng)能逼近理想設(shè)計一個幅度響應(yīng)能逼近理想帶通帶通濾波器的線濾波器的線性相位性相位FIR濾波器。濾波器。WWWWfdee )(

5、21j)(jdddkAkh(4) 計算計算IDTFT得得hdkWWWWWWWWde21de21)5 . 0(j)5 . 0(jc21c1c2cMkMk)5 . 0(Sa)5 . 0(Sac11cc22cMkMkWWWW(5) 截斷截斷hdkdkwkhkhN長度為長度為N=M+1的矩形窗的矩形窗設(shè)計一個幅度響應(yīng)能逼近理想設(shè)計一個幅度響應(yīng)能逼近理想帶通帶通濾波器的線濾波器的線性相位性相位FIR濾波器。濾波器。khk00A(W)W0.30.7單位脈沖響應(yīng)單位脈沖響應(yīng) 幅度函數(shù)幅度函數(shù) 取取W Wc1=0.3 ，W Wc2=0.7 ，M M 3030時，有：時，有： 0514030

6、21100M=14M=30矩形窗矩形窗設(shè)計的設(shè)計的FIR低通低通濾波器在不同階數(shù)時的幅度函數(shù)濾波器在不同階數(shù)時的幅度函數(shù)(W Wc= /2) 所設(shè)計濾波器的幅度函數(shù)在通帶和阻帶都呈現(xiàn)出振蕩現(xiàn)象，所設(shè)計濾波器的幅度函數(shù)在通帶和阻帶都呈現(xiàn)出振蕩現(xiàn)象，且最大波紋大約為幅度的且最大波紋大約為幅度的9%9%，這個現(xiàn)象稱為，這個現(xiàn)象稱為Gibbs 現(xiàn)象。現(xiàn)象。 WWd)e()e(21)e()( jjdjNWHH由于所設(shè)計濾波器的單位脈沖響應(yīng)由于所設(shè)計濾波器的單位脈沖響應(yīng)dkwkhkhNN=M+1利用利用DTFT的性質(zhì)可得所設(shè)計的性質(zhì)可得所設(shè)計FIR濾波器的頻率響應(yīng)濾波器的頻率響應(yīng) H(ejW W)逼近逼近

7、Hd(ejW W)的好壞，取決于窗函數(shù)的頻譜的好壞，取決于窗函數(shù)的頻譜WN(ejW W) 窗函數(shù)的頻譜窗函數(shù)的頻譜)2/sin()2/sin(e)e (2/ )1(jjWWWWNWN2NN04NW3N)(WW矩形窗的幅度矩形窗的幅度函數(shù)函數(shù)W(W W)1. W(W W)的主瓣寬度：的主瓣寬度： 4 /N2. 旁瓣相對衰減為常數(shù)：旁瓣相對衰減為常數(shù)：3()20lg(0)WNAW =13dBjd(e)( )( )NHDTFT h k wkW-j/2-j()/2d1( )e()ed2MMAWWW-j/2d1e( )()d2MAWWWj-j/2dd(e)( )eMHAWWWj-j/2(e)( )eMN

8、WWWWWjj()d1(e )(e)d2NHWWjjd1(e)(e)2NHWWWd1( )( )()d2AAWW WFIR濾波器的幅度函數(shù)：濾波器的幅度函數(shù)：102/cN W W 、當時：H(ejW W)主要由主瓣的面積確定。主要由主瓣的面積確定。H(ejW W)的波動由旁瓣引起。的波動由旁瓣引起。22/cNW W 、當時：d1( )( )()d2AAWW WFIR濾波器的幅度函數(shù)：濾波器的幅度函數(shù)：3cW W、當時：H(ejW W)逐漸減小，形成逐漸減小，形成了濾波器的過渡帶。了濾波器的過渡帶。 FIR濾波器過渡帶的寬濾波器過渡帶的寬度和窗函數(shù)主瓣的寬度度和窗函數(shù)主瓣的寬度密切相關(guān)。密切相關(guān)

