五年級奧數(shù)專題12觀察與歸納

1、十二 觀察與歸納(A) 年級 班 姓名 得分 一、填空題 1. 找規(guī)律,填得數(shù). 22=2×2=12×4=4; 222=22×22=112×4=484; 2222=222×222=1112×4=49284; 2222222222=( )2×_ =_×_ =_.2. 圖中第1格內(nèi)放著一個(gè)立方體木塊,木塊六個(gè)面上分別寫著六個(gè)字母,其中與與與相對.如果將木塊沿著圖中方格滾動,當(dāng)木塊滾動到第21個(gè)格時(shí),木塊向上的面寫的字母是_.3. 下面是三行按不同規(guī)律排列的,那么當(dāng)=32時(shí), +=_.246810159131725101

2、7264. 如圖所示,在左上角(第一行第一列)的位置上畫上第1個(gè)點(diǎn),然后按箭頭方向依次畫上第2,3,4,個(gè)點(diǎn).那么,第1999個(gè)點(diǎn)在第_行第_幾列.5. 有一張黑白相間的相間的方格紙,用記號(2,3)表示從上往下數(shù)第2行,從左往右數(shù)第3列的這一格(如圖),那么(19,98)這一格是_色.6. 如圖所示,在正六邊形周圍畫出6個(gè)同樣的正六邊形(陰影部分),圍成第1圈;在第1圈外面再畫出12個(gè)同樣的正六邊形,圍成第2圈;.按這個(gè)方法繼續(xù)畫下去,當(dāng)畫完第9圈時(shí),圖中共有_個(gè)與A相同的正六邊形. 7. 下面是按規(guī)律列的三角形數(shù)陣: 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10

3、 10 5 1 那么第1999行中左起第三個(gè)數(shù)是_.8. 將數(shù)1到30排成五列按下表的格式排下去,300是在_列.1234598761011121317161514181920212524232226*434445464748495042212223242526514120789102752401961211285339185431229543817161514133055373635343332315664636261605958579. 如圖是一個(gè)大表的一部分,表中將自然數(shù)按從小到大的順序排成螺旋形,在2處拐第一個(gè)彎,在3處拐第二個(gè)彎,在5處拐第三個(gè)彎,那么第18個(gè)拐彎的地方是_. 10.

4、 一個(gè)人從中央(標(biāo)有0)的位置出發(fā),向東、向北各走1千米,再向西、向南各走2千米,再向東、向北走3千米,向西、向南各走4千米,如此繼續(xù)下去.他每走1千米,就把所走的路程累計(jì)數(shù)標(biāo)出(如圖),當(dāng)他走到距中央正東100千米處時(shí),他共走了_千米. 4 3 2 5 0 1 東 6 7 8 9二、解答題11. 將自然數(shù)1,2,3,4按箭頭所指方向順序排列(如圖),依次在2,3,5,7,10等數(shù)的位置處拐彎. (1)如果2算作第一次拐彎處,那么第45次拐彎的數(shù)是什么?(2)從1978到2010的自然數(shù)中,恰好在拐彎處的數(shù)是什么?12. 下圖是一張把自然數(shù)按一定順序排列的數(shù)表,用一個(gè)有五個(gè)空格的十字可以框出不

5、同的五個(gè)數(shù)字,現(xiàn)在框出的五個(gè)數(shù)字的四個(gè)角上的數(shù)字之和是80,如果當(dāng)框出的五個(gè)數(shù)字的和是500時(shí),四個(gè)角上數(shù)字的和是多少? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 13. 如圖,在一張方格紙上畫折線(用實(shí)線表示的部分),圖中每個(gè)小方格的邊長為1,從A點(diǎn)出發(fā)依次給每條直線段編號.(1)編號1994的直線段長是多少?(2)長度為1994的直線段的編號是多少?14. 把1到1997這1997個(gè)數(shù),按順時(shí)針方向依次排列在一個(gè)圓圈上(如圖).從1開始按順時(shí)針方向,保留1,擦去2;保留3,擦去4;(

