概率論與數理統計浙大四版習題答案第四章

1、第四章2.二某產品的次品率為 0.1，檢驗員每天檢驗 4次。每次隨機地抽取 10件產品 進行檢驗，如果發(fā)現其中的次品數多于1,就去調整設備，以 X表示一天中調整設備的次數，試求E (X)。(設諸產品是否是次品是相互獨立的。)解：設表示一次抽檢的10件產品的次品數為EP=P (調整設備)=P ( E >1)=1 P ( EW 1)= 1-P (E =0)+ P ( E =1)查二項分布表1 0.7361=0.2639.因此X表示一天調整設備的次數時XB(4, 0.2639). P (X=0)= " ix0.2639° XJ.73614丿=0.2936.P (X=1)=P

2、 (X=3)='4131X0.2639 >0.7361 =0.4210, P (X=2)=7丿!l3 IX).26393X).7361=0.0541, P (X=4)=422I >0.2639 XJ.7361 =0.2264. 侖丿!t4 I>0.2639 >0.73610=0.0049.從而41E (X)= np=4 ».2639=1.05563.三有3只球，4只盒子，盒子的編號為1 , 2, 3, 4,將球逐個獨立地，隨機地放入4只盒子中去。設X為在其中至少有一只球的盒子的最小號碼(例如X=3表示第1號，第2號盒子是空的，第 3號盒子至少有一只球)

3、，求E (X)。事件X=1= 只球裝入一號盒，兩只球裝入非一號盒+兩只球裝入一號盒， 一只球裝入非一號盒+三只球均裝入一號盒(右邊三個事件兩兩互斥)P(X =1) =31443764.事件“ X=2” = “一只球裝入二號盒，兩只球裝入三號或四號盒”+ “兩只球裝二號盒，一只球裝入三或四號盒”+ “三只球裝入二號盒”同理:P(X46437197125E (X ) =123464646464165.五設在某一規(guī)定的時間間段里，其電氣設備用于最大負荷的時間 是一個連續(xù)型隨機變量。其概率密度為X (以分計)1x,0 Ex M500 (1500 )-1f (x)=(x -3000 ), 1500 &l

4、t;x 蘭1500(1500 )20其他求 E (X)解：E(X) = xf (x)dx1500x(1500 )2dx30001 1500 x(3000 -x)(1500 )2dx1(1500 )2x3 1500500 x3000(1500 )15006.六設隨機變量X的分布為X-20Pk0.40.3=1500 (分)求 E (X)， E (3X2+5)20.3解:E (X)= ( - 2) >0.4+0 >0.3+2 >0.3= - 0.22 2 2 2E (X )= (- 2) X0.4+0 >0.3+2 ».3=2.82 2E (3X +5) = 3E

5、(X )+ E (5)= 8.4+5=13.47七設隨機變量X的概率密度為e , x >0f (x) = *0, x 蘭0求(1) Y=2X(2) Y=e-2x的數學期望。XE(y) = 2xf (x)dx = 2xe_dx= l-2xe" _2e P：=20* 2x乂 2x x(2) E (Y) e - f (x)dx e - e _ ex. 01_3xeod0123-10.20.1000.100.310.10.10.18八設（X, Y）的分布律為(1)求 E (X), E (Y)。設 Z=Y/X，求 E (Z )。(3)設 Z= (X - Y 幾求 E (Z)。>&l

6、t;123-10.20.100.300.100.30.410.10.10.10.30.40.20.41解：（1 ）由X, Y的分布律易得邊緣分布為E(X)=1 X0.4+2 >0.2+3 >0.4=0.4+0.4+1.2=2.E(Y)= ( - 1) >.3+0 >0.4+1 X0.3=0.3Z=Y/X-1-1/2-1/301/31/21Pk0.20.100.40.10.10.1E (Z )= ( - 1) >.2+( - 0.5) >1+( - 1/3) 0+0 X0.4+1/3 >1+0.5 >1 + 1 >.1=(-1/4)+1/30

