數(shù)學(xué)：空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示+課件+(人教版)ppt

1、,p,xypxayb.a ba b 如果兩個向量不共線，則向量 與向量共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)對 ， ，使共線向量定理共線向量定理:復(fù)習(xí)：共面向量定理共面向量定理:0/ /a.a b babb 對空間任意兩個向量 、 （），的充要條件是存在實(shí)數(shù) ，使 1211212212e eaaee .e e 如果 ，是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量 ，有且只有一對實(shí)數(shù) ， ，使 （ 、叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.）平面向量基本定理：平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示xyoaijaxiy j(1,0),(0,1),0(0,0).ijyxa,問題：問題

2、： 我們知道，平面內(nèi)的任意一個向量我們知道，平面內(nèi)的任意一個向量 都可以都可以用兩個不共線的向量用兩個不共線的向量 來表示（平面向量基本定來表示（平面向量基本定理）理）.對于空間任意一個向量，有沒有類似的結(jié)論呢？對于空間任意一個向量，有沒有類似的結(jié)論呢？, a b p xyzOijkQPp 一、空間向量的坐標(biāo)分解一、空間向量的坐標(biāo)分解 給定一個空間坐標(biāo)系和向量給定一個空間坐標(biāo)系和向量 且設(shè)且設(shè) 為空間兩兩垂直的向?yàn)榭臻g兩兩垂直的向量，設(shè)點(diǎn)量，設(shè)點(diǎn)Q為點(diǎn)為點(diǎn)P在在 所確定平所確定平面上的正投影面上的正投影p ,ij k , i j 由平面向量基本定理有由平面向量基本定理有一、空間向量的坐標(biāo)分解一

3、、空間向量的坐標(biāo)分解,zkOQ實(shí)數(shù)存在所確定的平面上在, ,i jx y 在所確定的平面上 存在實(shí)數(shù)jyi xOQ使得kzOQOP使得kzjyi xkzOQOPxyzQPp Oijk 由此可知由此可知,如果如果 是空間兩兩垂直的向量是空間兩兩垂直的向量,那么那么,對空間任一對空間任一向量向量 , 存在一個有序?qū)崝?shù)組存在一個有序?qū)崝?shù)組 x,y,z使得使得 我們稱我們稱 為向量為向量 在在 上的分向量上的分向量., ,i j k P .pxiy jzk ,xi y j zk, ,i j k p 空間向量基本定理：空間向量基本定理：都叫做都叫做基向量基向量, ,a b c , , , ,. , ,

4、.a b cP Pxaybzc x y zRa b ca b c 如果三個向量 , ,不共面,那么所有空間向量組 成的集合就是這個 集合可以看做是由向量生成的故叫做空間的一個基底注注: 如果三個向量 不共面,那么對空間任一向量 ,存在有序?qū)崝?shù)組x,y,z使, ,a b c P .pxaybzc 探究：探究：在空間中在空間中,如果用任意三個不共面向量如果用任意三個不共面向量 代替兩兩垂直的向量代替兩兩垂直的向量 ,你能得出類似的你能得出類似的 結(jié)論嗎？結(jié)論嗎？, ,a b c , ,i j k （1）任意不共面的三個向量都可做為空間）任意不共面的三個向量都可做為空間的一個基底的一個基底.特別提示

5、：特別提示：對于基底對于基底a,b,c,除了應(yīng)知道除了應(yīng)知道a,b,c不共面，還應(yīng)明確：不共面，還應(yīng)明確：（2 ） 由于可視由于可視 為與任意一個非零向量共線為與任意一個非零向量共線,與任意兩個非零向量共面與任意兩個非零向量共面,所以三個向量不共所以三個向量不共面面,就隱含著它們都不是就隱含著它們都不是 .00（3）一個基底是指一個向量組）一個基底是指一個向量組,一個基向量一個基向量是指基底中的某一個向量是指基底中的某一個向量,二者是相關(guān)連的不二者是相關(guān)連的不同概念同概念. 二、空間直角坐標(biāo)系二、空間直角坐標(biāo)系 單位正交基底：單位正交基底：如果空間的一個基底的如果空間的一個基底的三個基向量互相