6、每隔一個(gè)數(shù),擦去一個(gè)數(shù))轉(zhuǎn)圈擦下去,最后剩的是哪個(gè)數(shù)?十二 觀察與歸納(B) 年級 班 姓名 得分 一、填空題 1. 先觀察前面三個(gè)算式,從中找出規(guī)律,并根據(jù)找出的規(guī)律,直接在( )內(nèi)填上適當(dāng)?shù)臄?shù). (1)123456789×9=1111111101,(2)123456789×18=2222222202,(3)123456789×27=3333333303,(4)123456789×72=( ),(5)123456789×63=( ),(6)6666666606÷54=( ),(7)9999999909÷81=( ),(8)

7、5555555505÷123456789=( ).2. 將下列分?jǐn)?shù)約成最簡分?jǐn)?shù):=_.3. 在所有的兩位數(shù)中,十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字大的兩位數(shù)有_個(gè).4. 大于1的整數(shù)加下圖所示,排成8列,數(shù)1000將在第_列. 2 3 4 5 9 8 7 6 10 11 12 13 17 16 15 145. 將所有自然數(shù)如下圖排列.15120這個(gè)數(shù)應(yīng)在第_行第_個(gè)位置上. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6. 11個(gè)數(shù)排成一列,相鄰三個(gè)數(shù)之和等于20.已知第2個(gè)數(shù)是1,第13個(gè)數(shù)是9,第9個(gè)數(shù)是_.7. 一數(shù)列相鄰四個(gè)數(shù)的和都是45,已知第6個(gè)數(shù)是11,

8、第19個(gè)數(shù)是5,第44個(gè)數(shù)是24,那么第一個(gè)數(shù)是_.8. 數(shù)列1,1991,1990,1,1989,1988,1,從第三個(gè)數(shù)起,每個(gè)數(shù)是前兩個(gè)數(shù)的差,這個(gè)數(shù)列中第一個(gè)零出現(xiàn)在第_項(xiàng).9. 例6中第70個(gè)數(shù)被5除余_.10. 如下圖,有一個(gè)六邊形點(diǎn)陣,它的中心是個(gè)點(diǎn),算作第一層;第二層每邊有兩個(gè)點(diǎn)(相鄰兩邊公用一個(gè)點(diǎn));第三層每邊有三個(gè)點(diǎn),這個(gè)六邊形點(diǎn)陣共有層,第層有_個(gè)點(diǎn),這個(gè)點(diǎn)陣共有_個(gè)點(diǎn). 二、解答題11. 現(xiàn)有如下一系列圖形:當(dāng)=1時(shí),長方形分為2個(gè)直角三角形,總計(jì)數(shù)出5條邊.當(dāng)=2時(shí),長方形分為8個(gè)直角三角形,總計(jì)數(shù)出16條邊.當(dāng)=3時(shí),長方形分為18個(gè)直角三角形,總計(jì)數(shù)出33條邊.按

9、如上規(guī)律請你回答:當(dāng)=100時(shí),長方形應(yīng)分為多少個(gè)直角三角形?總計(jì)數(shù)出多少條邊?12. 下面的()、()、()、()為四個(gè)平面圖.數(shù)一數(shù),每個(gè)平面圖各有多少個(gè)頂點(diǎn)?多少條邊?它們分別圍成了多少個(gè)區(qū)域?請將結(jié)果填入下表(按填好的樣子做). 頂點(diǎn)數(shù)邊數(shù)區(qū)域數(shù)()46 3()()()觀察上表,推斷一個(gè)平面圖的頂點(diǎn)數(shù)、邊數(shù)、區(qū)域數(shù)之間有什么關(guān)系?現(xiàn)已知某個(gè)平面圖有999個(gè)頂點(diǎn),且圍成了999個(gè)區(qū)域,試根據(jù)以上關(guān)系確定這個(gè)圖有多少條邊.13. 全體奇數(shù)排成下圖形式,十字框子框出5個(gè)數(shù),要使這五個(gè)數(shù)之和等于,(1) 1989; (2) 1990; (3) 2005; (4) 2035,能否辦到?若能辦到,

