微分幾何陳維桓習(xí)題答案3

1、習(xí)題答案3p. 148 習(xí)題4.11. 求下列曲面的第二基本形式： (1)旋轉(zhuǎn)橢球面：； (2) 旋轉(zhuǎn)橢圓拋物面：；(3) 雙曲拋物面：；(4)一般柱面：；(5)劈錐曲面：. 解. (1) ，.又，.所以，.(2) ，.，. (3) ，.不妨設(shè). 則，.(4) ，.(5) ，. 2. 求下列曲面的第二基本形式：(3) ，是常數(shù). 解. 由條件知在曲面上，并且，即 . (1)因此是曲面的法向量. 不妨設(shè). 則單位法向量.于是由于，故曲面的第二基本形式為.如果由(1)解出，再代入上式可得 . 3. 求曲線的切線曲面的第二基本形式，其中s是該曲線的弧長(zhǎng)參數(shù). 解. 設(shè)正則曲線的曲率和撓率分別為，F(xiàn)r

2、enet標(biāo)架為，它的切線曲面的參數(shù)方程為.則，.，. 6. 證明：如果在可展曲面上存在兩個(gè)不同的單參數(shù)直線族，則是平面. 證明. 設(shè)可展曲面的參數(shù)方程為. 則沿著直母線的單位法向量是常向量，即. 所以第二類基本量中. 剩下的只要證明，從而由定理1.1，是平面.為此，設(shè)在上任一固定點(diǎn)，異于直母線的另一族直線中過(guò)該點(diǎn)的直線的弧長(zhǎng)參數(shù)方程為，并且. 則在處的單位切向量是，它不能與在的直母線的切向量平行，故. 另一方面，因?yàn)槭侵本€，有，即. 所以. 于是在點(diǎn)成立. 因?yàn)?，可? 由于點(diǎn)是任意的，可知. p. 157 習(xí)題4.21. 設(shè)懸鏈面的方程是，求它的第一、第二基本形式，并求它在點(diǎn)處沿切向量的法曲

3、率. 解. 不妨設(shè). 令，則，. (1)懸鏈面的方程可化為，于是，.，. 在點(diǎn)處，切向量中，曲面的法曲率. 注. 參數(shù)是懸鏈面的等溫坐標(biāo)，并且參數(shù)網(wǎng)是正交的曲率線網(wǎng). 此時(shí)，.4. 設(shè)曲面和曲面的交線為. 設(shè)p為曲線上一點(diǎn)，假定曲面和曲面在點(diǎn)p處沿曲線的切方向的法曲率分別是和. 如果曲面和曲面在點(diǎn)p處的法向量的夾角是，求曲線在點(diǎn)p處的曲率.解. 設(shè)在p點(diǎn)C的Frenet標(biāo)架為，曲率為，曲面的單位法向量分別為. 因?yàn)榫怪庇贑的切方向，所以它們共面. 不妨設(shè)繞著由到的有向角為，到的有向角為，. 令，. 則，.于是，.當(dāng)時(shí)，只有種情況：(1)，即. 此時(shí)，所以. 則 . (1)因此.化簡(jiǎn)得. 因此

4、.(2)，即或. 此時(shí)，或，所以. 則同理有， (2).當(dāng)(或)時(shí)，有(或)，從而(或). 此時(shí)(2)式(或(1)式)成為恒等式，無(wú)法確定. 7. 設(shè)是曲面上的一條非直線的漸近線，其參數(shù)方程為，其中s是弧長(zhǎng)參數(shù). 證明：的撓率是 .證明. 設(shè)曲面的參數(shù)方程為，單位法向量為. 設(shè)C的弧長(zhǎng)參數(shù)方程為，F(xiàn)renet標(biāo)架為，曲率為. 由于是上的漸近線，根據(jù)定理2.4，有，其中，. 根據(jù)Frenet公式， .利用Lagrange恒等式，可得.將，代入上式，得 . p. 166 習(xí)題4.31. 求拋物面在原點(diǎn)處的法曲率和主曲率.解. 曲面的參數(shù)方程為，故，.，所以在原點(diǎn)處，.不妨設(shè). 因?yàn)樵谠c(diǎn)處，且，所

