微積分無窮級數(shù)

1、第七章 無窮級數(shù)一、本章的教學(xué)目標(biāo)及基本要求：（1） 理解常數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂、發(fā)散以及收斂級數(shù)的和的概念，掌握級數(shù)的基本性質(zhì)和收斂的必要條件。（2） 掌握幾何級數(shù)與p級數(shù)的收斂性。（3） 會用正項(xiàng)級數(shù)的比較審斂法、比值審斂法和根值審斂法，掌握正項(xiàng)級數(shù)的比值審斂法。（4） 會用交錯級數(shù)的萊布尼茨定理。（5） 了解無窮級數(shù)絕對收斂與條件收斂的概念，以及絕對收斂與條件收斂的關(guān)系。（6） 了解函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念。（7） 掌握冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法。（8） 了解冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的一些基本性質(zhì)，會求一些冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)，并會由此求出某些數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和。（9） 了解函

2、數(shù)展開為泰勒級數(shù)的充分必要條件。（10） 掌握函數(shù)的麥克勞林展開式，會用它們將一些簡單函數(shù)間接展開成冪級數(shù)。（11） 了解傅氏級數(shù)的概念以及函數(shù)展開成傅氏級數(shù)的狄利克雷定理，會將定義在上的函數(shù)展開成傅氏級數(shù)，會將定義在上的函數(shù)展開成正弦級數(shù)與余弦級數(shù)，會寫出傅氏級數(shù)的和的表達(dá)式。二、本章教學(xué)內(nèi)容的重點(diǎn)和難點(diǎn)：重點(diǎn)：無窮級數(shù)的收斂與發(fā)散，正項(xiàng)級數(shù)的審斂法，冪級數(shù)的收斂半徑與收斂區(qū)間的求法難點(diǎn)：正項(xiàng)級數(shù)的審斂法，冪級數(shù)展開，傅立葉級數(shù)展開§7.1常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念及性質(zhì)一、內(nèi)容要點(diǎn)1、常數(shù)項(xiàng)級數(shù)概念： 常數(shù)項(xiàng)級數(shù)、部分和、級數(shù)的收斂與發(fā)散、余項(xiàng)；2、收斂級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件： 性

3、質(zhì)1：若級數(shù)收斂于和s，則級數(shù)也收斂，且其和為ks(證明) 性質(zhì)2：若級數(shù)、分別收斂于和s、s，則級數(shù)也收斂，且其和為s±s(證明) 性質(zhì)3：在級數(shù)中去掉、加上或改變有限項(xiàng)，不會改變級數(shù)的收斂性(證明) 性質(zhì)4：若級數(shù)收斂，則對這級數(shù)的項(xiàng)任意家括號后所成的級數(shù)仍收斂，且其和不變(證明)；性質(zhì)5(級數(shù)收斂的必要條件)：若級數(shù)收斂，則它的一般項(xiàng)un趨于零，即(證明)；一、 概念定義:設(shè)已給定數(shù)列, ,稱形式加法+為無窮項(xiàng)數(shù)項(xiàng)級數(shù).簡稱數(shù)項(xiàng)級數(shù),又稱級數(shù).記為, 即 =+, 其中稱為一般項(xiàng).將其前項(xiàng)的和: =+稱為級數(shù)的前項(xiàng)的部分和,或簡稱部分和.注1: 由上我們便得到一個數(shù)列, ,從形式

4、上不難知道 =,以前我們學(xué)過數(shù)列的收斂與發(fā)散,進(jìn)而就不難得出級數(shù)的收斂與發(fā)散的概念.換而言之,有限個數(shù)相加為一數(shù),無窮多個數(shù)相加是否仍為一個數(shù)呢?定義: 當(dāng)時,若部分和數(shù)列有極限,即 =,就稱常數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂,且稱為其和,并記為: =+ , 若數(shù)列沒有極限,就稱發(fā)散.注1: 當(dāng)級數(shù)收斂時,其部分和又可看成為的近似值. 兩者之差 =+ 稱為級數(shù)的余項(xiàng).用代替所產(chǎn)生的誤差就是它的絕對值,即 .注2: 到目前為止,已了解的級數(shù)的基本概念,特別了解了級數(shù)的收斂與發(fā)散性(斂散性)是由其部分和數(shù)列的斂散性所決定的.確切地說,兩者斂散性是相同的.為此,可把級數(shù)看成是數(shù)列的一種表現(xiàn)形式.如設(shè)為一數(shù)列,令=,=,