10、請你寫出十字框中的五個(gè)數(shù). 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 4714. 有一列數(shù)1,3,4,7,11,18(從第三個(gè)數(shù)開始,每個(gè)數(shù)恰好是它前面相鄰兩個(gè)數(shù)的和).(1)第1991個(gè)數(shù)被6除余幾?(2)把以上數(shù)列按下述方法分組(1),(3,4),(7,11,18)(第組含有個(gè)數(shù)),問第1991組的各數(shù)之和被6除余數(shù)是幾?答 案答 案1. 111111111,4; 12345678987654321,4; 49382715950617284.根據(jù)已知等式的觀察和分析,可知算式演變規(guī)律有兩種形式: 其一是等

11、積恒變;其二是11×11=121,111×111=12321,.2222=222×222=1112×4=49284;2222222222=1111111112×4 =12345678987654321×4 =49382715950617284. 2. A木塊沿直線滾動4格,與原來的狀態(tài)相同,所以木塊到第5,9,13,21格時(shí),與在第1格的狀態(tài)相同,寫的字母是A. 3. 318由數(shù)表可知A和B都是等差數(shù)列,根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行解答.當(dāng)32時(shí), =(32-2)×+1=16;當(dāng)=16時(shí), =1+(16-1)×4=6

12、1. 再由數(shù)表可知C數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)的差值3,5,7,9,11,31組成等差數(shù)列,根據(jù)等差數(shù)列求和公式()××進(jìn)行解答.這15個(gè)差值的和是(3+31)×15×=255,則當(dāng)=16時(shí),=2+255=257.因此, =61+257=318. 4. 27,45.正長形網(wǎng)格內(nèi)的所有格點(diǎn)數(shù)之和必是平方數(shù),如2×2方格網(wǎng)中共有格點(diǎn)32=9(個(gè)),3×3方格網(wǎng)中共有格點(diǎn)42=16(個(gè)).因?yàn)?999=442+63=452-26,所以第1999個(gè)點(diǎn)必在第45行或第45列上.因?yàn)榈?52點(diǎn)在第1行第45列上,而1999=452-26,從第1行倒退26行,

13、所以第1999個(gè)點(diǎn)在第27行第45列上. 5. 白觀察歸納得:“行數(shù)+列數(shù)=奇數(shù)”時(shí)為白色,“行數(shù)+列數(shù)=偶數(shù)”時(shí)為黑色.而19+98為奇數(shù),因此(19-98)這一格是白色. 6. 271提示:第幾圈有6個(gè)正六邊形,所以共有1+6×(1+2+9)=271(個(gè)).7. 1995003第三行左起第三個(gè)數(shù)是1=1;第四行左起第三個(gè)數(shù)是3=1+2;第五行左起第三個(gè)數(shù)是6=1+2+3;第六邊左起第三個(gè)數(shù)是10=1+2+3+4;歸納可知,第1999行左起第三個(gè)數(shù)是1+2+3+1997=1995003.8. D根據(jù)表中所列數(shù)據(jù)可以看出,除1以外,圖中的連續(xù)自然數(shù)按8個(gè)數(shù)為一個(gè)周期如表格所示的規(guī)律排

14、列,300=1+(37×8+3),余數(shù)為3,所以300是在列.23459876 9. 91觀察拐彎處的數(shù)的規(guī)律,可得第個(gè)拐彎處的數(shù):當(dāng)為奇數(shù)時(shí)為 1+(1+3+5+);當(dāng)為偶數(shù)時(shí)為 1+2×(1+2+3+). 將=18代入,得91. 10. 39700觀察右下角拐彎處的數(shù)的規(guī)律:第1個(gè)拐彎處為1=12=(2×1-1)2;第2個(gè)拐彎處為9=32=(2×2-1)2;第3個(gè)拐彎處為25=52=(2×3-1)2;.因此第個(gè)拐彎處的數(shù)為(2-1)2.距中央正東100千米處為他走到右下角的第100個(gè)拐點(diǎn)處再向北99千米處,故他共走了(2×100-