7、+1/20+1/10=( - 15/60)+11/60= - 1/15.Z (X-Y)20(1-1)21(1- 0)2 或(2-1)24(2 - 0)2 或(1- (-1)2 或(3-1)29(3- 0)2 或(2-(-1)216(3-(-1)2Pk0.10.20.30.40E （Z ）=0 X 0.1+1 >0.2+4 >0.3+9 >0.4+16 >0=0.2+1.2+3.6=510.十一工廠生產的某種設備的壽命X （以年計）服從指數分布，概率密度為丨11 Xf（x） = ：e 4 ,x 0工廠規(guī)定出售的設備若在一年內損壞，可予以調換。若工廠出售0, x 蘭0臺設備

8、可贏利100元，調換一臺設備廠方需花費300元。試求廠方出售一臺設備凈贏利的數學期望。解：一臺設備在一年內損壞的概率為P(X11 -Tx-e dx = -e“ 01故 P(X _1) =1 _ P(X ：1) =1 -(1 -e 一4 )14e 4 .設Y表示出售一臺設備的凈贏利(-300Y =f(X)=TOO ) - -200 ,(X : 1)100 ,(X _1).故 E(Y) =( -200 ) P (X ：1) - 1001P (X _1) - -200200 e 一41100 e 一411十一數學期望。解：設X1= 300 e _4 -200 : 33.64某車間生產的圓盤直徑在區(qū)間

9、(a, b)服從均勻分布。試求圓盤面積的為圓盤的直徑，則其概率密度為45rf (x) =< b _a1, X (a,b)0,其它.用Y表示圓盤的面積，則丫 =丄n X42,從而12nE(Y)nx f (x)dx =.44 - ax2 dx =b a4(b a)青(a2 abb2).#12.十三設隨機變量X1, X2的概率密度分別為2ef1(X)=*02xx - 0x遼04e ", x >0f2(x) =*0, x 蘭0求(1) E (X1+X2), E (2X1 - 3X 2)；(2)又設X1 , X2相互獨立,求 E (X1X2)oO解：(1) E(X. X2) =E(

10、XJ E(X2) = x 2e x$000dx 亠 1 x-04e "dx_xe，x _丄e2-2x嚴+ | xe亠丄e" 產=丄+丄0_4024#(2) E (2X1 _3X：) =2E(XJ _3E(X：) =2 丄 _3"x2 4e -x dx2o2 _4xx_4=1_3_xee-21_4xe _8(3) E(X1X2E(X1) E (X 2)二丄丄二丄24813十四將n只球（1n號）隨機地放進 n只盒子（1n號）中去，一只盒子裝一只球。將一只球裝入與球同號的盒子中，稱為一個配對，記X為配對的個數，求E(X)1解：引進隨機變量Xi =丿0第i號盒裝第第i號盒

11、裝非i號球i號球i=1,2, , nn則球盒對號的總配對數為X =7 Xji 4Xi的分布列為Xi：10P:1 nn 1nnn1E(XJ ni=1,2 , n1E(X) =E(7 XJ 7 E(XJ = n 1i=1,2 ” ni q!i q!n14.十五共有n把看上去樣子相同的鑰匙，其中只有一把能打開門上的鎖，用它們去試開門上的鎖。設抽取鑰匙是相互獨立的，等可能性的。若每把鑰匙經試開一次后除去，試用下面兩種方法求試開次數X的數學期望。（1）寫出X的分布律，（2）不寫出X的分布律。X123” nP1n 11n 1n 211nnn 1nn -1n 2n11E (X ) =12nn-11+2 +n

12、 n +1亠 n 二二nn2（2）設一把一把鑰匙的試開，直到把鑰匙用完。46、i第i次試開能開門設 Xi第i次試開不能開門i= 1,2 , nn則試開到能開門所須試開次數為X Xii 4Xii01E (Xi)= i Dn 1 n 21 1n -1nPi= 1,2, nnn 1n innnne(x)E (X i) _ E i =1 2+ +nn +1Tynnnn215. (1)設隨機變量X的數學期望為E (X),方差為D (X)>0，引入新的隨機變量(X*稱為標準化的隨機變量)：X * = X -E (X )Jd(X)驗證 E (X* )=0，D (X* )=1(2)已知隨機變量X的概率密