5、=, , 則 這樣就由一數(shù)列產(chǎn)生一個級數(shù).可見數(shù)列與級數(shù)可以相互轉(zhuǎn)化.例1 討論一個簡單級數(shù)幾何級數(shù)(等比級數(shù)):的斂散性.其中解: 我們先考慮其部分和: = 利用中學(xué)知識,得 = (時)(I) 當(dāng)時,由于 =, 故幾何級數(shù)收斂,且收斂于.(II) 當(dāng)時,由于=不存在,故此時幾何級數(shù)發(fā)散.(III) 當(dāng)時,此時幾何級數(shù)為: ,=()此時級數(shù)發(fā)散.(IV) 當(dāng)時,級數(shù)為,=, 不存在.故此時級數(shù)發(fā)散. 綜上所述,幾何級數(shù)在時收斂,在時發(fā)散.例2 證明級數(shù)收斂.證: 首先,由于 = =+ = = = 原級數(shù)收斂,且收斂于.例3 證明調(diào)和級數(shù)發(fā)散.證: = =+ + =當(dāng)時,.顯然不存在. 故原級數(shù)

6、發(fā)散.一、 性質(zhì)性質(zhì)1: (收斂的必要條件) 收斂的級數(shù)的一般項(xiàng)極限為0.即 收斂,則.證: 設(shè)收斂于. 即=. 注1: 若反之,則不一定成立.即, 原級數(shù)不一定收斂. 如調(diào)和級數(shù)發(fā)散,但.注2: 收斂的必要條件常用來證明級數(shù)發(fā)散.即若,則原級數(shù)一定不收斂.性質(zhì)2: 在級數(shù)前增加或去掉有限項(xiàng),不改變級數(shù)的斂散性.但在級數(shù)收斂時,其和可能改變.證: +的部分和序列為 +的部分和序列為.則 , 由于為有限數(shù),則為一個有限數(shù).則 與同斂散. 若原級數(shù)收斂,則=. 則收斂. 即+收斂 若原級數(shù)發(fā)散,則不存在, 故也不存在. 則發(fā)散. 即+發(fā)散.性質(zhì)3: 若級數(shù)收斂于,則它的各項(xiàng)都乘以一常數(shù)所得的級數(shù)收

7、斂于.即=性質(zhì)4: 若級數(shù)和分別收斂于和,則級數(shù)收斂于.注1: 稱為級數(shù)與的和與差.注2: 若級數(shù)和之中有一個收斂,另一個發(fā)散,則發(fā)散.若兩個都發(fā)散,情況又如何呢?思考.性質(zhì)5: 收斂級數(shù)加括號后(不改變各項(xiàng)順序)所產(chǎn)生的級數(shù)仍收斂于原來級數(shù)的和.注1:這里所謂加括號,就是在不改變各項(xiàng)的順序的情況下,將其某項(xiàng)放在一起作為新的項(xiàng),而產(chǎn)生的級數(shù).當(dāng)然,加括號的方法是有無窮多種的.注2: 若級數(shù)在加括號后所得的級數(shù)發(fā)散,那么原級數(shù)發(fā)散.但是,某級數(shù)在加括號后所得的級數(shù)收斂,則原級數(shù)未必收斂.也就是說:發(fā)散的級數(shù)加括號后可能產(chǎn)生收斂的級數(shù).例如: 是發(fā)散的, 但 是收斂的.注3: 由此知,級數(shù)加括號與

