微積分在積分不等式證明中的應(yīng)用

1、13屆 分 類 號: 單位代碼:10452畢業(yè)論文（設(shè)計）微積分在積分不等式證明中的應(yīng)用2013年3月20日摘 要不等式是數(shù)學(xué)研究的一個基本問題,是初等數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容.積分不等式是含有未知函數(shù)積分的不等式，是不等式的一個重要類型.微積分是高等數(shù)學(xué)的核心，微積分思想方法是高等數(shù)學(xué)乃至整個數(shù)學(xué)的典型方法.微積分思想方法的引入可以為解決積分不等式證明的難題找到了突破口.本文在歸納和總結(jié)了幾種的證明積分不等式的方法，主要是利用Lagrange中值定理、Taylor公式、函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的凹凸性一些微分知識和定積分的性質(zhì)、Schwarz不等式、重積分法、積分中值定理一些積分知識探究了積分不等式的證明方

2、法這些方法突出了微積分的基本思想和基本方法，運用這些方法和技巧能夠使積分不等式的求解過程更為簡單.關(guān)鍵詞：微積分；積分不等式；證明方法；應(yīng)用ABSTRACTInequality is a fundamental problem in the study of mathematics, and the important content of Elementary Mathematics. Integral inequality, one of the important inequality, contains integral with unknown functions. Calculus

3、 is the heart of higher mathematics, whose thought and method are the typical means to solve the problem in higher mathematics and even the whole mathematics. Calculus thought is introduced to found the breakthrough to solve the problem of integral inequalitys proof. The paper concludes and summariz

4、es some common methods related to prove integral inequality, which are based on some knowledge about differential such as Lagrange mean value theorem, Taylor formula, properties of function, and some knowledge about integral, for instance ,integral quality, Schwarz inequality, integral method and th

5、e integral mean value theorem. These methods highlight the basic idea and method of the differential and integral calculus, which make the computation of integral inequality easier.Key words: calculus; integral inequality; the method of proof; application目 錄1 引言12 預(yù)備知識12.1 微分的基本概念及運算法則12.2 定積分的基本概念及

6、性質(zhì)22.3 積分不等式33 微積分在積分不等式中的應(yīng)用43.1 微分證明積分不等式43.2 積分證明積分不等式11結(jié) 論18參 考 文 獻19致 謝201 引言微積分是數(shù)學(xué)中的重要部分，是微分學(xué)和積分學(xué)的總稱.微積分是一種比較深刻的數(shù)學(xué)思想，是研究函數(shù)的性質(zhì)，證明不等式，求曲線的斜率的常用工具微積分的應(yīng)用為解決很多數(shù)學(xué)問題提供了新的方法.積分不等式的證明方法有很多，微積分在不等式證明中也發(fā)揮著至關(guān)重要的作用，靈活地運用微積分的性質(zhì)及相關(guān)定理是解決很多積分不等式證明問題的關(guān)鍵本文在微積分知識的基礎(chǔ)之上，歸納和總結(jié)了幾種的證明積分不等式的方法，主要是利用Lagrange中值定理、Taylor公式

7、、函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的凹凸性、定積分的性質(zhì)、Schwarz不等式、重積分法、積分中值定理探究積分不等式的證明方法這些方法突出了微積分的基本思想和基本方法，運用這些方法和技巧能夠使積分不等式的求解過程更為簡單突出了微積分的基本思想和基本方法，運用這些方法和技巧能夠使積分不等式的求解過程更為簡單 2 預(yù)備知識2.1 微分的基本概念及運算法則定義2.1.17 設(shè)函數(shù)在點的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量在處有增量仍在該鄰域內(nèi)，相應(yīng)地函數(shù)有增量，如果與之比當(dāng)時，極限存在，那么這個極限值稱為函數(shù)在點的導(dǎo)數(shù)，并且說，函數(shù)在點處可導(dǎo)，記作，即如果極限不存在，就說函數(shù)在點處不可導(dǎo)如果固定，令，則當(dāng)時，有，故函數(shù)在處

