微積分與數(shù)學(xué)建模知識(shí)總結(jié)

1、微積分與數(shù)學(xué)模型（上冊(cè)）任課教師：陳騎兵小組成員 張程 1440610405 王子堯 1440610402 李昊奇 1440610403 梅良玉 1440610426 方旭建 1440610406 李柏睿 1440610428第1章 函數(shù)，極限與連續(xù) 1.1 函數(shù)的基本概念 準(zhǔn)備知識(shí)（掌握集合與區(qū)間的相關(guān)知識(shí)） 函數(shù)定義：設(shè)x和y是兩個(gè)變量，D是一個(gè)給定的數(shù)集。如果對(duì)于任意xD， 按照某一法則f，變量y都有確定的值和它對(duì)應(yīng)，則稱f為定義在D上的函數(shù)，數(shù)集D稱為函數(shù)的定義域，x稱為自變量，y稱為因變量。與x對(duì)應(yīng)的y的值記做f(x)，稱為函數(shù)f 在x處的函數(shù)值。D上所有的數(shù)值對(duì)應(yīng)的全體函數(shù)值的集合

2、稱為值域 函數(shù)特性： 1：函數(shù)的有界性設(shè)f(x)在集合X上有定義，若存在M=0,使得對(duì)任意x屬于X都有f(x的絕 對(duì)值0且a1；對(duì)數(shù)函數(shù) 如：y=,a0且a1；三角函數(shù) 如：y=sinx,y=cosx,y=tanx；反三角函數(shù) 如：y=arcsinx,y=arccosx,y=arctanx；以及雙曲函數(shù)1.3 極限的概念 （1) .極限的直觀定義：當(dāng)x接近于某個(gè)常數(shù)x0但不等于x0時(shí)，若f(x)趨向于常數(shù)A，則 稱A為f(x)當(dāng)x趨向于x0時(shí)的極限。(2) .極限的精確定義：給定函數(shù)f(x)和常數(shù)A，若對(duì)于0（無(wú)論多么?。?，總彐0,使得當(dāng)0|x-x0|0以及0，使得當(dāng)0|x-x0|0(或A0，

3、使得當(dāng)0|x-x0|0(或f(x)0，彐0，使得當(dāng)0|x-x0|時(shí)，有|f(x)|0，彐0，使得當(dāng)0|x-x0|M,則稱f(x)為xx0時(shí)的無(wú)窮大量定理： (1)若f(x)為無(wú)窮大量，則1/f(x)為無(wú)窮小量； (2)若f(x)為無(wú)窮小量，且f(x)0，則1/f(x)為無(wú)窮大量。無(wú)窮小量的運(yùn)算性質(zhì)： a 兩個(gè)無(wú)窮小量的和或差仍為無(wú)窮小量； b 有界函數(shù)與無(wú)窮小量的乘積仍為無(wú)窮小量； C 常數(shù)與無(wú)窮小量的乘積仍為無(wú)窮小量； d 有限個(gè)無(wú)窮小量的乘積仍為無(wú)窮小量。無(wú)窮小量的比較： a若lim(/)=0,則稱是的高階無(wú)窮小，F(xiàn) b若lim(/)=,則稱是的低階無(wú)窮小， c若lim(/)=C0,則稱是

4、的同階無(wú)窮小， d若lim(/)=1,則稱與是等階無(wú)窮小，記做。1.6函數(shù)的連續(xù)性連續(xù)函數(shù)的定義： i 若函數(shù)f(x)在包含x0的某個(gè)領(lǐng)域U(x0,)內(nèi)有定義，且limxx0 f(x)=f(x0)，則稱f(x)在點(diǎn)x連續(xù) ii 若函數(shù)f(x)在包含x0的某個(gè)領(lǐng)域U(x0,)內(nèi)有定義，且limx0 y=0,其中y表示對(duì)應(yīng)于自)在包含x0的某個(gè)右(左)領(lǐng)域內(nèi)有定義，且左右極限相等，則稱f(x)在點(diǎn)x右（左）連續(xù)。間斷點(diǎn)及其分類滿足條件：f(x)x=x limf(x)存在 limf(x)=f(x)三者有一個(gè)不成立，則稱f(x)在點(diǎn)x間斷,稱x為間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)：可去間斷點(diǎn) 跳躍間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn)：