9、。 d1( )( )()d2AAWW WFIR濾波器的幅度函數(shù)：濾波器的幅度函數(shù)：42/cNW W 、當時：H(ejW W)完全由旁瓣的面完全由旁瓣的面積確定。積確定。 旁瓣的大小決定了旁瓣的大小決定了FIR濾波器在阻帶的衰減。濾波器在阻帶的衰減。 d1( )( )()d2AAWW WFIR濾波器的幅度函數(shù)：濾波器的幅度函數(shù)： 矩形窗截斷產(chǎn)生的波峰大約是矩形窗截斷產(chǎn)生的波峰大約是9%，故用矩形窗設(shè)，故用矩形窗設(shè)計出的濾波器阻帶最大衰減為：計出的濾波器阻帶最大衰減為： 20lg0.09 21dB d1( )( )()d2AAWW WFIR濾波器的幅度函數(shù)：濾波器的幅度函數(shù)：1. 窗函數(shù)的窗函數(shù)的

10、主瓣主瓣寬度決定了寬度決定了H(ejW W )過渡帶過渡帶(4(4/N)/N)的寬度的寬度, ,窗函數(shù)長度窗函數(shù)長度N增大，過渡帶減小。增大，過渡帶減小。2. 旁瓣旁瓣的大小決定了的大小決定了FIR濾波器在濾波器在阻帶阻帶的衰減。的衰減。用矩形窗設(shè)計出的濾波器阻帶最大衰減為：用矩形窗設(shè)計出的濾波器阻帶最大衰減為： 20lg(9%) 21dB其他 001MkkwAp = 20lg(1 d dp) 0.82dB, As = 20lg(d ds ) 21dBd dp=d ds=0.094/N|()|jH e0.50.5cos(2 /)0 0 k MkMw k其他Ap =-20lg(1-dp) 0.0

11、56dB, As=-20lg(ds ) 44dBd dp=d ds =0.00640.540.46cos(2 /)0 0 k MkMw k其他Ap 0.019dB, As 53dBd dp=d ds =0.0022N0.420.5cos(2 /)0.08cos(4 /)0 0 k Mk MkMw k其他Ap 0.0017dB，As 74dBd dp=d ds =0.0002N此處此處 N N 為窗的長度。為窗的長度。dkwkhkhN用非矩形窗設(shè)計截頻為用非矩形窗設(shè)計截頻為W Wc =0.5 的線性相位理想的線性相位理想低低通通濾波器，并將設(shè)計結(jié)果與利用矩形窗設(shè)計結(jié)果比較。濾波器，并將設(shè)計結(jié)果與

12、利用矩形窗設(shè)計結(jié)果比較。(1) 確定線性相位確定線性相位FIR濾波器類型：可選用濾波器類型：可選用I型或型或II型型其他01)(cjdeAWWWf fd(W W)= 0.5MW W(2) 確定理想濾波器的幅度函數(shù)確定理想濾波器的幅度函數(shù)Ad(W W)和相位和相位f fd(W W)(3) 計算計算IDTFT得得hdk)5 . 0(SaccdMkkhWW(4) 截斷截斷hdk可以是漢寧可以是漢寧窗、哈明窗或窗、哈明窗或BlackmanBlackman窗窗用非矩形窗設(shè)計截頻為用非矩形窗設(shè)計截頻為W Wc =0.5 的線性相位理想的線性相位理想低低通通濾波器，并將設(shè)計結(jié)果與利用矩形窗設(shè)計結(jié)果比較。濾波

13、器，并將設(shè)計結(jié)果與利用矩形窗設(shè)計結(jié)果比較。051-80-60-52-200Square Hamming用非矩形窗設(shè)計截頻為用非矩形窗設(shè)計截頻為W Wc =0.5 的線性相位理想的線性相位理想低低通通濾波器，并將設(shè)計結(jié)果與利用矩形窗設(shè)計結(jié)果比較。濾波器，并將設(shè)計結(jié)果與利用矩形窗設(shè)計結(jié)果比較。051-100-75-60-40-200Square Blackman用非矩形窗設(shè)計截頻為用非矩形窗設(shè)計截頻為W Wc =0.5 的線性相位理想的線性相位理想低低通通濾波器，并將設(shè)計結(jié)果與利用矩形窗設(shè)計結(jié)果比較。濾波器，并將設(shè)計結(jié)果與利用矩形窗設(shè)計結(jié)果比較。200(1