15、1)2+99=39700(千米). 11. 觀察拐彎處的數(shù)的規(guī)律,可以得到個(gè)拐彎處的數(shù),當(dāng)為奇數(shù)時(shí)為 1+(1+3+5+)=()2+1;當(dāng)為偶數(shù)時(shí)為 1+2×(1+2+3+)=(1+)×+1.(1)第45次拐彎處的數(shù)是()2+1=530.(2)試算=89時(shí),拐彎處的數(shù)是()2+1=2026; =88時(shí),拐彎處的數(shù)是(1+)×+1=1981; =87時(shí),拐彎處的數(shù)是()2+1=1937; 所以19782010中,恰在拐彎處的數(shù)是1981.12. 仔細(xì)觀察十字框中的五個(gè)數(shù)里,中間一個(gè)是這五個(gè)數(shù)的平均值,也是其余四個(gè)數(shù)的平均值,所以中間一個(gè)數(shù)可由500÷5=1

16、00得到,且即得四個(gè)角上數(shù)字這和為100×4=400. 13. 通過觀察列出編號與長度的關(guān)系表:編號(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)長度12345 從表中看出:長度為的線段編號為2-1和2. (1)編號為1994的線段長為: 1994÷2=997. (2)長度為1994的線段有兩條,編號分別為: 1994×2-1=3987; 1994×2=3988. 14. 如果依照題意在上圖中進(jìn)行操作,直到剩下一個(gè)數(shù)為止,實(shí)在是很困難的.我們還應(yīng)從最簡單的情況入手分析,歸納出解決問題的規(guī)律,再用此規(guī)律解題.如果是2個(gè)數(shù)1,2,最后剩下1;

17、如果是3個(gè)數(shù)1,2,3,最后剩下3;如果是4個(gè)數(shù)1,2,3,4,最后剩下1;如果是5個(gè)數(shù)1,2,3,4,5,最后剩下3;如果是6個(gè)數(shù)1,2,3,4,5,6,最后剩下5;如果是1-7,7個(gè)數(shù),最后剩下7;如果是1-8,8個(gè)數(shù),最后剩下1.我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)數(shù)的個(gè)數(shù)是2,4,8時(shí),最后剩下的都是1.實(shí)際上,當(dāng)數(shù)的個(gè)數(shù)為時(shí)(),當(dāng)擦完一圈后還剩個(gè)數(shù),把問題化成個(gè)數(shù)的情況.不斷作下去,最后化為2個(gè)數(shù)的情況,顯然最后剩下的數(shù)為1.注意,1為起始數(shù).由于210=1024,211=2048, 210<1997<211, 1997-1024=973. 這就是說,要剩210個(gè)數(shù),需要先擦去973個(gè)數(shù).按題意

18、,每兩個(gè)數(shù)擦去一個(gè)數(shù),當(dāng)擦第973個(gè)數(shù)時(shí),最后擦去的數(shù)是:973×2=1946.下一個(gè)起始數(shù)是1947,所以,最后剩下的數(shù)應(yīng)是1947.答 案 答 案:1. 8888888808, 7777777707, 123456789, 123456789, 45. 2. 因?yàn)?即分子分母添上相同個(gè)數(shù)的6,分?jǐn)?shù)值不變,所以. 3. 十位數(shù)字是1時(shí),這樣的兩位數(shù)只有10這1個(gè);十位數(shù)字是2時(shí),這樣的兩位數(shù)有20,21這2個(gè);十位數(shù)字是3時(shí),這樣的兩位數(shù)有30,31,32這3個(gè);由此可以推知:“十位上的數(shù)字是幾,符合條件的兩位數(shù)就有幾個(gè).”所以,符合題目條件要求的兩位數(shù),共計(jì)有:1+2+3+8+9

