具有擴(kuò)散和變時(shí)滯的非自治捕食與被捕食系統(tǒng)的持續(xù)性

1、2006年12月湖南師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào)Vol.29 No.4 第29卷第4期JournalofNaturalScienceofHunanNormalUniversityDec.,2006具有擴(kuò)散和變時(shí)滯的非自治捕食與被捕食系統(tǒng)的持續(xù)性曹 珊,杜雪堂(湖南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,中國(guó)長(zhǎng)沙 410081)摘 要 研究了一類具有擴(kuò)散和變時(shí)滯的非自治捕食與被捕食系統(tǒng),根據(jù)種群生態(tài)系統(tǒng)一致持續(xù)性的定義,構(gòu)造了一有界緊域,證明了系統(tǒng)在該有界緊域下的一致持續(xù)性,且此一致持續(xù)性與擴(kuò)散率無關(guān).關(guān)鍵詞 非自治捕食與被捕食系統(tǒng);擴(kuò)散;變時(shí)滯;持續(xù)性中圖分類號(hào) O175.12 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼 A 文章編號(hào) 100

2、0-2537(2006)04-0023-04PersistenceforNonautonomousPredator-preySystemwithDiffusionandVaryingTimeDelayCAOShan,DUXue-tang(CollegeofMathematicsandComputerScience,HunanNormalUniversity,Changsha410081,China)Abstract Anonautonomouspredator-preysystemwithdiffusionandvaryingtimedelayisestablished.Accordingto

3、thedefinitionofuniformpersistence,aboundedcompactregionisconstructed.Itisprovedthatthesystemispermanentinthisregionanditspersistenceisirrespectiveofthediffusion.Keywords nonautonomouspredator-preysystem;diffusion;varyingtimedelay;persistence在野生動(dòng)物保護(hù)過程中,人們常采用擴(kuò)散的方法來保護(hù)瀕臨滅絕的動(dòng)物.文獻(xiàn)1研究了具有擴(kuò)散和時(shí)滯的捕食與被捕食系統(tǒng)的持續(xù)性,

4、但所有系數(shù)均為常數(shù).文獻(xiàn)2研究了具擴(kuò)散和時(shí)滯的非自治競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)的持續(xù)性,但只有捕食種群模型中帶時(shí)滯.本文以文獻(xiàn)1為基礎(chǔ),討論非自治變時(shí)滯系統(tǒng)的持續(xù)性.其模型如下:x1(t)=x1(t)a1(t)-b1(t)x1(t- (t)-c1(t)y(t- (t)+D1(t)(x2(t)-x1(t),x2(t)=x2(t)r(t)-p(t)x2(t- (t)+D2(t)(x1(t)-x2(t),y3(t)=y(t)-a2(t)+c2(t)x1(t- (t)-b2(t)y(t- (t), (1)其中x1(t)和y(t)分別表示被捕食種群和捕食種群在斑塊1中的密度,x2(t)為被捕食種群在避難的斑塊2中的密度,

5、Di(t)(i=1,2)為種群x的擴(kuò)散系數(shù). (t)為時(shí)滯,且連續(xù)有界,即 0,有0 (t) .令f=inff(t):t R,fLLM=supf(t):t R,其中f(t)為連續(xù)有界函數(shù).在系統(tǒng)(1)中總是假定ai(t),MLMbi(t),ci(t),Di(t)(i=1,2),r(t),p(t)均為嚴(yán)格正的連續(xù)函數(shù),且滿足 0<ai ai(t) ai< ,0<bi bi(t) bi< ,0<ci ci(t) ci< ,0<Di Di(t) Di< ,i=1,2,0<r r(t) r< ,0<p p(t) p< ,且有初始條

6、件xi(t)= i(t) 0,i=1,2,y(t)= 3(t),t - ,0; i(0)>0,i=1,2,3.LMLMLMLM(2)收稿日期:2006-05-23:(24湖南師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào) 第29卷基于生態(tài)學(xué)意義,本文只在R+=(x1,x2,y)|xi>0,i=1,2,y>0上討論.定義 若存在一有界閉域D intR+,使得系統(tǒng)(1)具有初值(2)的每一解x(t)最終進(jìn)入并停留在區(qū)域D內(nèi),則稱此系統(tǒng)是一致持續(xù)的.331 主要結(jié)果引理1 設(shè)系統(tǒng)(1)具有初值(2)的一個(gè)正解為u(t)=(x1(t),x2(t),y(t),則存在一個(gè)常數(shù)T>0,使得當(dāng)t>T時(shí),有