14、1 2 / ) , 0( )Ik Mw kkMI 是一可調(diào)參數(shù)，調(diào)節(jié)窗函數(shù)的形狀。是一可調(diào)參數(shù)，調(diào)節(jié)窗函數(shù)的形狀。I0 0( (x ): ): 零階第一類修正貝塞爾函數(shù)。零階第一類修正貝塞爾函數(shù)。I0 0( (x ) )可用冪級數(shù)表示為：可用冪級數(shù)表示為：210!)2/(1)( nxxInn一般求一般求20項項就能達到所需精度。就能達到所需精度。0246810121416182000.51 =00246810121416182000.51 =10246810121416182000.51 =3其中，其中，A= 20lg (mind dp，d ds )21 ,285. 295. 7spAAMWW

15、21 , 05021 ),21(07886. 0)21(5842. 050 ),7 . 8(1102. 04 . 0AAAAAA 表示需設(shè)計的表示需設(shè)計的FIR濾波器的頻帶。濾波器的頻帶。 B個元素的向量個元素的向量, 表示表示FIR濾波器在濾波器在B個頻帶中的個頻帶中的 幅度值。一般對通帶取值為幅度值。一般對通帶取值為1，阻帶取值為，阻帶取值為0。 B個元素的向量個元素的向量, 表示表示FIR濾波器在濾波器在B個頻帶中個頻帶中 的波動值。的波動值。返回參數(shù)返回參數(shù)及及，分別表示，分別表示FIR濾波器階數(shù)濾波器階數(shù)M及及Kaiser窗的參數(shù)窗的參數(shù) 。返回參數(shù)返回參數(shù)和和是函數(shù)是函數(shù)fir1的

16、調(diào)用參數(shù)。的調(diào)用參數(shù)。表示濾波器的階數(shù)。表示濾波器的階數(shù)。表示理想表示理想FIR濾波器的濾波器的B個頻帶。個頻帶。表示濾波器的類型，缺省值為空。表示濾波器的類型，缺省值為空。是一長度為是一長度為N+1的向量的向量, 默認為默認為Hamming窗。窗。用用Kaiser窗設(shè)計滿足下列指標的窗設(shè)計滿足下列指標的I型線性相位型線性相位FIR低低通濾波器。通濾波器。W Wp=0.3, W Ws=0.5 ，Ap=0.1dB, As=40dB。(1) 由給定指標確定待逼近理想低通的截頻由給定指標確定待逼近理想低通的截頻W Wc 由于理想低通濾波器的由于理想低通濾波器的|H(ejW W)|在截頻在截頻W Wc

17、處收斂于處收斂于0.5，因此，因此常將常將截頻截頻W Wc取在過渡帶的中點取在過渡帶的中點W Wc =(W Wp + W Ws )/2=0.4 (2) 由給定指標確定由給定指標確定Kaiser窗的參數(shù)窗的參數(shù)N和和 0114. 0101p05. 0pAd01. 010s05. 0sAdA= 20lg(mind dp，d ds )=As=40dB3 .22285. 295. 7spWWAMI型線性相位濾波器階數(shù)必須是偶數(shù)，取型線性相位濾波器階數(shù)必須是偶數(shù)，取M=243953. 3)21(07886. 0)21(5842. 04 . 0AA用用Kaiser窗設(shè)計滿足下列指標的窗設(shè)計滿足下列指標的I

18、型線性相位型線性相位FIR低低通濾波器。通濾波器。W Wp=0.3, W Ws=0.5 ，Ap=0.1dB, As=40dB。(3) 設(shè)計截頻設(shè)計截頻W Wc =0.4 的的I I型型線性相位線性相位FIR低通濾波器低通濾波器其他01)(cdWWWjeA)5 . 0(SaccMk WWf fd(W W)= 0.5MW WWWWWfdee )(21j)(jdddkAkh()d2525 0.4Sa 0.4(12) h kh k wkkwk用用Kaiser窗設(shè)計滿足下列指標的窗設(shè)計滿足下列指標的I型線性相位型線性相位FIR低低通濾波器。通濾波器。W Wp=0.3, W Ws=0.5 ，Ap=0.1d

