D1_6極限存在準則(E)

1、二、二、 兩個重要極限兩個重要極限 一、函數(shù)極限與數(shù)列極限的關系一、函數(shù)極限與數(shù)列極限的關系 及夾逼準則及夾逼準則第六節(jié)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 極限存在準則及兩個重要極限 第一章 三、三、 連續(xù)復利連續(xù)復利 一、一、 函數(shù)極限與數(shù)列極限的關系及夾逼準則函數(shù)極限與數(shù)列極限的關系及夾逼準則1. 函數(shù)極限與數(shù)列極限的關系函數(shù)極限與數(shù)列極限的關系定理定理1. Axfxx)(lim0:nx,0 xxn有定義,),(0nxxnAxfnn)(lim為確定起見 , 僅討論的情形.0 xx 有)(nxfxnx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 說明：此定理對于lim( )f x 仍成立。定理定理1.

2、Axfxx)(lim0 :nx)(,0nnxfxx 有定義, )(0nxxn且設,)(lim0Axfxx即,0,0當,00時xx有.)( Axf:nx)(,0nnxfxx 有定義 , 且, )(0nxxn對上述 ,Nn 時, 有,00 xxn于是當Nn 時.)( Axfn故Axfnn)(lim可用反證法證明. (略).)(limAxfnn有證：證：當 xyA,N“ ”“ ”0 x機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 定理定理1.Axfxx)(lim0 :nx)(,0nnxfxx 有定義, )(0nxxn且.)(limAxfnn有說明說明: 此定理常用于判斷函數(shù)極限不存在 .法法1 找一個數(shù)列:n

3、x,0 xxn, )(0nxxn且不存在 .)(limnnxf使法法2 找兩個趨于0 x的不同數(shù)列nx及,nx使)(limnnxf)(limnnxf)(x)(nx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 定理定理1.Axfxx)(lim0 :nx)(,0nnxfxx 有定義, )(0nxxn且.)(limAxfnn有說明說明: 此定理也可用來通過求函數(shù)的極限來求數(shù)列的極限)(x)(nx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 比如要求數(shù)列的極限,),(lim0 xxxfnnn如果極限Axfxx)(lim0存在,則)(lim)(lim0 xfxfxxnn例例1. 證明xx1sinlim0不存在 .證證: 取

4、兩個趨于 0 的數(shù)列nxn21及221nxn有nnx1sinlimnnx1sinlim由定理 1 知xx1sinlim0不存在 .),2, 1(n02sinlimnn1)2sin(lim2nn機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 2. 函數(shù)極限存在的夾逼準則函數(shù)極限存在的夾逼準則定理定理2.,),(0時當xxAxhxgxxxx)(lim)(lim00, )()(xhxg)(xfAxfxx)(lim0)0( Xx)(x)(x)(x且( 利用定理1及數(shù)列的夾逼準則或直接由極限的定義可證得)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 說明：此定理對于其它自變量變化過程仍成立,但條件要根據(jù)自變量的變化過程進行相

5、應的修改.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 *例例2. 求10lim .xxx解解: 注意到當注意到當 0 x 時,1111xxx從而,當0 x 時,111xxx由夾逼準則,10lim 1.xxx另外,當0 x 時,11 1xxx同樣由夾逼準則,10lim 1.xxx可見,10lim 1xxx1sincosxxx圓扇形AOB的面積二、二、 兩個重要極限兩個重要極限 1sinlim. 10 xxx證證: 當即xsin21x21xtan21亦即)0(tansin2xxxx),0(2x時，)0(2 x, 1coslim0 xx1sinlim0 xxx顯然有AOB 的面積AOD的面積DCBAx1ox

6、xxcos1sin1故有注 目錄 上頁 下頁 返回 結束 當20 x時xxcos1cos102sin22x222x22x0)cos1(lim0 xx注注例例3. 求.tanlim0 xxx解解: xxxtanlim0 xxxxcos1sinlim0 xxxsinlim0 xxcos1lim01例例4. 求.arcsinlim0 xxx解解: 令,arcsinxt 則,sintx 因此原式tttsinlim0 1lim0tttsin1機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 nnnRcossinlim2Rn例例5. 求.cos1lim20 xxx解解: 原式 =2220sin2limxxx212121

7、例例6. 已知圓內(nèi)接正 n 邊形面積為證明: .lim2RAnn證證: nnAlimnnnnRnAcossin22R說明說明: 計算中注意利用1)()(sinlim0)(xxx20sinlimx2x2x21機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 2.exxx)1(lim1證證: 當0 x時, 設, 1nxn則xx)1 (111)1 (nnnn)1 (11nnn)1 (lim11 limn111)1 (nn111ne11)1 (limnnn1)1(lim11）（nnnneexxx)1(lim1機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 當x, ) 1( tx則,t從而有xxx)1 (lim1) 1(11)1

8、 (limttt) 1(1)(limtttt11)1 (limttt)1 ()1(lim11tttte故exxx)1 (lim1說明說明: 此極限也可寫為ezzz1)1 (lim0時, 令機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例7. 求.)1 (lim1xxx解解: 令,xt則xxx)1 (lim1ttt )1 (lim1 1limttt)1 (1e1說明說明 ：若利用,)1 (lim)()(1)(exxx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 則 原式111)1 (limexxx例例8. 求32lim(1).xxx解解: 原式 =2662lim(1) xxxe機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束

9、例例9. 求0ln(1)lim.xxx解解: 原式 =10limln(1)ln1xxxe例例10. 求01lim.xxex解解: 令1,xte則, )1ln(tx原式)1ln(lim0ttt1例例11. 求.)23(lim2xxxx解解: 原式 =222)211(limxxxxx22lim2)211 (limxxxxxx2e機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例12. 求2tanlim(1 3cot ).xxx解解: 原式 =2133cotlim(1 3cot )xxx3e機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 的不同數(shù)列內(nèi)容小結內(nèi)容小結1. 函數(shù)極限與數(shù)列極限關系的應用(1) 利用數(shù)列極限判別函數(shù)極限不存在 (2) 數(shù)列極限存在的夾逼準則法法1 找一個數(shù)列:nx,0 xxn)(0nxxn且使)(limnnxf法法2 找兩個趨于0 xnx及 ,nx使)(limnnxf)(limnnxf不存在 .函數(shù)極限存在的夾逼準則機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 2. 兩個重要極限1sinlim) 1 (0e)11(lim)2(或e1)1(lim0注注: 代表相同的表達式機動 目錄 上頁 下頁