反應擴散方程簡介_圖文

1、 研 究 不 同 的 物 理 化 學 生 物 現(xiàn) 象 的 量 的 規(guī)律 時 它 們 遵 從 某 種 意 義 下 相 同 的 數(shù) 學 方 程 , 、 、 一 當 數(shù) 學 模 型 形 成 那 末 就 要 求數(shù) 學 家 們 對 這 些 數(shù) 學 問 題 進 行 研 究 作 出 回 答 , 、 包括 提 出合 適 的 計 算 方 法 去 計 算 出靠 得 住 的 數(shù) 值 結 果 , 這 是 向 數(shù) 學 提 出的 巨 大 挑 戰(zhàn) 反 應擴 散 方 程 的 數(shù) 學 理 論 拋 物 型 方程 的 定性 理 論 從 偏 微分 方程 的 角度 來看 程組 , 反應擴 散方程組 、 就 是 一 類半 線 性 或 擬

2、 線 性 拋 物 型 方 , 所 謂 反 應 擴 散 方 程 的 數(shù) 學 理 論 就 是 在 各 種 初 邊 值 條件 下 求 解 這 類 拋 物 型 方 程 組 并 回 答 當時 間 增 長 時 這 些 解 的 行 為 計 我 們 僅 以方 程 , 具 體 說 我 們 可 以 分成 以 下 幾 個 問 題 來 講 , 為簡單 , 為例進行說 明 整體 解 的 存 在 唯 一 性 所 謂 整 體 解 或 叫 全 局 解 指 的是 對 一 切 例 如對于 任 給 。 都 存在 的解 回答 是 否 定 的 , , 。 問題是 的特 中的 , “ , 是 否 整 體 解 都 存在 呢 例 如考慮 殊

3、形 式 的 解 “ , 三 “ 習 這時 , 變成 一 個 常 微 分 方 程 一 矛 “ 子 、 咬 、 “ , 卜 咖 。 我 們 只考 慮初值 問題 即 , 、 戶 若 。 , “ “ , 則 易知 解 為 一 顯然 當 了 ” , 一 。 時 , 一 , 用 微 分 方 程 的 術 語 來說 “ 在 有 限 時 間 內(nèi)爆 炸 , 這 就 是 說不可 能 有整 體 解 又若 公 “ 一 “ , 則 “ 二 顯 然是 一 解 但可 驗 證 對 于 任 何 勺 性 了 、 。 , 簇 一 , 毛 , 了 , “ 一 戶一 了 妻 丫 戶一 一 “ 也 是 解 因而 有 無 窮 多 個 整 體

4、 解 , 也就是 說整 體解 不唯一 讀 者在 【 、 , 中可 以 找 到 更 多的 有 說 服 力的 例 子 對于 或 更 復 雜一 些 方 程 的 各 種 初 邊 值 問 題 的整 體 解 的 存 在 唯 一 性 的 充 分 條件 , 得 到 了較多的研究 但 對 于方 程 組 的 研 究 還 很 少 有 些 對 單 個 方 程 行 之 有 效 的 方 法 如 最 為 證 明方 程 組 的 各 種 初 邊 值 問 題 的 整 體 解 、 大 值 原 理 的方 法 對 方 程 組就不 一 定有 效 了 的存在唯一性 還需要發(fā) 展更 好 的方法 波動 性和 趨 于 平衡性 眾 所 周 知 雙

5、 曲 型方 程 的 代 表 一 維 弦 振 動 方 程 , 口 口“ 口了 可 以有 形 為 , “ 士 的行波解 這 反 映 了 用 弦 振 動方 程 來 描 述 的 物 理 現(xiàn) 象 具 有 波 動 的 性 質(zhì) 士 ” 表示波 的傳播 速率 而 , “ 號則 表 示波 的 傳播方 向 而 對 于 線性 拋 物 型 方 程 的 典 型代 表 巫一絲 己 刁 , 一 , 熱傳導方程 二 , , 的 初值 問題 , 甲 幻 一 , 若 甲 勸 有界 , 易證 不 可 能 有行 波 解 這 就 是 說 熱 傳 導 方 程所 代 表 的 物理 現(xiàn) 象不 具有波 , 動的性 質(zhì) 的解 趨 于 但是 在