8、不加括號時的斂散性是不盡相同的,后面我們要講它們有相同斂散性時的情況.例4 判別級數(shù)的斂散性.解: 因級數(shù)與級數(shù)均收斂,由性質(zhì)4可知=+ 收斂.§7.2常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的審斂法一、內(nèi)容要點(diǎn) 正項(xiàng)級數(shù)及其審斂法： 1正項(xiàng)級數(shù)的概念； 2基本定理：正項(xiàng)級數(shù)收斂的充分必要條件是：它的部分和數(shù)列sn有界(證明) 3比較審斂法：設(shè)和都是正項(xiàng)級數(shù)，且un £ vn (n = 1, 2, )若級數(shù)收斂，則級數(shù)收斂；反之，若級數(shù)發(fā)散，則級數(shù)發(fā)散(證明)推論：設(shè)和都是正項(xiàng)級數(shù)，如果級數(shù)收斂，且存在自然數(shù)N，使當(dāng)n ³ N時有un £ kvn (k > 0)成立，則級數(shù)收斂

9、；如果級數(shù)發(fā)散，且當(dāng)n ³ N時有un ³ kvn (k > 0)成立，則級數(shù)發(fā)散 4比較審斂法的極限形式：設(shè)和都是正項(xiàng)級數(shù)，(1) 如果，且級數(shù)收斂，則級數(shù)收斂； (2) 如果或，且級數(shù)發(fā)散，則級數(shù)發(fā)散(證明)5比值審斂法(達(dá)朗貝爾判別法)：設(shè)為正項(xiàng)級數(shù)，如果，則當(dāng)r < 1時級數(shù)收斂；r > 1(或)時級數(shù)發(fā)散；r = 1時級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散(證明)；6根值審斂法(柯西判別法)：設(shè)為正項(xiàng)級數(shù)，如果，則當(dāng)r < 1時級數(shù)收斂；r > 1(或)時級數(shù)發(fā)散；r = 1時級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散(證明)；7極限審斂法：設(shè)為正項(xiàng)級數(shù)，(1) 如果(

10、或)，則級數(shù)發(fā)散； (2) 如果p>1，而，則級數(shù)收斂(證明)交錯級數(shù)及其審斂法:1交錯級數(shù)的概念：2萊布尼茨定理：如果交錯級數(shù)滿足條件：(1) un ³ un + 1 (n = 1, 2, 3, )； (2) 則級數(shù)收斂，且其和s £ u1，其余項(xiàng)rn的絕對值| rn | £ un + 1 (證明)絕對收斂與條件收斂： 1. 絕對收斂與條件收斂的概念； 2. 定理：如果級數(shù)絕對收斂，則級數(shù)必定收斂(證明)一、 教學(xué)要求和注意點(diǎn)（略）前面所講的常數(shù)項(xiàng)級數(shù)中,各項(xiàng)均可是正數(shù),負(fù)數(shù)或零.正項(xiàng)級數(shù)是其中一種特殊情況.如果級數(shù)中各項(xiàng)是由正數(shù)或零組成,這就稱該級數(shù)為正

11、項(xiàng)級數(shù).同理也有負(fù)項(xiàng)級數(shù).而負(fù)項(xiàng)級數(shù)每一項(xiàng)都乘以后即變成正項(xiàng)級數(shù),兩者有著一些相仿的性質(zhì),正項(xiàng)級數(shù)在級數(shù)中占有很重要的地位.很多級數(shù)的斂散性討論都會轉(zhuǎn)為正項(xiàng)級數(shù)的斂散性.設(shè)為一正項(xiàng)級數(shù), 為其部分和.顯然部分和序列是一個單調(diào)上升數(shù)列.由此不難得下面的定理.定理: 正項(xiàng)級數(shù)收斂有界.證: “” 收斂收斂有界. “” 有界,又是一個單調(diào)上升數(shù)列存在收斂.定理1(比較審斂法) 設(shè)與是兩個正項(xiàng)級數(shù),且 .那么1) 如果收斂,則收斂.2) 如果發(fā)散,則發(fā)散. 證: 設(shè)和分別表示和的部分和,顯然由(1) 收斂有界有界也收斂.(2) 發(fā)散無界無界也發(fā)散.推論: 設(shè)兩個正項(xiàng)級數(shù)與,如果對于(為某一自然數(shù))的,

