2011年中考數(shù)學一輪復習第13講反比例函數(shù)

1、第十三講 反比例函數(shù)知識梳理知識點l. 反比例函數(shù)的概念重點：掌握反比例函數(shù)的概念難點：理解反比例函數(shù)的概念一般地，如果兩個變量x、y之間的關系可以表示成或y=kx-1（k為常數(shù)，）的形式，那么稱y是x的反比例函數(shù)。反比例函數(shù)的概念需注意以下幾點：（1）k是常數(shù)，且k不為零；（2）中分母x的指數(shù)為1，如，就不是反比例函數(shù)。（3）自變量x的取值范圍是的一切實數(shù).（4）自變量y的取值范圍是的一切實數(shù)。例1、如果函數(shù)為反比例函數(shù)，則的值是 （ ）A 、 B、 C 、 D、解題思路：由反比例函數(shù)的定義可知=-1，解得m=±1,但須考慮0，則m=-1解答：A練習 當n取什么值時，y（n2+2n

2、）x是反比例函數(shù)?答案：當n-1時，知識點2. 反比例函數(shù)的圖象及性質重點：掌握反比例函數(shù)的圖象及性質難點：反比例函數(shù)的圖象及性質的運用反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，它有兩個分支，這兩個分支分別位于第一、三象限或第二、四象限。它們關于原點對稱、反比例函數(shù)的圖象與x軸、y軸都沒有交點，即雙曲線的兩個分支無限接近坐標軸，但永遠不與坐標軸相交。畫反比例函數(shù)的圖象時要注意的問題：（1）畫反比例函數(shù)圖象的方法是描點法；（2）畫反比例函數(shù)圖象要注意自變量的取值范圍是，因此不能把兩個分支連接起來。（3）由于在反比例函數(shù)中，x和y的值都不能為0，所以畫出的雙曲線的兩個分支要分別體現(xiàn)出無限的接近坐標軸，但永遠不能達

3、到x軸和y軸的變化趨勢。反比例函數(shù)的性質:的變形形式為（常數(shù)）所以：（1）其圖象的位置是：當時，x、y同號，圖象在第一、三象限；當時，x、y異號，圖象在第二、四象限。（2）若點(m,n)在反比例函數(shù)的圖象上，則點（-m,-n）也在此圖象上，故反比例函數(shù)的圖象關于原點對稱。（3）當時，在每個象限內，y隨x的增大而減小；當時，在每個象限內，y隨x的增大而增大；例1如圖，函數(shù)y與y-kx+1（k0）在同一坐標系內的圖像大致為（）解題思路：本題考查反比例函數(shù)圖像與性質的應用，因為一次函數(shù)y-kx+1與y軸的交點為（0，1），所以結論B和C都要可以排除.A中直線y-kx+1經過第一、二、四象限，-k0，

4、則k0，而k0時，雙曲線y兩分支各在第一、三象限，所以結論A可以排除.故選D.例2當n取什么值時，y（n2+2n）x是反比例函數(shù)?它的圖像在第幾象限內?在每個象限內，y隨x的增大而增大或是減小?解題思路：本題考察反比例函數(shù)的定義與性質，根據(jù)反比例函數(shù)的定義y=（k0）可知，要本題是反比例函數(shù)，必須且只須n2+2n0且n2+n-1=-1.解：y（n2+2n）x是反比例函數(shù)，則n2+2n0，n2+n-1-1n0且n-2，n0或n-1.故當n-1時，y（n2+2n）x是反比例函數(shù)y-.k-10，雙曲線兩支分別在二、四象限內，并且y隨x的增大則增大. 練習1.已知點A（）、B（）是反比例函數(shù)（）圖象上

5、的兩點，若，則有（）A B C D2.矩形面積為4，它的長與寬之間的函數(shù)關系用圖象大致可表示為（ ）答案：1.A 2.B知識點3. 反比例函數(shù)解析式的確定。重點：掌握反比例函數(shù)解析式的確定難點：由條件來確定反比例函數(shù)解析式（1）反比例函數(shù)關系式的確定方法：待定系數(shù)法，由于在反比例函數(shù)關系式中，只有一個待定系數(shù)k，確定了k的值，也就確定了反比例函數(shù)，因此只需給出一組x、y的對應值或圖象上點的坐標，代入中即可求出k的值，從而確定反比例函數(shù)的關系式。（2）用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)關系式的一般步驟是：設所求的反比例函數(shù)為：（）；根據(jù)已知條件，列出含k的方程；解出待定系數(shù)k的值；把k值代入函數(shù)關系式中。

