微專題構(gòu)造函數(shù)法解選填壓軸題

1、微專題：構(gòu)造函數(shù)法解選填壓軸題高考中要取得高分，關(guān)鍵在于選準選好的解題方法，才能省時省力又有效果。近幾年各地高考數(shù)學試卷中，許多方面尤其涉及函數(shù)題目，采用構(gòu)造函數(shù)法解答是一個不錯的選擇。所謂構(gòu)造函數(shù)法是指通過一定方式，設(shè)計并構(gòu)造一個與有待解答問題相關(guān)函數(shù)，并對其進行觀察分析，借助函數(shù)本身性質(zhì)如單調(diào)性或利用運算結(jié)果，解決原問題方法，簡而言之就是構(gòu)造函數(shù)解答問題。怎樣合理的構(gòu)造函數(shù)就是問題的關(guān)鍵，這里我們來一起探討一下這方面問題。幾種導數(shù)的常見構(gòu)造：1對于，構(gòu)造 若遇到，則可構(gòu)2對于，構(gòu)造3對于，構(gòu)造4對于 或，構(gòu)造5對于，構(gòu)造6對于，構(gòu)造一、構(gòu)造函數(shù)法比較大小例1已知函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱,且當

2、成立，,則的大小關(guān)系是 ( ) 【解析】因為函數(shù)關(guān)于軸對稱,所以函數(shù)為奇函數(shù).因為,所以當時,函數(shù)單調(diào)遞減,當時,函數(shù)單調(diào)遞減.因為,所以,所以,選D. 變式: 已知定義域為的奇函數(shù)的導函數(shù)為，當時，若，則下列關(guān)于的大小關(guān)系正確的是（ D ）例2已知為上的可導函數(shù)，且，均有，則有A， B，C， D，【解析】構(gòu)造函數(shù)則，因為均有并且，所以，故函數(shù)在R上單調(diào)遞減，所以，即也就是，故選D變式: 已知函數(shù)為定義在上的可導函數(shù)，且對于任意恒成立，為自然對數(shù)的底數(shù)，則（ C ）例3在數(shù)列中，則數(shù)列中的最大項為( )A B C D不存在 【解析】由已知， 易得. 猜想當時，是遞減數(shù)列 又由知，令，則 當時，

3、則，即 在內(nèi)為單調(diào)遞減函數(shù)， 時，是遞減數(shù)列，即是遞減數(shù)列 又，數(shù)列中的最大項為 故選B練習1已知函數(shù)對任意的滿足,則（ ）A B. C. D. 提示：構(gòu)造函數(shù)，選D二、構(gòu)造函數(shù)法解恒成立問題例1若函數(shù)y=在R上可導且滿足不等式恒成立，對任意正數(shù)、，若，則必有（ ）A B C D【解析】由已知 構(gòu)造函數(shù) ， 則， 從而在R上為增函數(shù)。 即，故選C。例2已知是定義在（0，+）上的非負可導函數(shù)，且滿足0，對任意正數(shù)、，若，則必有（ ）A B C D【解析】，故在（0，+）上是減函數(shù)，由，有，即 。故選A。變式1.設(shè)是上的可導函數(shù)，分別為的導函數(shù)，且滿足，則當時，有（ C ）變式2. 設(shè)函數(shù) 時，有

4、（ C ）ABC D例3設(shè)函數(shù)在R上的導函數(shù)為，且，下面不等式恒成立的是（ ）A B C D【解析】由已知，首先令得，排除B，D令，則，當時，有，所以函數(shù)單調(diào)遞增，所以當時， ，從而當時，有，所以函數(shù)單調(diào)遞減，所以當時， ，從而綜上故選A例4 如果，那么下面的不等式恒成立的是（ ）A B C D【解析】構(gòu)造函數(shù)，易證在R上是奇函數(shù)且單調(diào)遞增 + =lg1 = 0 即： 又是增函數(shù) 即。故選B練習1. 已知，則實數(shù)的關(guān)系是（ D ）A. B. C. D.【解析】構(gòu)造函數(shù)，是增函數(shù)，又，故選D練習2. 已知函數(shù)是R上的可導函數(shù)，當時，有,則函數(shù)的零點個數(shù)是( B )A.0 B.1 C. 2 D.3