12、恒成立不等式(的常數(shù)),則利用級數(shù)的性質(zhì)及定理1的證明方法仍可得定理1的結(jié)論.例1: 討論-級數(shù) 的斂散性.其中常數(shù).解 (1) 當(dāng)時,因,而發(fā)散, =發(fā)散 (2) 當(dāng)時,對于任意實(shí)數(shù),總存在自然數(shù),使得 ,因此, ,于是 = =<.這表明有上界,又單調(diào)上升,故存在-級數(shù) 收斂. 綜上所述,當(dāng)時, -級數(shù)發(fā)散;當(dāng)時-級數(shù)收斂.例2 若正項(xiàng)級數(shù)收斂,則 (1) 收斂, (2)收斂, (3)收斂.證: (1)由, 由于正項(xiàng)級數(shù)收斂,則由比較審斂法, 知收斂 (2), 由于正項(xiàng)級數(shù)收斂,收斂,則收斂, (3)由于收斂,則,則,當(dāng)時,從而,則由比較審斂法,則收斂.比較審斂法的極限形式: 設(shè)兩個正

13、項(xiàng)級數(shù)與,如果存在極限:(1) 當(dāng),則級數(shù)與同時收斂或同時發(fā)散.(2) 當(dāng)時,如果收斂,則級數(shù)必收斂.(3) 當(dāng),如果發(fā)散,則必發(fā)散.證: 1)因,根據(jù)極限的定義,對于,必存在正整數(shù),當(dāng)時,恒成立不等式,即 由比較審斂法的推論可知兩級數(shù)同時收斂,或同時發(fā)散.2) ,即,則存在,當(dāng)時,得 ,由比較審斂法知,如果級數(shù)收斂,則級數(shù)必收斂.3) ,即,則存在,當(dāng)時, ,得 ,比較審斂法知,當(dāng)發(fā)散,則必發(fā)散.例3 證明收斂.證: 由,又 收斂,則由比較審斂法的極限形式 收斂定理2: (達(dá)朗貝爾DAlembert判別法) 設(shè)正項(xiàng)級數(shù),如果極限,則1) 當(dāng)時,級數(shù)收斂;2) 當(dāng)或時,級數(shù)發(fā)散.3) 當(dāng)時,法

14、則失效. (證明略)注1: 習(xí)慣上,我們也稱達(dá)朗貝爾判別法為比值審斂法.例4 證明收斂.證: , 由達(dá)朗貝爾判別法知, 原級數(shù)收斂.例5 討論 ()的斂散性.解: 當(dāng)時, 由比值審斂法知,原級數(shù)收斂. 當(dāng)時, 由比值審斂法知,原級數(shù)發(fā)散. 當(dāng)時,判別法失效.但此時原級數(shù)= 發(fā)散. 時,原級數(shù)收斂.;時,原級數(shù)發(fā)散.定理3: (Cauchy判別法) 設(shè)為正項(xiàng)級數(shù),如果,則1) 當(dāng)時,級數(shù)收斂;2) 當(dāng)(或?yàn)?時,級數(shù)發(fā)散.3) 當(dāng)時,法則失效. (證明略)注1:習(xí)慣上,我們稱 Cauchy判別法為根值審斂法.例6 證明收斂.證: ,故由根值審斂法知,原級數(shù)收斂. 任意項(xiàng)級數(shù)的斂散性一、 交錯級數(shù)