7、0<xi(t) M1,i=1,2,0<y(t) M2,其中M1>M,M2>M,M*1*2*1MMa1aMc2M1-a2(cL2M* r *1=maxe,e,M2=e1b1pb1+MM*M-a)L.證 定義W(t)=maxx1(t),x2(t),計(jì)算D+W(t)|(1),分兩種情況.1)如果x1(t)>x2(t)或x1(t)=x2(t),且x1(t) x2(t),則DW(t)=x1(t)=x1(t)a1(t)-b1(t)x1(t- (t)-c1(t)y(t- (t)+D1(t)(x2(t)- x1(t) x1(t)a1(t)-b1(t)x1(t- (t) x1(t)

8、a1-b1x1(t- (t),即x1(t) x1(t)a1-b1x1(t- (t).2)如果x1(t)<x2(t)或x1(t)=x2(t),且x1(t) x2(t),則DW(t)=x2(t)=x2(t)r(t)-p(t)x2(t- (t)+D2(t)(x1(t)-x2(t) x2(t)r(t)-p(t)x2(t- (t) x2(t)r-px2(t- (t),即x2(t) x2(t)r-px2(t- (t).Ma1由1),2)易知,x1(t)關(guān)于,x2(t)關(guān)于要么是振動(dòng)的,要么是非振動(dòng)的.b1pMMLML+MLML(3)(4)(5)(6)a1a1首先考慮x1(t)關(guān)于振動(dòng)的情形.令tn為

9、一個(gè)序列,且nlimtn=+ ,x1(tn)=,如果x1(t)振 + b1b1動(dòng),則在(tn,tn+1)上存在局部最大值,記為x1(tn).由(4)可得0=dx1(t)dt|*nt=t*n*nMM*x1(tn)a1-b1x1(tn- (tn).M*ML*(7)a1*由(7)可得x1(t- (t) .因0 (t) ,故由x1(t)的連續(xù)性知存在一個(gè)t0 tn- (tn),tnb1a1*t- ,t,使得x1(t0)=.在t0,tn上對(duì)(4)積分,得b1*n*nMx1(tn) lnx1(t0)*tt*na1-b1x1(s- (s)ds a1(tn-t0) a1 .M*nMLM*M(8)a1aM即存在

10、t1>0,當(dāng)t>t1+2 時(shí),有x1(t) e1,從而x1(t) M1.同理有x2(t) M1.b1Ma1其次討論x1(t)關(guān)于,x2(t)關(guān)于非振動(dòng)的情況,由(3),(5)可以導(dǎo)出b1pMDW(t)=xi(t)+x1(t)a1-b1x1(t- (t),x2(t)r-px2(t- (t).MMaM1MLML(9)由于本文討論的解為正解,可得x1(t) a1x1(t),x2(t) rx2(t).在區(qū)間t- (t),t上對(duì)其積分,且由0 (t) 得到x1(t) x1(t- (t)ex2t)-rM,x2(t) x2(t- (t)erM;因此由x1(t- (t) x1(t)e-aM1,(第

11、4期 曹 珊等:具有擴(kuò)散和變時(shí)滯的非自治捕食與被捕食系統(tǒng)的持續(xù)性 25DW(t)=xi(t)+x1(t)a1-b1ex2(t)r-peMLML-aM1x1(t),-rMx2(t).(10)由(10)導(dǎo)出(A)若maxx1(0),x2(0) M1,則當(dāng)t 0時(shí),maxx1(t),x2(t) M1.(B)若maxx1(0),x2(0)>M1,令- =maxM1(a1-b1e考慮下面3種可能:(a)W(0)=x1(0)>M1(x1(0)>x2(0),(b)W(0)=x2(0)>M1(x1(0)<x2(0),(c)W(0)=x1(0)=x2(0)>M1.如果(a)成

12、立,則存在 >0,使得對(duì)t 0, ),有W(t)=x1(t)>M1,可得Dx1(t)<- <0.如果(b)成立,則存在 >0,使得對(duì)t 0, ),有W(t)=x2(t)>M1,可得DW(x1(t),x2(t)=x2(t)<- <0.如果(c)成立,則存在 >0,使得對(duì)t 0, ),有W(t)=x1(t)>M1,或W(t)=x2(t)>M1,類似于(a),(b)的推導(dǎo),有DW(x1(t),x2(t)=xi(t)<- <0,i=1,2.由上可知,若W(0)>M1,則W(t)以速度 嚴(yán)格單調(diào)遞減.因此存在T1>

13、0,當(dāng)t>T1時(shí),有W(t)=maxx1(t),x2(t) M1.由系統(tǒng)(1)的最后一個(gè)方程,得y(t) y(t)-a2+c2M1-b2y(t- (t).MLMLLML+ML-aM1M1),M2(r-peML-rMM1), >0.W(x1(t),x2(t)=(11)(12)c2M1-a2C2M1-a2顯然y(t)關(guān)于要么是振動(dòng)的,要么是非振動(dòng)的,對(duì)于y(t)關(guān)于振動(dòng)的情形,類似于b2b2前面的討論有y(t) M2.c2-a2如果系統(tǒng)(1)的解y(t)不是關(guān)于振動(dòng),由于b2 y(t) (c2M1-a2)y(t),在區(qū)間t- (t),t上對(duì)(13)積分,得 y(t- (t) y(t)e