19、B, As=40dB。單位脈沖響應(yīng)單位脈沖響應(yīng)設(shè)計結(jié)果設(shè)計結(jié)果增益響應(yīng)增益響應(yīng) G(W W)= 20lg |H(ejW W)|用用Kaiser窗設(shè)計滿足下列指標的窗設(shè)計滿足下列指標的I型線性相位型線性相位FIR低低通濾波器。通濾波器。W Wp=0.3, W Ws=0.5 ，Ap=0.1dB, As=40dB。設(shè)計一滿足下列指標的線性相位設(shè)計一滿足下列指標的線性相位 FIR高通高通濾波器。濾波器。W Wp=0.67, W Ws=0.53 ，Ap=0.3dB, As=50dB。由由As確定截斷所用窗函數(shù)確定截斷所用窗函數(shù):Hamming窗或窗或Kaiser窗窗1) 由由過渡帶過渡帶寬度確定濾波器長

20、度寬度確定濾波器長度Nps750NW W可選可選I型型濾波器，取濾波器，取N=51；或選；或選IV型濾波器，取型濾波器，取N=502) 由給定指標確定待逼近理想高通的截頻由給定指標確定待逼近理想高通的截頻W Wc=0.62/ )(spcWWW一、采用一、采用Hamming窗截斷，設(shè)計過程如下窗截斷，設(shè)計過程如下3) 確定線性相位確定線性相位FIR濾波器類型：濾波器類型：ps7NW W 4) 設(shè)計截頻設(shè)計截頻W Wc =0.6 的的線性相位線性相位FIR高通濾波器高通濾波器由由As確定截斷所用窗函數(shù)確定截斷所用窗函數(shù):Hamming窗或窗或Kaiser窗窗一、采用一、采用Hamming窗截斷，設(shè)

21、計過程如下窗截斷，設(shè)計過程如下采用采用I型線性相位濾波器，型線性相位濾波器，N=51，M=50其他 021)e(ccjdWWWWAfd(W)= 0.5MW設(shè)計一滿足下列指標的線性相位設(shè)計一滿足下列指標的線性相位 FIR高通濾波器。高通濾波器。W Wp=0.67, W Ws=0.53 ，Ap=0.3dB, As=50dB。4) 設(shè)計截頻設(shè)計截頻W Wc =0.6 的的線性相位線性相位FIR高通濾波器高通濾波器由由As確定截斷所用窗函數(shù)確定截斷所用窗函數(shù):Hamming窗或窗或Kaiser窗窗一、采用一、采用Hamming窗截斷，設(shè)計過程如下窗截斷，設(shè)計過程如下采用采用I型線性相位濾波器，型線性相

22、位濾波器，N=51，M=50WWWWfdee )(21j)(jd2ddkAkhWWWWWdee21j5 . 0j2cckM)5 . 0(Sa5 . 0ccMkMkWWd截斷，得截斷，得I型線性相位型線性相位FIR高通濾波器的單位脈沖響應(yīng)高通濾波器的單位脈沖響應(yīng)hk=hdkw51k設(shè)計一滿足下列指標的線性相位設(shè)計一滿足下列指標的線性相位 FIR高通濾波器。高通濾波器。W Wp=0.67, W Ws=0.53 ，Ap=0.3dB, As=50dB。4) 設(shè)計截頻設(shè)計截頻W Wc =0.6 的的線性相位線性相位FIR高通濾波器高通濾波器由由As確定截斷所用窗函數(shù)確定截斷所用窗函數(shù):Hamming窗或