6、有 限 區(qū) 間 上 的 解 卻 具 有 趨 于 平 衡 的性 質(zhì) 即當 , 時 , 在 同一 區(qū) 間 上 的 解 武 幻 在 有 限區(qū) 間上 正 好表 示 一種 平 衡狀 態(tài) 為 說 明這 一 點 , 讓我 們 以初 邊 值 問題 、 蓄 , 加 一 護“ 蘇 , 一 甲 , , ” , , 幻 , , 一 , , “ 的解 , 為 例 來說 明 的解 幻 三 利用 。 方 法 或 最 大 值原 理 易證 當 , , ” 時 , 趨 于 在 , 即 螟一 萬 。 , 、 。 一 , 一 。的 解 , 、 因而 , 中列 舉 的 物 理 學 化 學 和 生 物 學 的 許 多 例 子 中 從 實

7、 驗 上 都 觀 察 到 振 動 的 現(xiàn) 象 又 觀 察到 當 , 、 關于時 間和 空 間 的振 動 數(shù)學上 , 增 加時 有趨 于 某 種 平 衡 的 現(xiàn) 象 、 作為 反 映 這 些 例 子 的 主 要 數(shù) 量 特 征 的 微 分 方 程 的 各 種 初 邊 值 問 題 就 應 該 兼 具上 述 兩 種 特 性 從 年 “ 和 一 , , , 第一 次 證 明形 為 的反 應擴 散方程 例 如 可 以有 行 波 解 。 “ “ 心 他 們 的工 作 也 可 以 說 是 開 創(chuàng) 了反 應 擴 散 方 程 嚴 格 的 數(shù) 學 理 論 口 他 們 研 究 過 的方 程 一 , 生 口 絲 十

8、現(xiàn)在 稱為 方程或 七 方程 平 衡 解 的 結 構 穩(wěn) 定 性 問 題 分歧 現(xiàn) 象 以方程 的 解 向量 。 為例 我們把 , 。 , , , 一 一 。 , , , , , 叫做 的平 衡解 或 叫平 衡 點 的解 。 、, 一般說 , 的邊值問 , 題的解 不是唯一 的 究 竟趨 于 楚 稗 于 是 就 產(chǎn)生下 述 間題 如果已知 的全部解 , 樸 , 刁 當 一 , 時 的那個解呢 的解趨于 的解 為 此我 們首先要搞 清 的解 的結構 即 獷 通常 這 是很 難 徹 底 弄清 楚 的 退一步說 如果 已 經(jīng)知道 約 有 幾 個平 衡 解 而 且 初 始 值 就 在 這 些 平 衡

9、解 附 近 擾 動 當 , “ , , 時 , , , 是 否趨 于 相 應 的平 衡 解 呢 例 來說 明 這 就是穩(wěn) 定性 問題 我們以 方程 的 初值 問 題 為 我 們 知道 月 一 一 獷 之 一 一 口“ 一 一 至 少 有 兩 個常數(shù) 解 即 , “ 蘭 二 , 和 “ 問題 是 如 果 已 知 毛 “ 一 或 , “ , , 其 中 卜 表 示 某 種 意 義 下 的 大 小 度量 對 一切 一 也 就 是 說 初值 在 平 穩(wěn) 解附 近 擾 動 成 能 否 由此推 出 “ , 有 或 “ 】 , 一 , 簇 一 或 呢 呢 穩(wěn)定 , 或 能否推 出 五 , 漸近 穩(wěn) 定 ,

10、“ 可 以證 明 見 【 幻 彗 這個 , 平 衡解是不穩(wěn) 定的 而 則 “ , “ 幻 三 是穩(wěn)定的 事 實 上 可 證 明 下 列 結果 只 要 等 , 穩(wěn) 定性 的 問題 還 和 初 邊 值 的 大 小 有 關 于 是 就 可 能 產(chǎn)生 所 謂 的 門 檻 , 、 現(xiàn)象 可 參看 研 究 判 定 一 個 平 衡 解 是 否 穩(wěn) 定 的 準 則 正是 反 應 擴 散 方 程 的 數(shù) 學 理 論 要 解 決 的 重 要課 題之一 很 多 實 際 問 題 的 數(shù) 學 模 型 中 都 帶 有一 些 參 數(shù) 映 在 定 解 區(qū) 域 的 大 小 和 形 狀 的 變化 中 二獷 一 口 , 這 些 參