8、的導(dǎo)數(shù)也可表示為設(shè)函數(shù)與在點處可導(dǎo),則有如下求導(dǎo)法則:(1)；(2)；(3)（）特別地,當(dāng)(為常數(shù))時,有定義2.1.27 若函數(shù)在點處的改變量可以表示成，其中為比高階無窮小，則稱函數(shù)在點處可微，并稱其線性主部為函數(shù)在點處的微分，記為或，即且有，這樣因為函數(shù)的微分等于導(dǎo)數(shù)乘以，所以根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運算法則，就能得到相應(yīng)的微分運算法則若函數(shù)與可微，則(1)，其中是常數(shù)；(2)；(3)；(4).2.2 定積分的基本概念及性質(zhì)定義10 設(shè)函數(shù)在上有定義,任取分點，分為個小區(qū)間記.再在每個區(qū)間上任取一點，作乘積的和式：，如果時，上述極限存在，則稱此極限值為函數(shù)在區(qū)間上的定積分，記為，其中稱為被積函數(shù)，為被積

9、式，為積分變量，為積分區(qū)間，分別稱為積分的下限和上限從定積分的定義出發(fā)可得如下的性質(zhì)性質(zhì)10 若與在閉區(qū)間上可積,若，則.性質(zhì)2.2.210 若在在上可積，則在上也可積，且.性質(zhì)2.2.310 若，則.引理2.2.110 設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，又是的任一個原函數(shù)，則有 (2.2.1)公式(2.2.1)叫做牛頓-萊布尼茨公式2.3 積分不等式不等式是數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容之一，是求解許多數(shù)學(xué)問題的有效工具。積分不等式是含有未知函數(shù)積分的不等式，是不等式的一個重要類型。積分不等式除了能用來解決一些關(guān)于不等量的實際問題，對研究函數(shù)的定義域和值域也有廣泛的應(yīng)用 考慮齊次變系數(shù)線性微分方程組 ， （）其中X是

10、n維向量，是上的階連續(xù)的矩陣函數(shù)。盡管這個微分方程組求解十分困難，但是可以做到下面的估計。由（）可以推出不等式 ， （）從這個不等式可以得到方程（）的解的模的估計.不等式（）就是積分不等式的最基本的形式.3 微積分在積分不等式中的應(yīng)用不等式是數(shù)量之間大小的比較，而通過比較可以顯示出變量變化之間相互制約的關(guān)系因此，從某種意義上來講, 積分不等式也不例外.在數(shù)學(xué)分析中積分比等式的尤為重要許多的積分不等式在數(shù)學(xué)分析中都起到了至關(guān)重要的作用所以對積分不等式的研究無論是實際應(yīng)用，還是理論分析都有重要的意義3.1 微分證明積分不等式 微分在積分不等式中的應(yīng)用主要是利用微分中值定理、泰勒公式、函數(shù)的單調(diào)性、

11、極值、最值、凸函數(shù)法等來證明積分不等式以下對這些方法分別做詳細的介紹.3.1.1 Lagrange中值定理證明積分不等式 引理.110(Lagrange中值定理) 如果函數(shù)，滿足下列條件:(1)在閉區(qū)間上連續(xù)；(2)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則在區(qū)間內(nèi)至少存在一點，使得由于在之間，因此將有一個取值范圍，即有一個取值范圍，這樣就得到了一個不等式因此，可利用在區(qū)間內(nèi)的特點證明積分不等式例.1 若函數(shù)在上具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且.試證明.證 由于 ，記.由Lagrange中值定理知，其中，.，其中，.因此 ；.從而，即.例.2 設(shè)函數(shù)在上具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且，證明：.證 由Lagrange中值定理知，其中；，其中.所

