流體力學(xué)第02章流體靜力學(xué)

1、流體靜力學(xué)的任務(wù)：流體靜力學(xué)的任務(wù)：是研究液體平衡的規(guī)律及其實 際應(yīng)用。 液體的平衡狀態(tài)有兩種液體的平衡狀態(tài)有兩種：一種是靜止?fàn)顟B(tài)； 另一種是相對平衡狀態(tài)（見第四節(jié)）。 注意：液體在平衡狀態(tài)下沒有質(zhì)點間的相對運動，不存在內(nèi)摩擦力，此時理想液體和實際液體一樣。第二章第二章 流體靜力學(xué)流體靜力學(xué)第一節(jié)第一節(jié) 靜止流體中的應(yīng)力特性靜止流體中的應(yīng)力特性 靜壓力：靜壓力：靜止（或處于相對平衡狀態(tài)）液體 作用在與之接觸的表面上的壓力稱為靜壓 力，常以字母P表示。 靜壓強(qiáng)：靜壓強(qiáng)： 取微小面積 ，令作用于 的靜壓力為 ，則 面上單位面積所受的平均靜壓力為 靜壓強(qiáng)定義為 靜壓力P的單位：牛頓（N）； 靜壓強(qiáng)p

2、的單位：牛頓米2（Nm2）， 又稱為“帕斯卡”（Pa）。 0limAPpA AAPAPpA二、靜壓強(qiáng)的特性二、靜壓強(qiáng)的特性 1靜壓強(qiáng)的方向與受壓面垂直并指向受壓面。(a)(b)xPyPzPnPzzyyxxzfyxFzfyxFzfyxF6161611cos( , )061cos( , )061cos( , )06xnxynxznzPPn xx y zfPPn xx y zfPPn zx y zf 16x y z 1cos( , )2xnAAn xy z 1cos( , )2ynAAn yz x 1cos( , )2znAAn zx y 0110lim()033pxnxxxxnVxnxnPPPPx

3、fxfppAAAA 103ynyynynPPyfppAA103nzzznznPPzfppAAnzyxpppp第二節(jié)第二節(jié) 流體的平衡微分方程流體的平衡微分方程一、微分方程一、微分方程 1表面力表面力 X方向：靜水壓力各為 及 。 2質(zhì)量力質(zhì)量力 X方向： 。 則X方向： 0 以 除上式各項并化簡后為： dydzdxxpp)2(dydzdxxpp)2(dxdydzfxdydzdxxpp)2(dydzdxxpp)2(dxdydzfxdxdydzxfxp 同理，對于Y、Z方向可推出類似結(jié)果，從而得到歐拉平衡微分方程組： （歐拉方程） 該式的物理意義為：該式的物理意義為：平衡液體中，靜水壓強(qiáng)沿某一方向

4、的變化率與該方向單位體積上的質(zhì)量力相等。 zyxfzpfypfxp 將歐拉平衡微分方程式各式分別乘以將歐拉平衡微分方程式各式分別乘以dx，dy，dz 然后相加得。 上式是不可壓縮均質(zhì)液體平衡微分方程式的另一種表達(dá)形式。 將歐拉方程前兩式分別對y和x取偏導(dǎo)數(shù) )(dzfdyfdxfdpdzxpdyypdxxpzyxxfyfxfyfxypyxyx)()(2zyxfzpfypfxp同理可得 zfxfyfzfxfyfxzzyyx由曲線積分定理定理知，滿足上式必然必然存在力勢函數(shù) 使：),zyxU（zUfyUfxUfzyx 定理：定理：力勢函數(shù)的全微分應(yīng)等于單位質(zhì)量力在空間移動距離所作的功： 故有 dU

5、dzdzUdyyUdxxUdp)(dzfdyfdxfdzzUdyyUdxxUdUzyx 二、積分方程二、積分方程 對 進(jìn)行積分可得 如果已知平衡液體邊界上（或液體內(nèi)）某點的壓強(qiáng)為 、力勢函數(shù)為U0，則 積分常數(shù) C 得 結(jié)論：結(jié)論：平衡液體中，邊界上的壓強(qiáng)將等值地傳遞到液體內(nèi)的一切點上；即當(dāng) 增大或減小時，液體內(nèi)任意點的壓強(qiáng)也相應(yīng)地增大或減小同樣數(shù)值。 這就是物理學(xué)中著名的巴斯加原理巴斯加原理。 CUp00Up)(00UUpp0p0pdUdp三三 等壓面等壓面 等壓面：等壓面：靜水壓強(qiáng)值相等的點連接成的面（可 能是平面也可能是曲面）。 等壓面性質(zhì)：等壓面性質(zhì)： 1在平衡液體中等壓面即是等勢面。