6、例反比例函數(shù)的圖象經過A（1，-2），求反比例函數(shù)的關系式解題思路：設反比例函數(shù)的關系式為，把點A（1，-2）代入可得k=-2則所求反比例函數(shù)的關系式為練習已知點是反比例函數(shù)圖象上的一點，則此反比例函數(shù)圖象的解析式是_答案：知識點4. 用反比例函數(shù)解決實際問題反比例函數(shù)的應用須注意以下幾點：反比例函數(shù)在現(xiàn)實世界中普遍存在，在應用反比例函數(shù)知識解決實際問題時，要注意將實際問題轉化為數(shù)學問題。針對一系列相關數(shù)據(jù)探究函數(shù)自變量與因變量近似滿足的函數(shù)關系。列出函數(shù)關系式后，要注意自變量的取值范圍。例 某商場出售一批進價為2元的賀卡，在市場營銷中發(fā)現(xiàn)此商品的日銷售單價x元與日銷售量y之間有如下關系： x

7、（元）3456y（元）20151210（1） 根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，在平面直角坐標系中描出實數(shù)對（x，y）的對應點；（2） 猜測并確定y與x之間的函數(shù)關系式，并畫出圖象； （3）設經營此卡的銷售利潤為w元，試求出w與x之間的函數(shù)關系式，若物價局規(guī)定此卡的售價最高不超過10元/個，請求出當日銷售單價定為多少元時，才能獲得最大銷售利潤？ 解題思路：（1）注意兩個變量之間的關系。（2）觀察數(shù)據(jù)特點xy=60,可知y與x之間的反比例函數(shù)關系；（3）注意銷售利潤=（銷售單價-進價）×銷售數(shù)量即：w=(x-2) y= (x-2) 則 y=60- 由于x10當x=10時y最大. 練習某氣球內充滿了一定質

8、量的氣球,當溫度不變時,氣球內氣球的壓力p(千帕)是氣球的體積V(米2)的反比例函數(shù),其圖象如圖所示(千帕是一種壓強單位) （1）寫出這個函數(shù)的解析式；（2）當氣球的體積為0.8立方米時,氣球內的氣壓是多少千帕？（3）當氣球內的氣壓大于144千帕時,氣球將爆炸,為了安全起見,氣球的體積應不小于多少立方米？yxAOB答案：（1） （2）120 （3）知識點5.反比例函數(shù)綜合例 如圖，反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象交于，兩點（1）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)圖象回答：當取何值時，反比例函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值解題思路：(1)由在的圖象上，則k=3，反比例函數(shù)關系式為；由也在的圖象上

9、，則n=-3,所以B（-3，-1）。把B（-3，-1）代入 中，由待定系數(shù)法可求得m和b.（2）由圖象可知：當x=-3或1時反比例函數(shù)的值等于一次函數(shù)的值，再結合圖象回答。 解答：（1）在的圖象上，又在的圖象上，即解得：，反比例函數(shù)的解析式為，一次函數(shù)的解析式為， （2）從圖象上可知，當或時，反比例函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值例2反比例函數(shù)的圖象如圖所示，點M是該函數(shù)圖象上一點，MN垂直于x軸，垂足是點N，如果SMON2，求k的值. 分析：設M（x,y）又根據(jù)MON的面積與點M的關系可得：SMON=所以k=±4,又函數(shù)圖象在第二、四象限，則k=-4 練習1如圖，矩形AOCB的兩邊OC，O

10、A分別位于x軸，y軸上，點B的坐標為B（，5），D是AB邊上的一點，將ADO沿直線OD翻折，使A點恰好落在對角線OB上的點E處，若點E在一反比例函數(shù)的圖像上，那么該函數(shù)的解析式是_ 2.兩個反比例函數(shù)y=和y=在第一象限內的圖像如圖3所示，點P在y=的圖像上，PCx軸于點C，交y=的圖像于點A，PDy軸于點D，交y=的圖像于點B，當點P在y=的圖像上運動時，以下結論： ODB與OCA的面積相等； 四邊形PAOB的面積不會發(fā)生變化； PA與PB始終相等 當點A是PC的中點時，點B一定是PD的中點其中一定正確的是_（把你認為正確結論的序號都填上，少填或錯填不給分）答案：1. 2最新考題綜觀2009