23、窗或Kaiser窗窗一、采用一、采用Hamming窗截斷，設(shè)計過程如下窗截斷，設(shè)計過程如下采用采用IV型線性相位濾波器，型線性相位濾波器，N=50，M=49其他 021)e(ccjdWWWWAfd(W)= 0.5MW0.5設(shè)計一滿足下列指標的線性相位設(shè)計一滿足下列指標的線性相位 FIR高通濾波器。高通濾波器。W Wp=0.67, W Ws=0.53 ，Ap=0.3dB, As=50dB。4) 設(shè)計截頻設(shè)計截頻W Wc =0.6 的的線性相位線性相位FIR高通濾波器高通濾波器由由As確定截斷所用窗函數(shù)確定截斷所用窗函數(shù):Hamming窗或窗或Kaiser窗窗一、采用一、采用Hamming窗截斷，

24、設(shè)計過程如下窗截斷，設(shè)計過程如下采用采用IV型線性相位濾波器，型線性相位濾波器，N=50，M=49WWWWfdee )(21j)(jd2ddkAkhWWWWWdeje21j5 . 0j2cckM()5 .0()5 .0(coscMkMkW截斷，得截斷，得IV型線性相位型線性相位FIR高通濾波器的單位脈沖響應(yīng)高通濾波器的單位脈沖響應(yīng)hk=hdkw50k設(shè)計一滿足下列指標的線性相位設(shè)計一滿足下列指標的線性相位 FIR高通濾波器。高通濾波器。W Wp=0.67, W Ws=0.53 ，Ap=0.3dB, As=50dB。用用Hamming窗設(shè)計的窗設(shè)計的W Wc=0.6 FIR HP濾波器的幅度響應(yīng)

25、濾波器的幅度響應(yīng)0111080530Gain response of highpass FIR filterNormalized frequencyGain, dBtype I type IVI 型型 N=51 IV型型 N=50由由As確定截斷所用窗函數(shù)確定截斷所用窗函數(shù):Hamming窗或窗或Kaiser窗窗二、采用二、采用Hamming窗截斷，利用窗截斷，利用MATLAB實現(xiàn)實現(xiàn)%Program:利用利用hamming窗設(shè)計窗設(shè)計FIR高通濾波器高通濾波器%filter specificationWp=0.67*pi;Ws=0.53*pi;Ap=0.3;As=50;%d

26、etermine the length of the filter N=ceil(7*pi/(Wp-Ws);N=mod(N+1,2)+N;M=N-1;fprintf(N=%.0fn,N);%generate windoww=hamming(N);設(shè)計一滿足下列指標的線性相位設(shè)計一滿足下列指標的線性相位 FIR高通濾波器。高通濾波器。W Wp=0.67, W Ws=0.53 ，Ap=0.3dB, As=50dB。由由As確定截斷所用窗函數(shù)確定截斷所用窗函數(shù):Hamming窗或窗或Kaiser窗窗二、采用二、采用Hamming窗截斷，利用窗截斷，利用MATLAB實現(xiàn)實現(xiàn)%cutoff freque

27、ncy of ideal highpass filterWc=(Wp+Ws)/2;k=0:M;hd=-(Wc/pi)*sinc(Wc*(k-0.5*M)/pi);hd(0.5*M+1)=hd(0.5*M+1)+1;h=hd.*w;omega=linspace(0,pi,512);mag=freqz(h,1,omega);magdb=20*log10(abs(mag);plot(omega/pi,magdb);設(shè)計一滿足下列指標的線性相位設(shè)計一滿足下列指標的線性相位 FIR高通濾波器。高通濾波器。W Wp=0.67, W Ws=0.53 ，Ap=0.3dB, As=50dB。由由As確定截斷所用

28、窗函數(shù)確定截斷所用窗函數(shù):Hamming窗或窗或Kaiser窗窗三、采用三、采用Kaiser窗截斷，利用窗截斷，利用MATLAB實現(xiàn)實現(xiàn)%Program:利用利用Kaiser窗窗設(shè)計設(shè)計FIR高通濾波器高通濾波器Ap=0.3;As=50;Rp=1-10.(-0.05*Ap);Rs=10.(-0.05*As);f=0.53,0.67;a=0,1;dev=Rp,Rs;M,Wc,beta,ftype = kaiserord(f,a,dev);%使濾波器為使濾波器為I型型M=mod(M,2)+M;h = fir1(M,Wc,ftype,kaiser(M+1,beta)omega=linspace(0,pi,51