12、以；.因此 .例.3 設(shè)在上可導(dǎo)，且，求證：.證 由Lagrange中值定理知.其中又，故.則.3.1.2 Taylor公式證明積分不等式引理.110(Taylor中值定理） 如果函數(shù)中含有的某個開區(qū)間內(nèi)具有直到階的導(dǎo)數(shù)，對意有 （.1）其中， （.2） 這里是與之間的某個值公式（.1）稱為按的冪展開的帶有Lagrange型余項的階Taylor公式，而表達式（3.1.2.2）稱為Lagrange型余項利用泰勒公式證明積分不等式的一般方法是將函數(shù)在所給區(qū)間的端點或特定點（如區(qū)間的中點、零點）展開，通過分析余項在點的性質(zhì)，從而得到結(jié)果例.1 設(shè)函數(shù)在上具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，,令，證明.證 對，由Ta

13、ylor公式知注意到，因此有，移項，整理得.例.2 設(shè)函數(shù)在上具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，且，證明：.證 由Taylor公式知，對，將在處展開，得，.由 ，有.故命題成立.例.3 設(shè)函數(shù)在上具有二階連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且，記，試證明：.證 將在點Taylor展開，并注意到.得，因此.故.3.1.3 函數(shù)的單調(diào)性證明積分不等式單調(diào)函數(shù)是一類很重要的函數(shù)，常在積分不等式證明中使用，運用導(dǎo)數(shù)可以判斷出函數(shù)的單調(diào)性.引理3.1.3.110 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo).（1）如果在內(nèi)，那么函數(shù)在上單調(diào)遞增；（2）如果在內(nèi)，那么函數(shù)在上單調(diào)遞減.利用函數(shù)的增減性證明積分不等式的步驟為：（1）通過恒等變換(形)構(gòu)造合適的輔助

14、函數(shù)（構(gòu)造輔助函數(shù)一般的方法是，直接將不等號右端項移至不等號左端，令不等號右端為零，左端即為所求的輔助函數(shù)）；（2）求在所給區(qū)間上的一階導(dǎo)數(shù)，然后判別一階導(dǎo)數(shù)在此區(qū)間上的符號；（3）有時需要求在所給區(qū)間端點的函數(shù)值或極限，以便作出比較，即可得到所要證明的結(jié)果例3.1.3.1 設(shè)在上連續(xù)，且單調(diào)遞減，.求證對滿足的任何，有.證 令，由題意可知.因此在上單調(diào)遞增，從而.即.例.2 設(shè)在上連續(xù)，且單調(diào)遞增，證明證 構(gòu)造輔助函數(shù)，顯然，對任意的，有，其中因為單調(diào)遞增，則，故單調(diào)遞增，因此.故例.3 設(shè)，和它們的平方在區(qū)間上可積，證明不等式（Schwarz不等式）.證 構(gòu)造函數(shù)令，則當(dāng)時，.于是可知單調(diào)

15、不減，又，所以.即得證.3.1.4 函數(shù)凹凸性證明積分不等式定義3.1.4.110 設(shè)在區(qū)間上有定義,若對上的任意任意兩點和任意實數(shù)恒有，則稱在上是凸函數(shù).反之，如果總有，則稱在上是凹函數(shù)如果函數(shù)在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù),那么就能利用二階導(dǎo)數(shù)的符號來判定曲線的凹凸性.下面就是曲線凹凸性的判定定理.引理3.1.4.110 設(shè)在區(qū)間上二階可導(dǎo),那么(1)若在上,則在上為凸函數(shù)；(2)若在上,則在上為凹函數(shù).例3.1.4.1 設(shè)是上連續(xù)的凸函數(shù)，即對,，及，有.試證明：.證 .從而得左不等式，下證右不等式，有，從而 .兩邊積分得.于是得右不等式.故命題成立.3.2 積分證明積分不等式3.2.1 定積分性質(zhì)證