6、 2等壓面與質(zhì)量力正交。 等壓面性質(zhì)：等壓面性質(zhì)： 1在平衡液體中等壓面即是等勢面。 等壓面上 P=Const，故 dp=0，亦即dU=0。 對不可壓縮均質(zhì)液體，為常數(shù)，由此dU=0，即 U=Const 等壓面性質(zhì)：等壓面性質(zhì)： 2等壓面與質(zhì)量力正交。 證明：在平衡液體中證明：在平衡液體中任取一等壓面，質(zhì)點任取一等壓面，質(zhì)點M質(zhì)量為質(zhì)量為dm，在質(zhì)量力，在質(zhì)量力F作用下沿等壓面移動。作用下沿等壓面移動。 )()(kdjdiddsdmkfjfifFzyxzyx力力 F 沿沿 ds 移動所做的功可寫作矢量移動所做的功可寫作矢量F與與ds的數(shù)性的數(shù)性積：積： 另外力勢函數(shù)定義有另外力勢函數(shù)定義有因等

7、壓面上因等壓面上 dU=0 ，所以，所以W=F*ds=0。也即質(zhì)量力。也即質(zhì)量力必須與等壓面正交。必須與等壓面正交。注意注意: (1) 靜止液體質(zhì)量力僅為重力時，等壓面必定是水平靜止液體質(zhì)量力僅為重力時，等壓面必定是水平面，也即等壓面應(yīng)是處處和地心引力成正交的曲面面，也即等壓面應(yīng)是處處和地心引力成正交的曲面; (2) 平衡液體與大氣相接觸的自由表面為等壓面；平衡液體與大氣相接觸的自由表面為等壓面； (3) 不同流體的交界面也是等壓面。不同流體的交界面也是等壓面。 ()xyzWF dsf dxf dyf dzWdUdm第三節(jié)第三節(jié) 重力作用下靜壓強(qiáng)的基本公式重力作用下靜壓強(qiáng)的基本公式實際工程中，

8、實際工程中，作用于平衡液作用于平衡液體上的質(zhì)量力體上的質(zhì)量力常常只有重力常常只有重力，即所謂靜止，即所謂靜止液體。液體。 重力作用下 fx0，fy0，fzg ，代入平衡微分方程式 積分得 而自由面上 得出靜止液體中任意點的靜水壓強(qiáng)計算公式： 式中 ：表示該點在自由面以下的淹沒 深度。 ：自由面上的氣體壓強(qiáng)。 ghpp0zzh00pdzdzfdyfdxfdpzyx)(Cgpzgpgpzz00,一、液體靜力學(xué)基本方程(a)(b)(c)氣體壓強(qiáng)的分布（不講）氣體壓強(qiáng)的分布（不講）（不講就不考）（不講就不考）三三 壓強(qiáng)的度量壓強(qiáng)的度量-絕對壓強(qiáng)與相對壓強(qiáng)絕對壓強(qiáng)與相對壓強(qiáng) 1、 絕對壓強(qiáng)絕對壓強(qiáng) 設(shè)想

9、沒有大氣存在的絕對真空狀態(tài)作為零點計量的壓強(qiáng)，稱為絕對壓強(qiáng)絕對壓強(qiáng)。總是正的。正的。 2、 相對壓強(qiáng)相對壓強(qiáng) 把當(dāng)?shù)卮髿鈮鹤鳛榱泓c計量的壓強(qiáng)，稱為相對壓強(qiáng)相對壓強(qiáng)?？烧韶?fù)?？烧韶?fù)。 以 表示絕對壓強(qiáng)，p表示相對壓強(qiáng)， 則表示當(dāng)?shù)氐拇髿鈮簭?qiáng)。則有 apghpppaabsabsp地球表面大氣所產(chǎn)生的壓強(qiáng)為大氣壓強(qiáng)。海拔高程不同，大氣壓強(qiáng)也有差異。我國法定計量單位中，把98223.4 Pa或98kPa稱為一個標(biāo)準(zhǔn)大氣壓。工程中，自由面上的氣體壓強(qiáng)等于當(dāng)?shù)卮髿鈮簭?qiáng)，故靜止液體內(nèi)任意點的相對壓強(qiáng)為ghpghppaa)( 3、真空及真空度、真空及真空度 絕對壓強(qiáng)總是正值，相對壓強(qiáng)可能為正也可能為負(fù)。