14、將(14)代入(12)得M-(cM-a)1M2L2MLML(13).M21L2(14)y(t).y(t) y(t)c2M1-a2-b2ec2M1-a2(cMM-aL)y(t)>e212,b2或者Lc2M1-a2(cMM-a)212y(t)<e.b2LL-(cM-a)所以存在一個(gè)T2>0,使得當(dāng)t>T2時(shí),有ML(15)ML(16)MLLc2M1-a2(cMM-a) *ML212如果(15)式成立,則能選擇M2,當(dāng)t充分小時(shí),有y(t)>M2>e>M2,且c2M1-a2b2-b2eL-(cM-a)1M2L2M2<0.若令 =M2(c2M1-a2-b

15、2eMLL-(cM-a)1M2L2M2)( >0),則y(t)<- <0,因此y(t)以速度 嚴(yán)格單調(diào)下降,所以存在充分大的T2,當(dāng)t>T2時(shí),有y(t) M2.如果(16)式成立,顯然當(dāng)t>T2時(shí),總有y(t) M2.令T=maxt1+2 ,T1,T2,則當(dāng)t>T時(shí),有xit),y(t26 湖南師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào) 第29卷在以下的討論中,Mi,Mi(i=1,2)均如引理中所定義.令*M*a1-c1M2(aL1-bMM-cM1122 m=mineb2*LM*1) (rL-pMM*1,epL) MM*c2m1-a2(cL2m*-a-bM1222,m=eb2L

16、*M*2) ,適當(dāng)選取m1,m2,使得m1<m1,m2<m2.定理 如果1)a1>c1M2,a2<c2m1,2)a1<c1M2+b1M1,r<pM1,c2m1<a2+b2M2,則系統(tǒng)(1)是一致持續(xù)的.+證 定義W1(t)=minx1(t),x2(t),計(jì)算DW1(t)|(1)的導(dǎo)數(shù),類似于討論(3)和(5)的方法得DW1(t)=xi(t) + LMMLMLMMLMML*x1(t)a1-c1M2-b1x1(t- (t),x2(t)r-px2(t- (t).LMLMLMMa1-c1M2與引理中證明類似,首先假設(shè)x1(t)關(guān)于是振動(dòng)的.令sn是一個(gè)序列,且

17、nlimsn=+ ,x1(sn) + b1a1-c1M2*.假定x1(sn)是x1(t)在(sn,sn+1)上的局部最小值,則b10=dx1(t)|dt*nt=s*nLM x1(sn)a1-c1M2-b1x1(sn- (sn).LMLM*LMM*(17)a1-c1M2a1-c1M2*由(17)可知x1(s- (s) ,則存在一點(diǎn)s1 sn- ,sn,使得x1(s1)=,在b1b1*ns1,sn上積分,由于a1<c1M2+b1M1,所以有x1(sn) lnx(s) 11即Ma1-c1M2(aL1-cMM-bM) 1211 x1(s) e m1.b1*LMM* ss*n(a1-c1M2-b1

18、M1)dt (a1-c1M2-b1M1) .MLMMLMM1L*n即存在s1>0,當(dāng)t>s1+2 時(shí),有x1(sn) m1.同理x2(t) m1.對(duì)于非振動(dòng)的情形,類似于式(10)的推導(dǎo),可以得到xi(t) *x1(t)a-cM2-bex2(t)r-peLLM2L1M1M-(a-cM-bM) 1121111LMMx(t),M-(r-pM) x2(t).LMM類似于引理的討論,有xi(t) m1,i=1,2.由系統(tǒng)(1)的最后一個(gè)方程,有y(t) y(t)c2m1-a2-b2y(t- (t).類似于引理的討論,有y(t) m2.最后令D=(x1(t),x2(t),y(t):m1 xi(t) M1,i=1,2,m2 y(t) M2.則D是R+中與邊界有正距離的有界閉域.由上面的證明知,當(dāng)t T時(shí),系統(tǒng)(1)的具有初值(2)的正解最終進(jìn)入并停留在D中,即系統(tǒng)(1)是一致持續(xù)的.注 若系統(tǒng)(1)的所有系數(shù)均退化為常數(shù),且時(shí)滯也變?yōu)槌?shù),而定理的其他條件不變,即為文獻(xiàn)1中定理3.1.此外,該系統(tǒng)的一致持續(xù)性與其擴(kuò)散率無關(guān).參考文獻(xiàn):1 桂占吉,葛渭高.具有擴(kuò)散的捕食與被捕食系統(tǒng)的持續(xù)性和穩(wěn)定性J.系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué),2005,25(1