16、明積分不等式運用定積分的性質(zhì)證明積分不等式是比較簡單的做法，在解某些積分不等式時，能得出良好的結(jié)果例.1 若函數(shù)在上連續(xù)，且，求證：.證 將區(qū)間進行n等分，并設(shè)，.于是， .利用在是凹函數(shù)，則.即 .由假設(shè)條件知，與在上都連續(xù)，因此可積，在上式中令，則由定積分定義及的連續(xù)性可得：.故.例.2 已知在上連續(xù)，對任意的x,y都有.求證：證 由于 因此.故命題成立. Schwarz不等式證明積分不等式引理.111（Schwarz不等式） 若函數(shù)在區(qū)間上皆可積，則.例.1 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，且，試證明：.證 由Schwarz不等式知， .同理可得.因此 .例.2 設(shè)，試證明：.證 作變換，則.由Schw

17、arz不等式可得.故結(jié)論成立.例.3 試證明：.證 由Schwarz不等式得.即積分不等式的右半邊為真.下證積分不等式的左半邊為真.因為，所以，積分便得.綜上，命題得證.3.2.3 重積分證明積分不等式當(dāng)積分不等式中出現(xiàn)兩個積分，可以將兩個積分的積分變量換成不同符號，即化為二重積分，從而再求出結(jié)果.例.1 設(shè)在上連續(xù)，且，證明：.證 記,且,兩式相加，得，其中，即.例.2 設(shè)函數(shù)是上單調(diào)遞減且恒大于0的連續(xù)函數(shù)，求證：.證 令同理 兩邊相加整理得：.由于且在上單調(diào)遞減，因此，從而 ，故命題得證. 積分中值定理證明積分不等式引理.111（積分第一中值定理） 若在上連續(xù)，則至少存在一點，使得.引理

18、.211（推廣的積分第一中值定理） 若與都在上連續(xù)，且在上不變號，則至少存在一點，使得.引理.311（積分第二中值定理） 設(shè)函數(shù)在上可積.（i）若函數(shù)在上遞減，且，則存在，使得；（ii）若函數(shù)在上遞增，且，則存在，使得.引理.411（推廣的積分第二中值定理） 設(shè)函數(shù)在上可積.若為單調(diào)函數(shù)，則存在，使得.例.1 設(shè)在上連續(xù)且單調(diào)遞增，求證：.證1 （推廣的積分第一中值定理）因為.又，其中，.故 .證2 （推廣的積分第二中值定理）因為單調(diào)，由積分第二中值定理得,其中.而 ,.又因為單調(diào)遞增，故.例.2 設(shè)函數(shù)在上有定義，而且單調(diào)不減，證明：對于任何有.證 （推廣的積分第一中值定理）對任意，由，得.

19、函數(shù)在上有定義，且單調(diào)不減，即是說在連續(xù).從而,其中，再在上有定義，且單調(diào)不減，而，于是，即.結(jié) 論積分不等式是數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容之一，論證積分不等式的方法很多，利用微積分的思想證明積分不等式, 可使積分不等式的證明過程大大簡化, 技巧性降低；同時能夠體現(xiàn)高等數(shù)學(xué)對初等數(shù)學(xué)的指導(dǎo)作用本文著重介紹用微積分知識證明積分不等式的幾種常用方法，常見的方法有Lagrange中值定理，Taylor公式，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的凹凸性，定積分的性質(zhì)，Schwarz不等式,重積分法，積分中值定理這些方法能夠使積分不等式的證明思路變得簡單，從而利于問題的求解參 考 文 獻1Wilfred Kaplan. Advanc

20、ed CalculusM. (Fifth Edition)China:Publishing House of Electronics Industry,2004.2James Stewart. CalculusM. (Fifth Edition) China:Higher Education Press,2004.3Marvin L. Bittinger. Calculus and Its ApplicationsJ.China Machine Press,2006,19:135-145.4PCalabrese. Calculus and Its Applications J.Amer Math Monthly,1999,20:2