10、相對壓強(qiáng)為負(fù)值時，則稱該點存在真空真空。 真空度真空度是指該點絕對壓強(qiáng)小于當(dāng)?shù)卮髿鈮簭?qiáng)的數(shù)值。 absavppp例：例：一封閉水箱（見圖），自由面上氣體壓強(qiáng) 為85kN/m2，求液面下淹沒深度h為1m處點C的絕對靜水壓強(qiáng)、相對靜水壓強(qiáng)和真空度。 解：C點絕對靜水壓強(qiáng)為 C點的相對靜水壓強(qiáng)為 相對壓強(qiáng)為負(fù)值，說明C點存在真空。真空度為 kPaghppabs8 .9418 . 9850kPapppaabs2 .3988 .94kPapppabsav2 . 38 .9498例：例： 情況同上例，試問當(dāng)C點相對壓強(qiáng)p為9.8kN/m2時，C點在自由面下的淹沒深度h為多少？ 解：相對靜水壓強(qiáng)： 代入已知

11、值后可算得 aaabspghpppp00()(9.88598) / 9.82.33appphmg例：例： 如圖，一封閉水箱，其自由面上氣體壓強(qiáng)為25kN/m2，試問水箱中 A、B兩點的靜水壓強(qiáng)何處為大？已知h1為5m，h2為2m。 解：A、B兩點的絕對靜水 壓強(qiáng)分別為 故A點靜水壓強(qiáng)比B點大。實際上本題不必計算也可得出此結(jié)論（因淹沒深度大的點，其壓強(qiáng)必大）。 kPaghppabsA7458 . 92510kPaghppabsB6 .4428 . 92520 例：例：如圖，一開口水箱，自由表面上的當(dāng)?shù)卮髿鈮簭?qiáng)為98kN/m2，在水箱右下側(cè)連接一根封閉的測壓管，今用抽氣機(jī)將管中氣體抽凈（即為絕對真

12、空），求測壓管水面比水箱水面高出的h值為多少？ 解：因水箱和測壓管內(nèi)是互相連通 的同種液體，故和水箱自由表面同高 程的測壓管內(nèi)N點，應(yīng)與自由表面位于 同一等壓面上，其壓強(qiáng)應(yīng)等于自由表 面上的大氣壓強(qiáng)，即 。 從測壓管來考慮 因（ ） 故 aNppghghppN000pghpamgpha108 . 998四四 壓強(qiáng)的測量壓強(qiáng)的測量ghpAgphA 當(dāng)當(dāng)A點壓強(qiáng)較小時：點壓強(qiáng)較小時： 1.增大測壓管標(biāo)尺讀數(shù)， 提高測量精度。 2.在測壓管中放入輕質(zhì) 液體（如油）。 3.把測壓管傾斜放置（見圖）。 A點的相對壓強(qiáng)為 當(dāng)被測點壓強(qiáng)很大時：當(dāng)被測點壓強(qiáng)很大時：所需測壓管很長，這時可以改用U形水銀測壓計。

13、singLpA(a)(b) 2、U形水銀測壓計形水銀測壓計 在U形管內(nèi)，水銀面N-N為等壓面，因而1點和2點壓強(qiáng)相等。 對測壓計右支 對1點 A點的絕對壓強(qiáng) A點的相對壓強(qiáng) 式中， 與 分別為水和水銀的密度。 gbghpmAmghppmaabs2ghppmaabs1gbghppmaabsA 壓強(qiáng)的液柱表示法壓強(qiáng)的液柱表示法-水頭水頭 壓強(qiáng)的液柱表示法壓強(qiáng)的液柱表示法 1. 以單位面積上的壓力即千帕 （KPa）來 表示。 2. 用液柱高表示。P=gh 98kPa =1個工程大氣壓 10m水柱 736mm水銀柱 例例1-8 若已知抽水機(jī)吸水管中某點絕對壓強(qiáng)為若已知抽水機(jī)吸水管中某點絕對壓強(qiáng)為80k

14、N/m2，試將該點絕對壓強(qiáng)、相對壓強(qiáng)和真空度用水柱，試將該點絕對壓強(qiáng)、相對壓強(qiáng)和真空度用水柱及 水 銀 柱 表 示 出 來 （ 已 知 當(dāng) 地 大 氣 壓 強(qiáng)及 水 銀 柱 表 示 出 來 （ 已 知 當(dāng) 地 大 氣 壓 強(qiáng)為為 ）。）。 解：絕對壓強(qiáng)絕對壓強(qiáng) 或為 水柱 或為 水銀柱 相對壓強(qiáng)相對壓強(qiáng) 或為 水柱， 或為 水銀柱 真空度真空度 或為1.84mm水柱 ， 或為135mm水銀柱kPapa98kPapabs80m16. 8109880mm6017369880kPapppaabs189880m84. 1109818mm1356 .131840kPapppabsav188098第四節(jié)第