5、跳躍間斷點(diǎn) 振蕩型間斷點(diǎn)連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)與初等函數(shù)的連續(xù)性 連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算法則：若f(x),g(x)均在x0連續(xù)，則f(x)g(x),f(x)g(x)及f(x)/g(x) (g(x0)0)都在x0連續(xù)； 反函數(shù)的連續(xù)性 若y=f(x)在區(qū)間Ix上單值，單增(減)，且連續(xù)，則其反函數(shù)x=(y)也在對(duì)應(yīng)的區(qū)間Ix=y|y=f(x),xIx上單值，單增(減),且連續(xù)； 復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性 函數(shù)u=(x)在點(diǎn)x=x0連續(xù)，且(x0)=u0，函數(shù)y=f(u)在點(diǎn)u0連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)。 結(jié)論：一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的。1.7閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 最值定理： i

6、閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)在該區(qū)間一定有界 ii 閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定有最大值和最小值 介值定理： 設(shè)f(x)在a,b上連續(xù)，且f(a)f(b)，則對(duì)于f(a)f與f(b)之間的任意常數(shù)C， 在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)x,使得f(x)=C(axb) 推論： 設(shè)f(x)在a,b上連續(xù)，則對(duì)于C（m,M)，必存在x(a,b)，使得f(x)=C 零點(diǎn)存在定理：設(shè)f(x)在a,b上連續(xù)，且f(a)f(b)a)上可積，我們稱積分形式(A +) f(x)dx為f(x)在a,+)上的無(wú)窮積分。類似可定義-時(shí)的無(wú)窮積分。瑕積分：設(shè)函數(shù)f(x)定義在a,b)上，而f(x)在x=b的任一左鄰域內(nèi)f(x)無(wú)界（此時(shí)稱x=

7、b為f(x)的瑕點(diǎn)）。若f(x)在任意a,b-(0a)上可積，我們稱積分形式(A +) f(x)dx為f(x)在a,+)上的無(wú)窮積分。類似可定義-時(shí)的無(wú)窮積分。瑕積分：設(shè)函數(shù)f(x)定義在a,b)上，而f(x)在x=b的任一左鄰域內(nèi)f(x)無(wú)界（此時(shí)稱x=b為f(x)的瑕點(diǎn)）。若f(x)在任意a,b-(0b-a)上可積，我們稱積分形式(a b) f(x)dx為f(x)在a,b)上的瑕積分。類似可定義a為瑕點(diǎn)時(shí)的瑕積分。又設(shè)c(a,b),函數(shù)f(x)以點(diǎn)c為暇點(diǎn)，那么當(dāng)兩個(gè)反常積分(a c) f(x)dx和(c b) f(x)dx均收斂時(shí)，反常積分(a b) f(x)dx收斂。其值定義為：(a

8、b) f(x)dx=(a c) f(x)dx+(c b) f(x)dx=lim( 0+)ac- f(x)dx+lim( 0+)c+ b f(x)dx,否則該反常積分發(fā)散5.5定積分的幾何應(yīng)用（4） 計(jì)算平面圖形的面積時(shí)，一般先畫(huà)出大體圖形，然后根據(jù)圖形的特點(diǎn)選擇是用直角坐標(biāo)系還是極坐標(biāo)系，通常圖形與圓有關(guān)時(shí)選擇極坐標(biāo)系，這樣運(yùn)算起來(lái)更簡(jiǎn)單一些。在直角坐標(biāo)系下還要根據(jù)圖形的形狀選擇恰當(dāng)?shù)胤e分變量，如果不是公式所給的類型，還需要對(duì)圖形進(jìn)行分割，分割后的每一塊都是四種標(biāo)準(zhǔn)中的一種，然后再積分；極坐標(biāo)系類似，恰當(dāng)?shù)剡x擇積分變量和積分區(qū)域可給計(jì)算帶來(lái)方便，另外，可利用圖形的對(duì)稱性簡(jiǎn)化計(jì)算。（5） 計(jì)算曲邊梯形繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)成旋轉(zhuǎn)體體積時(shí)，利用切片發(fā)，即把旋轉(zhuǎn)體看成由一系列垂直于旋轉(zhuǎn)軸的圓形薄片組成，而此薄片體積就是體積元。（6） 計(jì)算曲線弧長(zhǎng)時(shí)，主要根據(jù)曲線的方程，選擇相應(yīng)的公式寫(xiě)出弧微分ds，繼而求出弧長(zhǎng)。（4）計(jì)算旋轉(zhuǎn)體的側(cè)