15、及其審斂法交錯級數(shù)又稱萊布尼茲級數(shù),它具有下列形式:或,其中 定理1: (萊布尼茲判別法) 若交錯級數(shù)滿足:1) , 2) 則級數(shù)收斂,其和,余項(xiàng)的絕對值.證: 先考察交錯級數(shù)前項(xiàng)的和,并寫成,或 根據(jù)條件(1)可知:是單調(diào)增加的,且,即有界,故 再考察級數(shù)的前項(xiàng)的和,顯然,由條件(2),得最后,由于,得 ,即交錯級數(shù)收斂于,且,其余項(xiàng)的絕對值仍為收斂得交錯級數(shù),所以 .例1 證明交錯級數(shù)收斂.證: (1) , (2) .由上述定理知, 交錯級數(shù)收斂.且其和.一、 任意項(xiàng)級數(shù)的絕對收斂與條件收斂定義1: 設(shè)有級數(shù),其中()為任意實(shí)數(shù),這樣的級數(shù)稱為任意項(xiàng)級數(shù).定義2: 設(shè)為任意項(xiàng)級數(shù),其各項(xiàng)的

16、絕對值組成的級數(shù)收斂,就稱絕對收斂;若收斂,但不收斂,就稱為條件收斂.定理2: 若任意項(xiàng)級數(shù)絕對收斂,則收斂.證: 因,且級數(shù)收斂,由正項(xiàng)級數(shù)的比較判別法知,級數(shù)收斂,再由級數(shù)的性質(zhì)4知級數(shù) = 收斂.注1: 定理2反之則不一定成立.如: 收斂,但為調(diào)和級數(shù)是發(fā)散的.例2 證明 =對都是絕對收斂的.證: 下面我們?nèi)R證明是收斂的.事實(shí)上,對, =.由比值判別法知, 是收斂的,所以 對都是絕對收斂的.例3 證明在時為條件收斂,而在時為絕對收斂.證: 首先,我們知道為一個萊布尼茲級數(shù),且有當(dāng)時,單調(diào)下降趨于零.故對,原級數(shù)總是收斂的. 其次,考慮其絕對值級數(shù),也就是-級數(shù).由上一節(jié)的例1的結(jié)果知,當(dāng)

17、時發(fā)散, 時收斂. 綜上所述, 在時為條件收斂,而在時為絕對收斂.絕對收斂的級數(shù)的幾個注釋:注1: 絕對收斂的級數(shù)不因?yàn)楦淖兤漤?xiàng)的位置而改變其和.這也叫級數(shù)的重排.對于一般的級數(shù)則不成立.如=, 而 注 2: 對于級數(shù)的乘法,我們規(guī)定兩個級數(shù)按多項(xiàng)式乘法規(guī)則形式地作乘法:其中.如果兩個級數(shù)與都絕對收斂,則兩個級數(shù)相乘所得到的級數(shù)也絕對收斂.且當(dāng),時, .若;兩個級數(shù)不絕對收斂,則不一定成立.§7.3冪級數(shù)一、內(nèi)容要點(diǎn)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念： 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)、部分和、收斂點(diǎn)、發(fā)散點(diǎn)、收斂域、發(fā)散域、和函數(shù)冪級數(shù)及其收斂性：1冪級數(shù)的概念； 2冪級數(shù)的收斂性： (1) 定理1(阿貝爾(Abel)定

18、理) 如果級數(shù)當(dāng)x = x0(x0 ¹ 0)時收斂，則適合不等式| x | < | x0 |的一切x使這冪級數(shù)絕對收斂反之，如果級數(shù)當(dāng)x = x0時發(fā)散，則適合不等式| x | > | x0 |的一切x使這冪級數(shù)發(fā)散(證明) 推論：如果冪級數(shù)不是僅在x = 0一點(diǎn)收斂，也不是在整個數(shù)軸上都收斂，則必有一個確定的正數(shù)R存在，使得 當(dāng)| x | < R時，冪級數(shù)絕對收斂; 當(dāng)| x | > R時，冪級數(shù)發(fā)散；當(dāng)x = R或x = -R時，冪級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散 (2) 冪級數(shù)的收斂半徑與收斂區(qū)間的概念； (3) 冪級數(shù)的收斂半徑的求法: 定理：如果，其中an、a