5、以分別是法曲率的最大、最小值，因而是拋物面在原點(diǎn)的主曲率. 注. 在原點(diǎn)，從而根據(jù)下一節(jié)定理4.2立即可知主曲率是. 4. 證明：曲面上任意一點(diǎn)p的某個(gè)鄰域內(nèi)都有正交參數(shù)系，使得參數(shù)曲線在點(diǎn)p處的切方向是曲面在該點(diǎn)的兩個(gè)彼此正交的主方向. 證明. 根據(jù)第三章定理4.2，在上任意一點(diǎn)p的某個(gè)鄰域內(nèi)都有正交參數(shù)系. 假設(shè)這個(gè)正交參數(shù)系是. 如果p點(diǎn)是臍點(diǎn)，則任何方向都是主方向，從而這個(gè)正交參數(shù)系的參數(shù)曲線在點(diǎn)p處的切方向是曲面在該點(diǎn)的兩個(gè)彼此正交的主方向. 設(shè)p點(diǎn)不是臍點(diǎn). 則在點(diǎn)p處有兩個(gè)單位正交的主向量. 設(shè).作參數(shù)變換，.由于，上述參數(shù)變換是可允許的. 在新參數(shù)下，.特別在p點(diǎn)，有，是曲面在

6、p點(diǎn)的兩個(gè)彼此正交的單位主向量. 由于，參數(shù)系不一定是正交參數(shù)，只知道在p點(diǎn). 因此還要作一次參數(shù)變換，取-曲線及其正交軌線作為參數(shù)曲線. 考慮1次微分式. 根據(jù)常微分方程知識(shí)，存在積分因子使得是一個(gè)全微分，即有函數(shù)使得.現(xiàn)在作參數(shù)變換，. 則，參數(shù)變換是可允許的. 在新參數(shù)下，所以這說(shuō)明參數(shù)系是正交的. 因?yàn)樵趐點(diǎn)，有，所以是曲面在p點(diǎn)的兩個(gè)彼此正交的主方向. 5. 設(shè)在曲面S的一個(gè)固定點(diǎn)p的切方向與一個(gè)主方向的夾角為，該切方向所對(duì)應(yīng)的法曲率記為，證明：，其中. 證明. 根據(jù)Euler公式，. 所以有 . p. 175 習(xí)題4.42. 求旋轉(zhuǎn)面的高斯曲率，其中為平面曲線的弧長(zhǎng)參數(shù). 解. ，

7、 (1).因?yàn)榍媸钦齽t的，所以，不妨設(shè). 因?yàn)槭堑幕￠L(zhǎng)參數(shù)，所以， (2)其中是的相對(duì)曲率. 因此曲面的單位法向量為.所以，. (3)由(1)，(2)和(3)可知，.根據(jù)定理4.3，的主曲率為，Gauss曲率為. 4. 求雙曲拋物面的Gauss曲率，平均曲率，主曲率和它們所對(duì)應(yīng)的主方向. 解. 因?yàn)椋?.所以，.又，其中.因?yàn)椋? 于是，.因?yàn)?，所以主曲率?duì)應(yīng)的主方向?yàn)椋渲?所以.同理，另一個(gè)主曲率為，對(duì)應(yīng)的主方向?yàn)? 注. 由可知參數(shù)曲線網(wǎng)是漸近曲線網(wǎng)，而主方向是漸近方向的二等分角方向，所以主方向和是參數(shù)曲線的二等分角軌線方程的兩個(gè)根. 由此可得求解主曲率的另一方法：將分別代入，即