11、年全國各地的中考數(shù)學試卷，反比例函數(shù)的命題放在各個位置都有，突出考查學生的數(shù)形結合思想、學科內綜合、學科間綜合、實際應用題、新課程下出現(xiàn)的新題等方面，在考查學生的基礎知識和基本技能等基本的數(shù)學素養(yǎng)的同時，加強對學生數(shù)學能力的考查，突出數(shù)學的思維價值。函數(shù)題型富有時代特征和人文氣息，很好地踐行了新課程理念，“學生的數(shù)學學習內容應當是現(xiàn)實的，有意義的，富有挑戰(zhàn)性的?！?010年中考反比例函數(shù)復習策略：1  抓實雙基，掌握常見題型；2  重視函數(shù)的開放性試題；考查目標一.反比例函數(shù)的基本題例1 (09江蘇省淮安市)在函數(shù)中，自變量x的取值范圍是（ ）。A、x0 B、x2 C、x2

12、 D、x2解題思路：根據(jù)反比例函數(shù)y=(k0)，自變量的取值范圍,X-20,得x2。答案：D例2(09浙江臺州)反比例函數(shù)圖象上一個點的坐標是。解題思路：按照要求寫一對符合函數(shù)的有序實數(shù)。答案：略。點評：函數(shù)圖象的點與符合函數(shù)的有序實數(shù)對一一對應，這是一道結論開放的填空題，新穎、獨特，也讓學生感受數(shù)學的靈動性，感受數(shù)學的無限魅力。考查目標二. 反比例函數(shù)的圖象例1(08湖北省十堰市)根據(jù)物理學家波義耳1662年的研究結果：在溫度不變的情況下，氣球內氣體的壓強p(pa)與它的體積v(m3)的乘積是一個常數(shù)k，即pvk(k為常數(shù)，k0)，下列圖象能正確反映p與v之間函數(shù)關系的是（ ）。pvOpvO

13、pvOpvOABCDD      解題思路：(k>0)，如果不與實際相結合，圖象分布在一、三象限，但事實上，自變量的取值范圍應為y>0。答案：C。例2已知反比例函數(shù)的圖像上有兩點A(，)，B(，)，且，則的值是 （ ）A 、正數(shù) B、 負數(shù) C 、非正數(shù) D 、不能確定解題思路：k0,反比例函數(shù)圖象雙曲線兩個分支分別位于二、四象限，若A、B兩點都在第二或四象限（），由性質可知：0; 若A點在第二象限，B點在第四象限（），0，所以不能確定。解答：D考查目標三、反比例函數(shù)圖象的面積與k問題例1、反比例函數(shù)（k>0）在第一

14、象限內的圖象如圖1所示，P為該圖象上任一點，PQx軸，設POQ的面積為S，則S與k之間的關系是（ ） A B CS=k DS>k解題思路：設P（x,y）SPOQ=( k>0) 則 解：選B說明：由上述分析過程我們可以得出這樣的結論：從同一反比例圖象上一點P作X軸的垂線PQ所圍POQ面積，為例2(08山東濰坊)設P是函數(shù)在第一象限的圖像上任意一點，點P關于原點的對稱點為P，過P作PA平行于y軸，過P作PA平行于x軸，PA與PA交于A點，則的面積（ ）A等于2 B等于4C等于8 D隨P點的變化而變化解題思路：點P關于原點的對稱點為P，P與P的橫坐標與縱坐標都互為相反數(shù)，=，PA=答案：

15、8。考查目標四.利用圖象，比較大小例1(08泰安市)已知三點，都在反比例函數(shù)的圖象上，若，則下列式子正確的是（ ）A B CD解題思路： P3（1，-2）是一隱含條件，求出k，則根據(jù)反比例函數(shù)的圖象分布，可得出函數(shù)值的大小。答案：D考查目標五.反比例函數(shù)經常與一次函數(shù)、二次函數(shù)、圓等知識相聯(lián)系例1(四川省眉山市)如圖，A、B是反比例函數(shù)y的圖象上的兩點。AC、BD都垂直于x軸，垂足分別為C、D。AB的延長線交x軸于點E。若C、D的坐標分別為（1，0）、（4，0），則BDE的面積與ACE的面積的比值是（ ） A B D解題思路：A、B均在反比例函數(shù)圖象上，又都知道橫坐標，可求出點A、B的坐標分別