19、n + 1 是冪級數(shù)的相鄰兩項(xiàng)的系數(shù)，則這冪級數(shù)的收斂半徑 (證明).3冪級數(shù)的運(yùn)算： 冪級數(shù)的加法、減法、乘法、除法； 4冪級數(shù)的和函數(shù)的性質(zhì)：性質(zhì)1：冪級數(shù)的和函數(shù)s(x)在其收斂域I上連續(xù)性質(zhì)2：冪級數(shù)的和函數(shù)s(x)在其收斂域I上可積，并有逐項(xiàng)積分公式逐項(xiàng)積分后所得到的冪級數(shù)和原級數(shù)有相同的收斂半徑性質(zhì)3：冪級數(shù)的和函數(shù)s(x)在其收斂區(qū)間(-R , R)內(nèi)可導(dǎo)，并有逐項(xiàng)求導(dǎo)公式逐項(xiàng)求導(dǎo)后所得到的冪級數(shù)和原級數(shù)有相同的收斂半徑二、 教學(xué)要求和注意點(diǎn)一、 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)地一般概念前面講過常數(shù)項(xiàng)級數(shù),其各項(xiàng)均為一個常數(shù).若講各項(xiàng)改變?yōu)槎x在區(qū)間I上的一個函數(shù),便為函數(shù)項(xiàng)級數(shù).設(shè) , 是定義在區(qū)

20、間I上的函數(shù),序列,是一個函數(shù)列,對于I上某一固定的點(diǎn),它為一數(shù)列,對另外一點(diǎn),它又為另外一個數(shù)列.將其各項(xiàng)相加,便得式子:, (1)簡記為.稱為定義在I上的函數(shù)項(xiàng)級數(shù).注: 事實(shí)上,我們已經(jīng)接觸過函數(shù)項(xiàng)級數(shù)了,只不過出現(xiàn)的形式不同.如-級數(shù),等等.對于I 處,上述函數(shù)項(xiàng)級數(shù)即為一個常數(shù)項(xiàng)級數(shù):= (2)若級數(shù)(2)收斂,就稱是函數(shù)項(xiàng)級數(shù)(1)的一個收斂點(diǎn); 若級數(shù)(2)發(fā)散,就稱是函數(shù)項(xiàng)級數(shù)(1)的一個發(fā)散點(diǎn).顯然,對于,不是收斂點(diǎn),就是發(fā)散點(diǎn),二者必居其一.所有收斂點(diǎn)的全體稱為函數(shù)項(xiàng)級數(shù)(1)的收斂域, 所有發(fā)散點(diǎn)的全體稱為函數(shù)項(xiàng)級數(shù)(1)的發(fā)散域.若對于I中的每一點(diǎn),級數(shù)(2)均收斂,就

21、稱函數(shù)項(xiàng)級數(shù)(1)在I上收斂.對于收斂域中的每一個點(diǎn),函數(shù)項(xiàng)級數(shù)為一個收斂的常數(shù)項(xiàng)級數(shù),且對于不同的點(diǎn),收斂于不同的數(shù)(和).因此,在收斂域上,函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和是點(diǎn)的函數(shù).記為.則=. 又稱為和函數(shù).若將其部分和函數(shù)記為, 則.同理,稱為的余項(xiàng).為代替時的誤差.顯然,也有 (為收斂域中任一點(diǎn))二、冪級數(shù)及其收斂性冪級數(shù)是函數(shù)項(xiàng)級數(shù)中的最簡單的一種,它具有下列形式:(3) ,其中叫做冪級數(shù)的系數(shù).顯然,冪級數(shù)在上都有定義.從冪級數(shù)的形式不難看出,任何冪級數(shù)在處總是收斂的.而對的點(diǎn)處,冪級數(shù)的斂散性如何呢?先看下列定理.定理1(阿貝爾Abel定理) 設(shè)冪級數(shù) = (3)若冪級數(shù)(3)在處收斂,則對于