8、，得到對(duì)應(yīng)于主方向的主曲率，以及對(duì)應(yīng)于主方向的主曲率.6. 在曲面上每一點(diǎn)沿法線截取長(zhǎng)度為(足夠小的正數(shù))的一段，它們的端點(diǎn)的軌跡構(gòu)成一個(gè)曲面，稱為原曲面的平行曲面，其方程是，.從點(diǎn)到的對(duì)應(yīng)記為. (1) 證明：曲面和曲面在對(duì)應(yīng)點(diǎn)的切平面互相平行；(2) 證明：對(duì)應(yīng)把曲面上的曲率線映為曲面上的曲率線；(3) 證明：曲面和曲面在對(duì)應(yīng)點(diǎn)的Gauss曲率和平均曲率有下列關(guān)系：，.證明. (1) 因?yàn)椋?(1)所以.當(dāng)時(shí)，. 因此對(duì)每一點(diǎn)，存在該點(diǎn)的鄰域，使得當(dāng)足夠小時(shí)，從而是正則曲面. 由(1)可見(jiàn)，所以在對(duì)應(yīng)點(diǎn)和的切平面互相平行. (2) 設(shè)是上的任意一條曲率線. 則由Rodriques定理，有，

9、 (2)其中是曲面在點(diǎn)的主曲率. 對(duì)應(yīng)把上的曲率線映為曲面上的曲線，它的方程為.因此. (3)上面已經(jīng)證明了沿著，也是的單位法向量. 結(jié)合(2)和(3)可得. (4)根據(jù)Rodriques定理，也是上的曲率線. (3) 用和分別表示曲面和上的Weingarten變換. 設(shè)是曲面在任意一點(diǎn)的兩個(gè)主曲率，對(duì)應(yīng)于的主方向是. 則沿著該切方向，有.另一方面，沿著該切方向，有.所以在曲面上.這說(shuō)明是曲面在點(diǎn)的主方向，對(duì)應(yīng)的主曲率是.同理，曲面在點(diǎn)的另一個(gè)主曲率是.于是在對(duì)應(yīng)點(diǎn)，曲面的Gauss曲率和平均曲率分別為，. 注. 本題的結(jié)論是局部的：對(duì)每一點(diǎn)，為了保證是正則曲面，只能在該點(diǎn)的某個(gè)鄰域上，取足夠

10、小，才有這些結(jié)論. p. 184 習(xí)題4.53. 研究習(xí)題4.4中第5題的管狀曲面上各種類型點(diǎn)的分布情況. 解. 管狀曲面的參數(shù)方程為，其中是一條弧長(zhǎng)參數(shù)曲線，是它的Frenet標(biāo)架，是一個(gè)常數(shù). 設(shè)該參數(shù)曲線的曲率和撓率分別是和. 因?yàn)?，所以. 取充分小，使得，從而是正則曲面，單位法向量為.于是，.由于，并且，所以(1) 當(dāng)時(shí)，這些點(diǎn)是拋物點(diǎn). 它們構(gòu)成兩條正則曲線：和.由于，曲面上沒(méi)有平點(diǎn).(2) 當(dāng)時(shí)，這些點(diǎn)是橢圓點(diǎn).(3) 當(dāng)時(shí)，這些點(diǎn)是雙曲點(diǎn). p. 190 習(xí)題4.62.(1) 證明：是極小曲面，其中是常數(shù). 該曲面稱為Scherk曲面. (2) 證明：形如的極小曲面必定是Sch

11、erk曲面. (1) 證明. Scherk曲面的參數(shù)方程為. 故，.因此 ，.由于，所以，Scherk曲面是極小曲面. (2) 證明. 曲面的參數(shù)方程為. 故，.因此，.由得到，即.上式可化為 . (1)由于上式左邊是的函數(shù)，右邊是的函數(shù)，故只能是常數(shù). 設(shè)此常數(shù)為. 當(dāng)時(shí)，由(1)可知，其中是常數(shù). 于是該極小曲面是平面，其中. (不是Scherk曲面)下面設(shè). 由(1)得. 令，即. 則有.于是. 在軸方向作一平移，可設(shè). 從而，積分得.同理，由可得.于是 . 4. (1) 證明：正螺面是極小曲面. (2) 證明：形如的極小曲面必定是正螺面.(1) 證明. 因?yàn)?，所以?又，所以，.因此，正螺面是極小曲面. (2) 證明. 曲面的參數(shù)方程為. 故，.，.所以，.由得到，化簡(jiǎn)：，