11、 數(shù) 可 以 反 映 在 方程 中 也 可 以 反 例如 又, 口刃 一 十 八“ , 兒少 幾 是 參 數(shù) 這 時 相 應 的平 衡 解 滿 足 方 程 , “ 尸 二 州 尤 了“ 又 , 兒少 一 , 對于不同的 化時 又 , 平 衡 解 的個數(shù) 可 能 不 同 , 這 就 產(chǎn)生 了分 支的 問 題 “ , , 即當 兔 在 某 個范 圍 內(nèi)變 力 可 能會 有 兩 個解 分支 記 作 勸 , “ 二 , 勸 哪個 分支是 穩(wěn) 定的呢 有沒有方 有 興 趣 的 讀 者 可 參 看【 法去判 別呢 這 又 是 反 應 擴 散 方 程 數(shù) 學 理 論 的 一 個 重 要 內(nèi)容 以 獲 得 關

12、于 分 歧 問 題 的 更 多 的 了 解 常 微 分 方 程 理 論 中 穩(wěn) 定 性 理 論 的 很 多方 法 和 結 果 對 于 研 究 拋 物 型 方 程 組 解 的 穩(wěn) 定 性 問題 是 非 常 有 用 的 把 復 雜 的 方 程 組 化 為 較 簡 單 的 問 題 而 仍 保 持 原 問題 定 性性 質(zhì) 的 數(shù) 學 方 法 奇 異攝 動 方 法 漸 近 分析 方 法 有 興 趣 的 讀 者可 參 看 , 抽 象理 論 把方程 , 一 看成 一 種 發(fā) 展 方 程 例 如 , 空 間 中的 微 分 方 程 , 利 用泛 函分 。 析 非 線 性 半 群 理 論 等 方 法 去 研 究前

13、 面 提 到 的 各 種 問 題 有 興 趣 的 讀 者可 參 看 【 尤 其是 穩(wěn) 定性 問 題 和 分歧 問 題 大 體 上 說 以穩(wěn) 定 性 問題 為 主 的 以 上 五 個 方 面 構成 了 偏 微 分 方 程 理 論 中半 線 性 拋 物 型 方 程 的定性理 論 或 叫 幾何理 論 , 它們 也 就 是 反 應 擴 散 方 程 的 數(shù) 學 理 論 , , , 由 于 近 二 十年 來 反 應 擴 散 方 程 的數(shù) 學 理 論 得 到 了很 快 的 發(fā) 展 除 了眾 多 的 文 獻外 在 總 結 方 法 和 成 果 的 基 礎 上 已 經(jīng) 寫 出了一 些 較 好 的 書 例 如 應

14、擴 散 方 程 的 部 分 講 了 不 少 拓 撲方 法 工 , , 得 提 出的 是 本 書 有關 反 值 , 【 這 是 一 本 既 有 實 際 又 有理 論 的 書 斗 【 , 等 參 萬 腸 肚 幼 鴻 知 叮 臉 ” , 阿拉文 只 波盧 巴 里 諾 娃 衛(wèi) , 考 , 資 , 料 玩 , , 理 , , 努 美 羅夫 濾 流 理 論 高 等 教 育 出 版 社 , , 柯 琴 娜 地下 水 運 動 原 理 地 質(zhì) 出 版 社 , , 止 , , 半線 性拋 物 型 方程 的 幾 何 理 論 北 京 大 學 數(shù) 學 系 譯 油 印本 , , 袁 益 讓 等 半 導 體 器件 數(shù) 值

15、模 擬 的 一類 新方 法及 其理 論分 析 科 學 通 報 讓汕 , , , , 一 咖 址 衛(wèi) , 一 , , 叩 一 , , 人 衛(wèi) 挑 , , 血 紐 腸伍 , 鮮 , , 。 , , 峨 威 廉 斯 燃 燒 理 論 科 學 出 版社 , , 韶 兔 , , 侖 , , 姍恤 , , , 、 一 滋 , 盯 樁 , 凸 “ , 工 盯 叨 ,蕊 毗 , 皿 盛 叩 皿 藝 , 印 , 姍 一 , , 認 饑 再 毗 藝 饑 君 皿 。, 才 乙 夕 , 牙 切 缸 , 乃 研 , , 比 一 龍 , 部 刀 皿 遷 滋 , 以 , 助 幾 敵 一 生 肚 , 盯 么 皿了 , , 楊 紀 柯 等 編譯 生 物 數(shù) 學 概 論 科 學 出版 社 北 京 , , , , , 恤 , , 此 , 鰭 , 加 恤 , , 啦 皿 叨 ” , , , 一 叨 , , 珍 “ , 有