22、滿足條件的一切,級數(shù)(3)絕對收斂.反之,若它在時發(fā)散,則對一切適合不等式的,級數(shù)(3)發(fā)散.證: 收斂 = , 對,有又 當(dāng)時, 收斂. 收斂.絕對收斂.第二部分用反證法即可.(自證)由定理1不難知: 設(shè)為任一收斂點(diǎn),為任一發(fā)散點(diǎn).則必有。若將收斂點(diǎn)處染成蘭色,發(fā)散點(diǎn)處染成紅色,顯然蘭點(diǎn)必集中在原點(diǎn)附近,R上其它點(diǎn)就是紅點(diǎn).這樣,蘭色與紅色就必有一個分界點(diǎn).從而有: 推論:如果冪級數(shù)(3)不是在上每一點(diǎn)都收斂,也不是只在處收斂,那么必存在一個唯一的正數(shù)R,使得:(1) 當(dāng)時,冪級數(shù)(3)收斂;(2) 當(dāng)時,冪級數(shù)(3)發(fā)散;(3) 當(dāng)或,冪級數(shù)(3)可能收斂,也可能發(fā)散.可由此得冪級數(shù)(3)

23、的收斂域是一個以原點(diǎn)為中點(diǎn)的區(qū)間,稱為冪級數(shù)(3)的收斂區(qū)間.區(qū)間的半徑為R,故R稱為收斂半徑.而收斂區(qū)間可能是開的,可能是閉的,也可能是半開半閉的.若冪級數(shù)(3)在上每一點(diǎn)都收斂,就規(guī)定R=;若冪級數(shù)(3)僅在處收斂,就規(guī)定R=.下面來求R.定理2: 設(shè)冪級數(shù),其系數(shù)當(dāng)時(為某一個正整數(shù)),且存在極限則 (1) 當(dāng)時,收斂半徑; (2) 當(dāng)時,收斂半徑; (3) 當(dāng)時,收斂半徑.證: 當(dāng)時級數(shù)必收斂.下面考察的情形,對冪級數(shù),各項(xiàng)取絕對值,組成級數(shù)= (5)對級數(shù)(5)直接用比值審斂法,得 .(1) 如果,則當(dāng),即 時,級數(shù)(5)收斂,從而級數(shù)收斂,即絕對收斂;當(dāng)時,即時,從某一個n開始,有

24、,因此,級數(shù)(5)的通項(xiàng)當(dāng)時不趨于零.所以當(dāng)時也不趨于零,從而級數(shù)發(fā)散.于是得收斂半徑=.(2) 當(dāng)時,則對任一,因此對任一(包括)級數(shù)(5)收斂,從而級數(shù)(3)絕對收斂,于是收斂半徑.(3) 當(dāng),對一切及充分大的n,都有,此時, =,則當(dāng)n趨向無窮大時冪級數(shù)(3)的一般項(xiàng)不趨于零,從而級數(shù)(3)也必發(fā)散,于是得.例1 求冪級數(shù)的收斂半徑與收斂區(qū)間.解: 收斂半徑為. 又當(dāng)時,收斂, 絕對收斂.收斂區(qū)間為例2 求的收斂半徑及收斂區(qū)間.解: , 收斂區(qū)間為原點(diǎn).例3 求的收斂區(qū)間.解: 觀察冪級數(shù)的形式發(fā)現(xiàn), 是缺項(xiàng)級數(shù).那么就不能直接利用定理2求級數(shù)的收斂半徑.方法一: 令,所給級數(shù)變?yōu)?收斂

25、半徑故級數(shù)當(dāng)時收斂; 當(dāng)時發(fā)散.當(dāng)或時,級數(shù)分別為及,前者發(fā)散,后者收斂,因此的收斂域?yàn)?因,所以 當(dāng)時,原級數(shù)收斂; 當(dāng)時,原級數(shù)發(fā)散. 收斂區(qū)間為.方法二:對原級數(shù)直接用比值審斂法.當(dāng)時,原級數(shù)收斂; 當(dāng)時,原級數(shù)發(fā)散 收斂區(qū)間為.例4 求的收斂區(qū)間.解: 同上題,可用兩種解法,方法一: 令,所給級數(shù)轉(zhuǎn)化為收斂半徑 .故級數(shù) 當(dāng)當(dāng)時收斂; 當(dāng)時發(fā)散; 當(dāng)或時,級數(shù)分別為和, 前者發(fā)散, 后者收斂. 故的收斂域?yàn)?又, 所以. 收斂區(qū)間為.方法二:直接用比值審斂法.這里就不詳細(xì)的講了,可參照本節(jié)例3的方法來解.三、冪級數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)定理3:設(shè)冪級數(shù)和的收斂半徑分別為和(均為正數(shù)) ,取,則在區(qū)

