高中數(shù)學必修4平面向量知識點與典型例題總結(jié)(師)

1、數(shù)學必會基礎(chǔ)題型平面向量【基本概念與公式】 【任何時候?qū)懴蛄繒r都要帶箭頭】1.向量：既有大小又有方向的量。記作：或。2.向量的模：向量的大?。ɑ蜷L度），記作：或。3.單位向量：長度為1的向量。若是單位向量，則。4.零向量：長度為0的向量。記作：?！痉较蚴侨我獾?，且與任意向量平行】5.平行向量（共線向量）：方向相同或相反的向量。6.相等向量：長度和方向都相同的向量。7.相反向量：長度相等，方向相反的向量。8.三角形法則：；（指向被減數(shù)）9.平行四邊形法則： 以為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線分別為，。10.共線定理：。當時，同向；當時，反向。11.基底：任意不共線的兩個向量稱為一組基底。12.向量

2、的模：若，則，13.數(shù)量積與夾角公式：； 14.平行與垂直：；題型1.基本概念判斷正誤：（1）共線向量就是在同一條直線上的向量。（2）若兩個向量不相等，則它們的終點不可能是同一點。（3）與已知向量共線的單位向量是唯一的。（4）四邊形ABCD是平行四邊形的條件是。（5）若，則A、B、C、D四點構(gòu)成平行四邊形。（6）因為向量就是有向線段，所以數(shù)軸是向量。（7）若與共線， 與共線，則與共線。（8）若，則。（9）若，則。（10）若與不共線，則與都不是零向量。（11）若，則。（12）若，則。題型2.向量的加減運算1.設(shè)表示“向東走8km”, 表示“向北走6km”,則 。2.化簡 。3.已知,則的最大值和

3、最小值分別為 、 。4.已知的和向量，且，則 ， 。5.已知點C在線段AB上，且,則 ， 。題型3.向量的數(shù)乘運算1.計算：（1） （2）2.已知，則 。題型4.作圖法球向量的和已知向量，如下圖，請做出向量和。 題型5.根據(jù)圖形由已知向量求未知向量1.已知在中，是的中點，請用向量表示。2.在平行四邊形中，已知，求。題型6.向量的坐標運算1.已知，則點的坐標是 。2.已知，則點的坐標是 。3.若物體受三個力,則合力的坐標為 。4.已知，求，。5.已知,向量與相等，求的值。6.已知，則 。7.已知是坐標原點，且，求的坐標。題型7.判斷兩個向量能否作為一組基底1.已知是平面內(nèi)的一組基底，判斷下列每組

4、向量是否能構(gòu)成一組基底：A. B. C. D.2.已知，能與構(gòu)成基底的是（ ）A. B. C. D.題型8.結(jié)合三角函數(shù)求向量坐標1.已知是坐標原點，點在第二象限，求的坐標。2.已知是原點，點在第一象限，求的坐標。題型9.求數(shù)量積1.已知，且與的夾角為，求（1），（2），（3），（4）。2.已知，求（1），（2），（3），（4）。題型10.求向量的夾角1.已知，求與的夾角。2.已知，求與的夾角。3.已知，求。題型11.求向量的模1.已知，且與的夾角為，求（1），（2）。2.已知，求（1），（5），（6）。3.已知，求。題型12.求單位向量 【與平行的單位向量：】1.與平行的單位向量是 。2.與

5、平行的單位向量是 。題型13.向量的平行與垂直1.已知，當為何值時，（1）？（2）？2.已知，（1）為何值時，向量與垂直？（2）為何值時，向量與平行？3.已知是非零向量，且，求證：。題型14.三點共線問題1.已知，求證：三點共線。2.設(shè)，求證：三點共線。3.已知，則一定共線的三點是 。4.已知，若點在直線上，求的值。5.已知四個點的坐標，是否存在常數(shù)，使成立？題型15.判斷多邊形的形狀1.若，且,則四邊形的形狀是 。2.已知，證明四邊形是梯形。3.已知，求證：是直角三角形。4.在平面直角坐標系內(nèi)，,求證：是等腰直角三角形。題型16.平面向量的綜合應用1.已知，當為何值時，向量與平行？2.已知，

6、且，求的坐標。3.已知同向，則，求的坐標。3.已知，則 。4.已知，請將用向量表示向量。5.已知，（1）若與的夾角為鈍角，求的范圍；（2）若與的夾角為銳角，求的范圍。6.已知，當為何值時，（1）與的夾角為鈍角？（2）與的夾角為銳角？7.已知梯形的頂點坐標分別為，且，求點的坐標。8.已知平行四邊形的三個頂點的坐標分別為，求第四個頂點的坐標。9.一航船以5km/h的速度向垂直于對岸方向行駛，航船實際航行方向與水流方向成角，求水流速度與船的實際速度。10.已知三個頂點的坐標分別為，（1）若，求的值；（2）若，求的值?！緜溆谩?.已知，求和向量的夾角。2.已知，且，求的夾角的余弦。1.已知，則 65 。4.已知兩向量，求當垂直時的x的值。5.已知兩向量，的夾角為銳角，求的范圍。變式：若，的夾角為鈍角，求的取值范圍。選擇、填空題的特殊方法：1.特例法例：全品P27：4。因為M,N在AB,AC上的任意位置都成立，所以取特殊情況，即M,N與B,C重合時，可以得到，。2.代入驗證法例：已知向量，則（