15、四節(jié) 幾種質(zhì)量力同時作用下的液體平衡幾種質(zhì)量力同時作用下的液體平衡 如果液體相對于地球運如果液體相對于地球運動，但相對于容器仍保動，但相對于容器仍保持靜止的狀態(tài)為相對平持靜止的狀態(tài)為相對平衡。衡。 如繞中心軸作等角速度如繞中心軸作等角速度旋轉(zhuǎn)的圓柱形容器中的旋轉(zhuǎn)的圓柱形容器中的液體。液體。第五節(jié)第五節(jié) 液體作用于平面上的總壓力液體作用于平面上的總壓力 一、壓力圖法：作用在一、壓力圖法：作用在矩形平面矩形平面上的靜總壓力上的靜總壓力 1靜水壓強(qiáng)分布圖的繪制：靜水壓強(qiáng)分布圖的繪制： (1)按一定比例，用線段長度 代表該點靜水壓強(qiáng)的 大小。 (2)用箭頭表示靜水壓強(qiáng)的方 向，并與作用面垂直。 ghp

16、p0 (a)(b)(c) 2靜水總壓力的計算：靜水總壓力的計算： 平面上靜水總壓力的大小應(yīng)等于分布在平面上各點靜大小應(yīng)等于分布在平面上各點靜水壓強(qiáng)的總和水壓強(qiáng)的總和： 壓強(qiáng)分布圖為梯形 則靜水總壓力 作用點：作用點：P作用點應(yīng)通過壓強(qiáng)分布圖的形心點作用點應(yīng)通過壓強(qiáng)分布圖的形心點Q。證明：證明：參考解析法參考解析法PbS121()2Sghgh L12()2gPhh bL壓強(qiáng)分布圖為三角形？ 12PghbL作用點：作用點：1、當(dāng)壓強(qiáng)為三角形分布時，壓力中心D離底部 距離為 ； Le312、當(dāng)壓強(qiáng)為梯形分布時，壓力中心離底的距離 。)(3)2(2121hhhhLe二、解析法：作用于任意平面上的靜水總

17、壓力二、解析法：作用于任意平面上的靜水總壓力 受壓面為任意形狀， 靜水總壓力的計算較為復(fù)雜。取一任意形狀平面EF，傾斜置放于水中，與水平面的夾角a，平面面積為A，平面形心點在C。xysinhL 1總壓力的大小總壓力的大小 作用在圍繞點M的微分面積dA的靜水壓力 整個平面EF上的靜水總壓力為： 而一階慣性矩定理 為平面EF形心點C在液面下的淹沒深度， 為形心點C的靜水壓強(qiáng) 。 ApAghALgFCcCPsinChcpghdApdAdFpAAAppLdAagghdAdFFsinALLdACA 2總壓力的作用點總壓力的作用點 設(shè)總壓力作用點為D，其坐標(biāo)值為（ ）。 令 則有（二階慣性矩定理） 于是有

18、 DDbL ,dALagLpdALFAADp2sinALIdALIccAb22)(sinsin2ALIagaIgLFccbDbAagLALIagFALIagLcccpccDsin)(sin)(sin22 由此看出 ，即總壓力作用點D在平面形心C之下。Ic平面EF對平行ob軸的形心軸的慣性矩 （見表2-1）同理Ic平面EF對平行oL軸的形心軸的慣性矩 （見表2-1） cDLL ALILLCCCDCDCCIbbb A 例例 某泄洪隧洞，在進(jìn)口傾斜設(shè)置一矩形平板閘門（見圖），傾角為600，門寬b為4m，門長L為6m，門頂在水面下淹沒深度h1為10m，若不計閘門自重時，問沿斜面拖動閘門所需的拉力T為多

19、少（已知閘門與門槽之間摩擦系數(shù)f為0.25）？門上靜水總壓力的作用點在哪里？ 解：當(dāng)不計門重時，拖動門的拉力至少需克服閘門與門槽間的摩擦力，故FT 。為此須首先求出作用于門上靜水總壓力FP。 （1）用壓力圖法求FP及作用點位置 首先畫出閘門AB上靜水壓強(qiáng)分布圖。 門頂處靜水壓強(qiáng)為 門底處靜水壓強(qiáng)為 壓強(qiáng)分布圖為梯形，其面積 靜水總壓力fF PkPagh98108 . 91kPaLhggh14922.158 .9)23610(8 .9)60sin(0121211()(98149)6741/22SghghLkNm4 7412964pFb SkN （2）用解析法計算FP及 以便比較 靜水總壓力作用點