26、間內(nèi)成立:1) 加法與減法: =2) 乘法:.定理4: 設(shè)冪級數(shù)在內(nèi)的和函數(shù),則1) 在內(nèi)連續(xù).若冪級數(shù)在(或)也收斂,則在處左連續(xù)(或在處右連續(xù)).2) 在內(nèi)每一點(diǎn)都是可導(dǎo)的,且有逐項(xiàng)求導(dǎo)公式: 求導(dǎo)后的冪級數(shù)與原冪級數(shù)有相同的收斂半徑.3) 在內(nèi)可以積分,且有逐項(xiàng)積分公式: ,其中是內(nèi)任一點(diǎn),積分后的冪級數(shù)與原級數(shù)有相同的收斂半徑.注1: 若逐項(xiàng)求導(dǎo)或逐項(xiàng)積分后的冪級數(shù)在或處收斂,則或?qū)蛱幰渤闪?注2: 反復(fù)應(yīng)用結(jié)論2)可得:冪級數(shù)的和函數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù).例5 證明.證: 不難知 .逐項(xiàng)從0到進(jìn)行積分,得 = 上式右端級數(shù)對也收斂.由注1知,令上式成立.=例6 求的和函數(shù)以及

27、收斂半徑.解: 令=, =.顯然 =. 現(xiàn)在對求積分:. 令, 又對求積:. 顯然的和函數(shù)為,收斂半徑為1,進(jìn)而由性質(zhì)2,3知的收斂半徑也為1.下求和函數(shù)由=. 即為所求和函數(shù).§7.4函數(shù)展開成冪級數(shù) 一、內(nèi)容要點(diǎn)泰勒級數(shù)(Taylor) 1泰勒級數(shù)和麥克勞林級數(shù)的概念；2定理：設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某一鄰域U(x0)內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù)，則f(x)在該鄰域內(nèi)能展開成泰勒級數(shù)的充分必要條件是f(x)的泰勒公式中的余項(xiàng)Rn(x)當(dāng)n®¥時的極限為零，即 (證明)函數(shù)展開成冪級數(shù)的方法：1直接展開法: 例1 (e x的展開)；例2 (sinx的展開)2間接展開法：例3

28、(ln(1+x)的展開)，例4 (cosx的展開) , 例5例9近似計(jì)算： 例1 例3；歐拉(Euler)公式： (1) 復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念：復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)、復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂與絕對收斂； (2) 歐拉(Euler)公式：eix = cosx + I sinx .二、 教學(xué)要求和注意點(diǎn)（略）說明1：這部分只強(qiáng)調(diào)應(yīng)用，理論分析不必說得太多，多了反而容易產(chǎn)生不必要的問題。說明2：用冪級數(shù)運(yùn)算求級數(shù)和、求解微分方程的題型可適當(dāng)?shù)囟噙x些。一、泰勒(Tayler)級數(shù)以前我們學(xué)過一個函數(shù)的泰勒公式,具體是:如果在點(diǎn)的某一個鄰域內(nèi)具有直到n+1階的導(dǎo)數(shù),則有其n階泰勒公式: =其中 為Lagrange型余項(xiàng): ,介于與之間.換而言子,就是用代替時所產(chǎn)生的誤差.如果隨著n的增大,誤差越來越小,則說明近似代替的效果越來越佳.特別地,若在的某一個鄰域內(nèi)具有各階的導(dǎo)數(shù), ,且其余項(xiàng)有,則有.即 從而 .=這時說明可以用來精確表示.反之,若可以用