19、=45. 4. 所有8的倍數(shù)均在第三列中,數(shù)1000是8的倍數(shù),所以它在第三列中. 5. 每一行的最末一個(gè)數(shù)正好為該行行數(shù)的平方,該行開頭的數(shù)是前一行最末一個(gè)數(shù)加1.由于1222<15120<1232,15120-1222=236,故15120在第123行的236號上. 6. 14個(gè)數(shù)是每三個(gè)數(shù)的循環(huán)排列,第二個(gè)數(shù)是1,那么第8個(gè)數(shù)也是1.第13個(gè)數(shù)是9,那么第10個(gè)數(shù)也是9,所以第9個(gè)數(shù)是20-1-9=10. 7. 數(shù)列每隔4項(xiàng)重復(fù)出現(xiàn).第2個(gè)數(shù)是11,第3個(gè)數(shù)是5,第4個(gè)數(shù)是24,那么第一個(gè)數(shù)是45-(11+5+24)=5. 8. 除開1不看,數(shù)列是 1991,1990,198

20、9,1988,第1992個(gè)是0,再加上前面的996個(gè)1,第一個(gè)0出現(xiàn)在第1992+996=2988項(xiàng)上. 9. 寫出每個(gè)數(shù)被5除的余數(shù): 0,1,3,3,1,0,4,2,2,4,0,1,3,可見每10個(gè)余數(shù)循環(huán)一次,70÷10=7,第70個(gè)數(shù)被5除余為0. 10. 觀察點(diǎn)陣中各層點(diǎn)數(shù)的規(guī)律,然后歸納出點(diǎn)陣共有的點(diǎn)數(shù).第一層有點(diǎn)數(shù):1;第二層有點(diǎn)數(shù):1×6;第三層有點(diǎn)數(shù):2×6;第四層有點(diǎn)數(shù):3×6;第層有點(diǎn)數(shù):(-1)×6.因此,這個(gè)點(diǎn)陣的第層有點(diǎn)(-1)×6個(gè), 層共有點(diǎn)數(shù)為 1+1×6+2×6+3×6

21、+(-1)×6=1+6×1+2+3+(-1)=1+6×=1+3(-1). 11. =1時(shí),直角三角形2·12個(gè),邊數(shù)=2·1(1+1)+12=5; =2時(shí),直角三角形2·22個(gè),邊數(shù)=2·2(2+1)+22=16; =3時(shí),直角三角形2·32個(gè),邊數(shù)=2·3(3+1)+32=33;對一般的,共分為2·2個(gè)直角三角形,總計(jì)數(shù)出2(+1)+2條邊. 所以=100時(shí),共分為2·1002=20000個(gè)直角三角形,總計(jì)數(shù)出2×100×(100+1)+1002=30200條邊. 12. (1)填表如下: 頂點(diǎn)數(shù)邊數(shù)區(qū)域數(shù)()463()8125()694()10156(2)由該表可以看出,所給四個(gè)平面圖的頂點(diǎn)數(shù)、邊數(shù)及區(qū)域數(shù)之間有下述關(guān)系: 4+3-6=1 8+5-12=1 6+4-9=1 10+6-15=1所以,我們可以推斷:任何平面圖的頂點(diǎn)數(shù)、邊數(shù)及區(qū)域數(shù)之間,都有下述關(guān)系: 頂點(diǎn)數(shù)+區(qū)域數(shù)-邊數(shù)=1.(3)由上面所給的關(guān)系,可知所求平面圖的邊數(shù). 邊數(shù)=頂點(diǎn)數(shù)+區(qū)域數(shù)-1 =999+999-1 =1997注:本題第二問中的推斷是正確的,也就是說任何平面圖的頂點(diǎn)數(shù)、區(qū)域數(shù)及邊數(shù)都能滿足我們所推斷的關(guān)系.當(dāng)然,平面圖有許許