13、度。巾|1 _x |,f (x)=乜00 : x : 2其它，求X*的概率密度。解：(1)E(X*) =E %=二_E(X) E(X) =0JD(X) Jd(x)2 2D (X* )= E X* -E (X )* = E (X* )=X -E (X )(2)|_ Jd(X)- E X - E ( X ) 2 D ( X ) = 1D(X )DX2 1E(X )二 x1 |1 x |dx 二b0 " 02x1 (1 x)dx 亠 I x1 - (1 x)dx =1丨12 1E(X2) = x21-|1 x |dx = x21 -(1 x)dxL 0 L048x)dx6#2 2D(X)

14、=E(X ) _【E(X)X -E(X ) X -1 X*Jdx J 1X -1Fx* (y) =P(X* E y) =P(：:：y) =P(X<y1)1r qof (x)dx01=y _1=* 打61_|1 _x |dx-11y 1.61一y61.6 y 1 _2,即一 .6 ：. y _ . 6時-1,即6 ： y 時49#-、6 ： y _ . 6 y為其他值f(x)=« V e °,x°其中0>0是常0, x 蘭0E(X)x1 - - e 0 dx0_x_x=0 xd(-e 0 )=-xe 0。弋一： _x.xe 0 dx=0 - (-0 e

15、0 )-be0 =01gX* (y)1_|1 _(丁 y +1) | V6016.十六設X為隨機變量，C是常數，證明D (X )<E (X-C)2，對于CM E (X ), (由于D (X ) = E X E (X )2，上式表明E (X C )2當C=E (X )時取到最小值。)證明：D (X ) E (X C )2 = D (X2) E (X )2 E (X2) 2CE (X2 )+ C =E (X )2 2CE (X2 )+C22=E (X ) C <0,當 E (X ) m C 時 D (X )< E (X C )217.設隨機變量X服從指數分布，其概率密度為數，求

16、E (X ), D (X )。解：50x令t X又 E(X 2)二1x e 0 dx gt e dt = 2 gg doJ o2 2 2 2 2D (X )= E (X ) E (X )=2 9-g=921.設Xi, X2 , , Xn是相互獨立的隨機變量且有 E(X二D(Xi)2,i=1,2, , n.2 1 八dil 2(X i -X ). (1)驗證 E(X) = g,D(X).(2)驗證n證明:(1)D(X)2-nX驗證2E (S )E(X)fXi)i -1（利用數學期望的性質2°, 3° )-D(丄' Xi)n i 二' D(Xi2CT(J（利用方

17、差的性質2 ° , 3 °(2)首先證 a (X i -X)2 -7 X-nX于是S2-X)2=zi 土n _1(Xi22Xi-2nX2 2i _nX(3) E(S2) =E-n 1i =tV (Xin -1 2 X nX ='、-X)2(X-E(Xj2) nE (X 2)-2Zi 42 X i -nX-X )2EL X：i =±i X nX2-nX )5152-1(D(Xi) - E (XJ2_n(D(X) E (X)1n -1-n g2223.二十五n(n設隨機變量X和Y的聯合分布為:X10111118881100881111888驗證：X和Y不相關，

18、但X和Y不是相互獨立的。133證：P X= 1Y=1= - P X= 1= - P Y=1=-888P X=1Y=1工 P X=1 P Y=1 X, Y不是獨立的又E (X )= 1xd+oxZ+1x? =0888323E (Y )= 1 X +0X +1X =0888COV(X, Y )=EX E (X )Y E (Y )= E (XY ) EX EY=(1)( 1)丄+( 1)1 X1 +1 X( 1) X1 +1=08 8 8 8 X, Y是不相關的27. 已知三個隨機變量 X,Y,Z 中, E (X )= E (Y )=1, E (Z )= 1,D (X )=D (Y )= D (Z

19、)=1,PXY=OPXZ=- , PYZ=丄。設 W=X+Y+Z 求 E (W ), D (W )。2 2解：E (W )= E (X+Y+Z )= E (X )+ E (Y )+ E (Z )=1 + 1 1=12D (W )= D (X+Y+Z )= E (X+Y+Z ) E (X+Y+Z ) 2=E X E (X )+ YE (Y )+Z E (Z )+2 Y E (Y ) Z-E (Z )+2Z E (Z ) X - E (X )=D (X )+D (Y )+D (Z )+2 COV(X, Y )+ 2 COV(Y, Z )+ 2 COV(Z, X )=D (X )+D (Y )+D

