5.4Gauss型積分公式ppt課件

1、Gauss型積分公式型積分公式 Newton-Cotes積分公式，可以知道n為偶數(shù)時，n1個點數(shù)值積分公式有n1階精度。是否有更高的代數(shù)精度呢？n個點的數(shù)值積分公式，最高可以到多少代數(shù)精度？本節(jié)會解決這個問題。例：在兩點數(shù)值積分公式中，如果積分點也作為未知量，則有4個未知量 可以列出4個方程： （以f(x)在-1,1為例）1010,xxaa032021111133113001122112001111001110dxxxaxadxxxaxaxdxxaxadxaa可解出：31,31, 1, 11010 xxaa可以看出，數(shù)值積分公式)31()31(11fffdx具有3階代數(shù)精度，比梯形公式1階代數(shù)

2、精度高n個積分點的數(shù)值積分公式，最高個積分點的數(shù)值積分公式，最高2n1階階baiiniiinbadxxlaxfafIdxxffI)(, )()()()(0證明：取)()()()(210 xxxxxxxxpnn易知：0)(0)(xpIxpIn也就是說，數(shù)值積分公式，對一個2n+2階的多項式是有誤差的，所以，n1個點的數(shù)值積分公式不超過2n1階如何構造最高階精度的公式？定理一般性，考慮積分：0)(,)()()(xWdxxfxWfIba稱為權函數(shù)定義兩個可積函數(shù)的內(nèi)積為：badxxgxfxWgf)()()(),(兩個函數(shù)正交，就是指這兩個函數(shù)的內(nèi)積為0以n階正交多項式的n個零點為積分點的數(shù)值積分公式

3、有2n1階的代數(shù)精度Gauss點點Gauss積分，記為積分，記為Gn(f)證明：bannndxxWxxxxxffIfIfE)()(,)()()(21,21xxxxfn若f為2n1次多項式，那么為n1次多項式又，)(),(xpxnn僅差一個常數(shù)零點相同）0)(fE1)(nnPfp具有一個很好的性質(zhì)：nfIfGn),()(2)求出pn(x)的n個零點x1 , x2 , xn 即為Gsuss點. (1)求出區(qū)間a,b上權函數(shù)為W(x)的正交多項式pn(x) .(3)計算積分系數(shù) Gauss型求積公式的構造方法型求積公式的構造方法)()(),()(,()(00001xpxpxpxpxxxp)()(),

4、()(,()()(),()(,()(111120000222xpxpxpxpxxpxpxpxpxxxp5321141151121142xxdxxdxxdxxdxxx解解 按按 Schemite Schemite 正交化過程作出正交多項式正交化過程作出正交多項式: : 的2點Gauss公式.求積分dxxfx)(112例：0( )1px 故兩點Gauss公式為 積分系數(shù)為31)(11212211121dxxxxxxdxxlxA112212211211( )3xxAx lx dxxdxxx)()()(535331112ffdxxfxP2(x)的兩個零點為的兩個零點為 ,532531xx 區(qū)間-1,1

5、上權函數(shù)W(x)=1的Gauss型求積公式,稱為Gauss-Legendre求積公式,其Gauss點為Legendre多項式的零點. (1) Gauss-Legendre求積公式求積公式公式的Gauss點和求積系數(shù)可在數(shù)學用表中查到 .幾種幾種Gauss型求積公式型求積公式由因此,a,b上權函數(shù)W(x)=1的Gauss型求積公式為batabbaxdttabbafabdxxf)2)()()22(2)(11baniiixabbafAabdxxf1)22(2)(nxkAknxkAk10260.93246951420.66120938650.23861918610360761

6、57300.467913934620.5773502692130.774596669200.55555555560.888888888970.94910791230.74153118560.405845151400.12948496620.27970539150.38183005050.417959183740.86113631160.33998104360.34785484510.652145154980.96028985650.79666647740.5255324099010122853630.22238103450.31370664590.3626837834

7、50.90617984590.538469310100.23692688510.47862867050.5688888889例1積分公式計算應用兩點LegendreGuass 112cosxdxxI解：558608. 0)cos(cos22112xxGxdxxI121205773503057735031.,.;xxAA 查查表表有有2222111222220 57735030 57735030 57735030 57735030 558608(cos )coscos(.) cos(.)( .) cos( .).GxxA xxA xx 例2積分公式計算應用三點LegendreGuass 22co

8、s xdxI解：1222( )()nbiiaibaabbaf x dxA fx )774597. 02cos(555556. 00cos888889. 0)774597. 02cos(555556. 02cos22 xdxI001389. 21231230 77459700 7745970 5555560 8888890 555556.,.;.,.,.xxxAAA 查查表表有有 Gauss 公式的余項：公式的余項： bankkkxfAdxxffR0)()(/* 設設P為為f 的過的過x0 xn的插值多項式的插值多項式 */ bankkkxPAdxxf0)()(/*只要只要P 的階數(shù)不大于的階數(shù)

9、不大于2n+1，則下一步等式成立，則下一步等式成立*/dxxPxfdxxPdxxfbababa)()()()( 插值多項式的余項插值多項式的余項Q：什么樣的插值多項式在：什么樣的插值多項式在 x0 xn 上有上有 2n+1 階？階？A：Hermite 多項式！多項式！滿足滿足)()(),()(kkkkxfxHxfxH badxxHxffR)()(),(,)()!22()()()!22()(2)12(2)12(badxxwnfdxxwnfbanbaxn 區(qū)間0,)上權函數(shù)W(x)=e-x的Gauss型求積公式,稱為Gauss-Laguerre求積公式,其Gauss點為Laguerre多項式的零點

10、. (2) Gauss-Laguerre求積公式求積公式公式的Gauss點和求積系數(shù)可在數(shù)學用表中查到 .由所以,對0, +)上權函數(shù)W(x)=1的積分,也可以構造類似的Gauss-Laguerre求積公式:00)()(dxxfeedxxfxx01)()(niixixfeAdxxfinxkAknxkAk20.58588643763.41421356230.85355339050.146446609450.26356031971.41340305913.59642577107.085810005812.64080084420.52175561050.39866681100.07594244970

11、.00361175870.000023370030.41577455672.29428036026028994508290.71109300990.27851773350.010389256560.2228466041199273632605.77514356919.837467418315.98287398060.45896467930.41700083070.11337338200.01039919750.00026101720.000000898540.32254768961.74576110114.53662029699.39507091230.6031541

12、0430.35741869240.03888790850.0005392947 (3) Gauss-Hermite求積公式求積公式公式的Gauss點和求積系數(shù)可在數(shù)學用表中查到 .nxkAknxkAk20.70710678110.886226925460.43607741191.33584907042.35060497360.72462959520004530009931.224744871300.29540897511.816359000640.52464762321.65068012380.80491409000.081312835470.81628788281.67355162872.651961