20、距閘門底部的斜距 總壓力P距水面的斜距 mhhhhLe79. 2)2361010(3)23610102(6)(3)2(2121mehLLD71.1479. 2)87. 0106()60sin(01DLbLghApFCP0mLhhC61.1287. 0261060sin201kNFP29646461.128 . 9 求P的作用點距水面的斜距 對矩形平面，繞形心軸的面積慣矩為 可見，采用上述兩種方法計算其結(jié)果完全相同。ALILLCCCDmhLC5 .145 .11387. 010360sin2101437264121mICmLD71.1421. 05 .14645 .14725 .14 （3）沿斜

21、面拖動閘門的拉力 kNfFFPT74125. 02964例例 一垂直放置的圓形平板閘門（見圖），已知閘門半徑R為1m，形心在水下的淹沒深度hC為8m，求作用于閘門上靜水總壓力的大小及作用點位置。 解：計算總壓力 作用點D應(yīng)位于縱向?qū)ΨQ軸上，故僅需求出D點在縱向?qū)ΨQ軸上的位置。 在本題情況下， ， 。 故 圓形平面繞圓心軸線的面積慣矩 。則 kNRghAPFCCP246114. 388 . 922CChL DDhLAhIhhCCCD441RICmRRhD03. 832188418224第六節(jié)第六節(jié) 作用于曲面上的總壓力作用于曲面上的總壓力 受壓面為曲面的情況，如拱壩壩面、弧形閘墩或邊墩、弧形閘門

22、等等。 作用于曲面上任意點的相對的靜水壓強(qiáng)，其大小仍等于該點的淹沒深度乘以液體的單位體積的重量，其方向也是垂直指向作用面的 對二向曲面的靜水總壓力計算。如圖： 一、靜總壓力的水平分力一、靜總壓力的水平分力 取微元面積取微元面積dA，作用于面上的靜水壓力為，作用于面上的靜水壓力為dFp，在水在水平方向上的分力為平方向上的分力為 則有則有 上式表明作用在曲面上靜水總壓力 FP 的水平分分力 ，等于曲面在 平面上的投影面 上的靜水總壓力。很明顯，水平分力 的作用線應(yīng)通過 平面的壓力中心。 pxFyozxApxFxAadFdFppxcosadFdFFppxpxcosxcAxpxAghdAhgaghdA

23、Fx)(cos 二、靜總壓力的垂直分力二、靜總壓力的垂直分力 靜總壓力dP沿鉛垂方向的分力為 則合力 而 所以 V：稱為壓力體壓力體。作用于曲面上靜總壓力 的垂直分力 ，等于壓力體內(nèi)的液體體重。 作用線作用線：垂直分力 的作用線作用線，應(yīng)通過壓力體的體積形心。gVFpzpzFpzFpFadFdFppzsinAAzppzpzzdAhgaghdAadFdFF)(sinsinzAzdAhV)( 壓力體壓力體V：作用于曲面上靜總壓力 的垂直分力 等于壓力體內(nèi)的液體體重。 垂直分力 的作用線作用線，應(yīng)通過壓力體的體積形心。pzFpF 壓力體應(yīng)由下列周界面所圍成壓力體應(yīng)由下列周界面所圍成： 1受壓曲面本身

24、； 2液面或液面的延長面； 3通過曲面的四個邊緣向液面或液面的延長面所作的鉛垂平面。 的方向：當(dāng)液體和壓力體位于曲面的同側(cè)時， 向下； 當(dāng)液體及壓力體各在曲面之一側(cè)時， 向上。 當(dāng)曲面為凹凸相間的復(fù)雜柱面時，可在曲面與鉛垂面相切處將曲面分開，分別繪出各部分的壓力體。pzFpzFpzF總壓力Fp的作用線應(yīng)通過Fpx與Fpz的交點K，過K點沿Fp的方向延長交曲面于D，D點即為總壓力Fp在AB上的作用點。 三、靜總壓力三、靜總壓力 由二力合成定理，曲面所受靜總壓力的大小為 22pzpxpFFFpxpzFFtanpxpzFFarctg 例例 韶山灌區(qū)引水樞紐泄洪閘共裝5孔弧形閘門，每孔門寬b為10m，弧門半徑R為12m，其余尺寸見圖。試求當(dāng)上游為正常引水位66.50m、閘門關(guān)閉情況下，作用于一孔弧形門上靜水總力大小及方向。 解：（1）首先求水平分力 （2）求垂直分力 （2）求垂直分力）求垂直分力 如圖所示，壓力體的底面積為 弓形面積EGF三角形面積EFL pxFkNAghFxCpx39699105 . 48 . 9pz