6、垂直，且長都為三個基向量互相垂直，且長都為1，則這個，則這個基底叫做基底叫做單位正交基底單位正交基底,常用常用e1 , e2 , e3 表示表示 空間直角坐標(biāo)系：空間直角坐標(biāo)系：在空間選定一點(diǎn)在空間選定一點(diǎn)O和一和一個單位正交基底個單位正交基底 e1,e2,e3 ,以點(diǎn)以點(diǎn)O為原點(diǎn)，分別為原點(diǎn)，分別以以e1,e2,e3的方向?yàn)榈姆较驗(yàn)閤軸、軸、y軸、軸、z軸的正方向，軸的正方向，建立一個空間直角坐標(biāo)系建立一個空間直角坐標(biāo)系O-xyzxyze1e2e3O121323112233,.e e e e eee e ee ee 計(jì)算單位正交基之間的數(shù)量積 在空間直角坐標(biāo)系在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，對

7、空間任一向中，對空間任一向量量 ,平移使其起點(diǎn)與原點(diǎn)平移使其起點(diǎn)與原點(diǎn)o重合重合,得到向量得到向量OP=p由空間向量基本定理可知由空間向量基本定理可知,存在有序?qū)崝?shù)組存在有序?qū)崝?shù)組x,y,z使使 p =xe1+ye2+ze3xyzOP(x,y,z)e1e2e3P 123, ,( , , ).x y zPe e ePx y z 叫做向量 在單位正交基底下的坐標(biāo) 記做 此時向量此時向量P的坐標(biāo)恰是點(diǎn)的坐標(biāo)恰是點(diǎn)P在在直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系oxyz中的坐標(biāo)中的坐標(biāo)(x,y,z)，其中，其中x叫做點(diǎn)叫做點(diǎn)P的橫坐的橫坐標(biāo)，標(biāo)，y叫做點(diǎn)叫做點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，的縱坐標(biāo)，z叫叫做點(diǎn)做點(diǎn)P的豎坐標(biāo)的豎坐標(biāo). 在空間

8、直角坐標(biāo)系在空間直角坐標(biāo)系O x y z 中，對空間任一點(diǎn)中，對空間任一點(diǎn)P, 對應(yīng)一個向量對應(yīng)一個向量 ,于是存在唯一的有序?qū)崝?shù)組于是存在唯一的有序?qū)崝?shù)組 x, y, z,使使 (如圖如圖).OP 123OPxeyeze 顯然顯然, 向量向量 的坐標(biāo)，就是點(diǎn)的坐標(biāo)，就是點(diǎn)P在此空間直角坐在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)標(biāo)系中的坐標(biāo)(x,y,z).OP xyzOP(x,y,z) 也就是說也就是說,以以O(shè)為起點(diǎn)的有向?yàn)槠瘘c(diǎn)的有向線段線段 (向量向量)的坐標(biāo)可以和終點(diǎn)的的坐標(biāo)可以和終點(diǎn)的坐標(biāo)建立起一一對應(yīng)的關(guān)系坐標(biāo)建立起一一對應(yīng)的關(guān)系,從而從而互相轉(zhuǎn)化互相轉(zhuǎn)化. 我們說我們說,點(diǎn)點(diǎn)P的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(x,y,z),記作記作P(x,y,z)，其中，其中x叫叫做點(diǎn)做點(diǎn)P的的橫坐標(biāo)橫坐標(biāo),y叫做點(diǎn)叫做點(diǎn)P的的縱坐標(biāo)縱坐標(biāo),z叫做點(diǎn)叫做點(diǎn)P的的豎坐標(biāo)豎坐標(biāo).e1e2e3 空間向量坐標(biāo)運(yùn)算法則，關(guān)鍵是注意空空間向量坐標(biāo)運(yùn)算法則，關(guān)鍵是注意空間幾何關(guān)系與向量坐標(biāo)關(guān)系的轉(zhuǎn)化，為此在間幾何關(guān)系與向量坐標(biāo)關(guān)系的轉(zhuǎn)化，為此在利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算判斷空間幾何關(guān)系時，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算判斷空間幾何關(guān)系時，首先要選定單位正交基，進(jìn)而確定各向量的首先要選定單位正交基，進(jìn)而確定各向量的坐標(biāo)。坐標(biāo)。AB=OB-OA=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1) =(x2-x1,y2-y1,z2-z1).思考：設(shè)思考：設(shè)A(