16、為（1，2）、（4，），求出過A、B的直線：，令y=0，得x=5；所以E點坐標（5，0），所以CE=4，DE=1，BDE與ACE相似，面積比等于相似比的平方。答：D。例2（09揚州）如圖，二次函數(shù)（m<4）的圖象與軸相交于點A、B兩點（1）求點A、B的坐標（可用含字母的代數(shù)式表示）；（2）如果這個二次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于點C，且BAC的余弦值為，求這個二次函數(shù)的解析式略解：（1），令，可解得；，A（-4，0），B（。（2）RTAOD中，COSBAC=，AO=4， AD=5，OD=3。求出過A、D的直線為：，由與求得C點坐標（2，），把（2，）代入二次函數(shù)求得，所以所求二次函

17、數(shù)解析式：。過關測試一、選擇題： 1、小華以每分鐘x字的速度書寫，y分鐘寫了300個字，則y與x的函數(shù)關系式為( )(A)x= (B) y= (C) x+y=300 (D) y=2、如果反比例函數(shù)的圖像經過點（3，4），那么函數(shù)的圖像應在（）A、第一、三象限 B、第一、二象限 C、第二、四象限 D、第三、四象限3、若反比例函數(shù)的圖像在第二、四象限，則的值是（ ）A、1或1 B、小于 的任意實數(shù) C、1 、不能確定4、下列函數(shù)中y隨x的增大而減小的是（ ）A、 B、 C、 D、 o5、正比例函數(shù)和反比例函數(shù)在同一坐標系內的圖象為（ ）xyyxoyxoyxoABCD6、在函數(shù)y=(k<0)的

18、圖像上有A(1,y)、B(1,y)、C(2,y)三個點，則下列各式中正確的是（ ） (A) y<y<y (B) y<y<y (C) y<y<y (D) y<y<yABOxy7、如右圖，A為反比例函數(shù)圖象上一點，AB垂直軸于B點，若SAOB3，則的值為（ ）A、6 B、3C、D、不能確定 8、在同一直角坐標平面內，如果直線與雙曲線沒有交點，那么和的關系一定是（ ）A、<0，>0 B、>0，<0C、同號D、異號9、若點（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3）都是反比例函數(shù)的圖象上的點，并且x10x2x3，則下列各式中正確

19、的是（）A、y1y2y3B、y2y3y1C、y3y2y1D、y1y3 y210、點A（a,b）、B（a1，c）均在函數(shù)的圖象上，若a0，則與的大小關系是（）A、 B、 C、11在反比例函數(shù)的圖象的每一條曲線上，的增大而增大，則的值可以是（ ）AB0C1D212一個直角三角形的兩直角邊長分別為，其面積為2，則與之間的關系用圖象表示大致為（ ） A B C DOOOO二、填空題：1、右圖是反比例函數(shù)的圖象，則k與0的大小關系是k 0；2、已知是的反比例函數(shù)，當=3時，=4，則當=2時=_；yxOPM3、反比例函數(shù)在第一象限內的圖象如圖，點M是圖像上一點，MP垂直軸于點P，如果MOP的面積為1，那么

20、的值是 ；4、已知-2與成反比例，當=3時，=1，則與間的函數(shù)關系式為 ；5、在體積為20的圓柱體中，底面積S關于高h的函數(shù)關系式是 ；6、對于函數(shù)，當時，y的取值范圍是_；當時且時，y的取值范圍是y _1，或y _。（提示：利用圖像解答）三、解答題1、如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于A、B兩點（1）根據(jù)圖象，分別寫出A、B的坐標；（2）求出兩函數(shù)解析式；（3）根據(jù)圖象回答：當為何值時，一次函數(shù)的函數(shù)值大于反比例函數(shù)的函數(shù)值2、如圖，RtABO的頂點A是雙曲線與直線在第二象限的交點，AB軸于B且SABO=（1）求這兩個函數(shù)的解析式；OyxBAC（2）A，C的坐標分別為（-，3）和（3，1）求AOC的面積。3、如圖，已知反比例函數(shù)y = 的圖象經過點A（1，- 3），一次函數(shù)y = kx + b的圖象經過點A與點C（0，- 4），且與