5、【解析】由，得，構(gòu)造函數(shù)，則 ，當時，有,當時，即當時，此時函數(shù)單調(diào)遞增，此時，當時，此時函數(shù)單調(diào)遞減，此時，作出函數(shù)和函數(shù)的圖象，（直線只代表單調(diào)性和取值范圍），由圖象可知函數(shù)的零點個數(shù)為1個故選B三、構(gòu)造函數(shù)法解不等式例1.函數(shù)f(x)的定義域為R，f(1)2，對任意xR，則f(x)2x4的解集為()A(1,1) B(1，)C(，1) D(，)【解析】構(gòu)造函數(shù)G(x)f(x)2x4，所以，由于對任意xR，所以>0恒成立，所以G(x)f(x)2x4是R上的增函數(shù)，又由于G(1)f(1)2×(1)40，所以G(x)f(x)2x4>0，即f(x)>2x4的解集為(1，

6、)，故選B.變式1. 已知函數(shù)滿足，且，則的解集為（ ）A. B. C. D. 【解析】構(gòu)造新函數(shù),則，對任意，有，即函數(shù)在R上單調(diào)遞減，所以的解集為，即的解集為，選D.變式2.定義在上的函數(shù)，其導函數(shù)滿足，且，則關(guān)于的不等式的解集為 變式3.已知函數(shù)為定義在上的可導函數(shù)，且對于任意恒成立，且，則的解集為 變式4.函數(shù)的定義域是，對任意，則不等式的解集為（ A ）A. B. C. D. 例2 設(shè)是定義在R上的奇函數(shù)，且，當時，有恒成立，則不等式的解集是 解：因為當x0時，有恒成立，即0恒成立，所以在內(nèi)單調(diào)遞減因為，所以在（0，2）內(nèi)恒有；在內(nèi)恒有又因為是定義在R上的奇函數(shù)，所以在內(nèi)恒有；在內(nèi)恒

7、有又不等式的解集，即不等式的解集所以答案為（0，2）變式1. 已知定義在上的可導函數(shù)，其導函數(shù)為，且有，則不等式 的解集為（ C ）A B. C. D. 變式2.函數(shù)的定義域為R，對任意xR，都有成立，則不等式的解集為（ C ） A. B. C. D. 變式3. 設(shè)是定義在上的函數(shù)，其導函數(shù)為，若，,則不等式的解集為（ D ）A. B. C. D. 變式4.函數(shù)是定義在上的偶函數(shù),且時,則不等式的解集是_（提示：構(gòu)造的為奇函數(shù)，）例4設(shè)是上的可導函數(shù)，則不等式的解集為 變式1設(shè)分別是定義在上的奇函數(shù)、偶函數(shù)，當時，則不等式的解集為 .變式2已知上的函數(shù)滿足，且，若，則關(guān)于的不等式的解集為 .

8、變式3. 設(shè)奇函數(shù)定義在上，其導函數(shù)為，且，當時，則關(guān)于的不等式的解集為_.（提示：構(gòu)造的為偶函數(shù)）四、構(gòu)造函數(shù)法求值例1設(shè)是上的可導函數(shù)，且，.則的值為 .提示：由得，所以，即，設(shè)函數(shù)，則此時有，故，變式已知的導函數(shù)為，當時，且，若存在，使，則的值為 1 .（提示：構(gòu)造）例2已知定義在上的函數(shù)滿足，且，若有窮數(shù)列的前項和等于，則等于 5 .解： ，即函數(shù)單調(diào)遞減，0a1又，即 解得或a=2（舍去），即，數(shù)列是首項為，公比的等比數(shù)列，由，解得n=5。變式1 已知,都是定義在R上的函數(shù)，且（，且）。，若數(shù)列的前項和大于62，則的最小值為（ A ） A 8 B 7 C 6 D 5變式2已知、都是定義在R上的函數(shù)，在區(qū)間上隨機取一個數(shù)， 的值介于4到8之間的概率是（）A B C D解：由題意， '0，函數(shù)在R上是減函數(shù)，0a1 的值介于4到8，在區(qū)間上隨機取一個數(shù)x，的值介于4到8之間的概率是，故選A【模型總結(jié)】關(guān)系式為“加”型（1） 構(gòu)造（2） 構(gòu)造（3） 構(gòu)造（注意對的符號進行討論）關(guān)系式為“減”型（1） 構(gòu)造（2） 構(gòu)造（3） 構(gòu)造（注意對的符號進行討論）構(gòu)造函數(shù)法是在求