20、(Z )+2 D(X )D(Y) p xy 2,D(Y)D(Z) p 泣1 f r 1+ 2 D (Z )D (X ) pZX =1 + 1+1+2 X. 1102、.11( 一 )v 2 21 1 (丄)=326.二十八設隨機變量(X1, X2)具有概率密度。解:f(x, y)y) ,0< x< 2,80< yw 22217E(X2)dxx(x y)dy 二0-0862217E(X2)dxy(x - y)dy 一匚0匚08677COV(Xg)= E(X 1)( 2 -66)227711:0dx (x)(y)(x y)dy =弋00 66836E (X1)，E (X2)，CO

21、V(X1，X2)，pxmD (X, X 2)2 2 2 2 2D(X1E(X1)-E(X1)-odX oX8(X y)dy-f 唱22D(X2)=E(X2)-E(X2)2 2=_ dx ,0 y21(X y)dy854#1112 2 2 2 2 2 2 2 222=a EX BEY a (EX ) + gEY) = a DX 3 DY= ( a -3 ) dDZi= <DX+3 2dy=( a B2) d2, dz2=/dx+3 2dy=( a B2)/,(利用數學期望的性質 2° 3° )故 P Z.ZCov R ,Z2) DZ ! : DZ 22 2(a- 3 )

22、(a- 3 )29. 二十三卡車裝運水泥，設每袋水泥重量(以公斤計)服從 N (50,2.52)問 最多裝多少袋水泥使總重量超過2000的概率不大于0.05.解：已知XN ( 50,2.52)不妨設最多可裝 A袋水泥才使總重量超過2000的概率不大于0.05.則由期望和方差的性質得Y=AXN ( 50A,2.52A) 故由題意得P Y2000 < 0.05 PY :： 2000 )_ 0.95pm不 2000 50 A L 木豐/曰2000 50 A “ 鳥刀/白 A即 |>0.95查表得 >1 .65解得 A為9.I 2.5丿2.5 £ A30. 三十二已知正常男

23、性成人血液中，每一毫升白細胞數平均是7300，均方差是700,禾U用契比雪夫不等式估計每毫升含白細胞數在52009400之間的概率p.解：由題意知 卩=7300, d =700,則由契比雪夫不等式700 218P5200 < X <9400 = P| X -7300 | 冬2100 _110.88892100 2992 2 2 2 231. 三十三對于兩個隨機變量 V,W若E(V )E (W )存在，證明E (VW)壬(V )E (W ) 這一不等式稱為柯西施瓦茲( Cauchy-Schwarz )不等式.證明：由|VW (V 2 W 2)和關于矩的結論，知當E (V2 ), E

24、(W 2 )存在時E (VW),2 2 2E(V), E(W), D (V), D (W),都存在.當E (V ), E (W )至少有一個為零時，不妨設E (V )=0, 由 D (V)= E (V2 ) E (V)2壬(V2 )=0 知 D (V)=0，此時E (V)2 = E (V2 )=0 即 E(V )=0。再由方差的性質知P (V= 0)=1.又(VW =0)二：(V = 0)故有 P (VW=0)=1.于是2 2E(VW)=0，不等式成立.當 E (V )>0 , E (W )>0 時，對-t 0有 E (W tV)2 = E (V2 ) t2 2 E(VW)t+ E

25、 (W 2 ) > 0.(*)(*)式是t的二次三項式且恒非負，所以有 ？= 2 E(VW) 2 4 E (V2 ) E (W 2 ) 0故Cauchy-Schwarz不等式成立。二一(1)設隨機變量 X1 ,X2,X3 ,X4相互獨立，且有 E (Xi )=i, D (Xi )=5 i, i=1,2,3,4。1設 Y=2 X1 X2+3X3 -X4, 求 E (Y), D (Y)。22 2(2)設隨機變量 X, Y相互獨立，且XN( 720,30 ), 丫N(640, 25 ),求Zj=2X+Y ,Z2=X-Y 的分布，并求 P X>Y , P X+Y> 1400 解：(1

26、)利用數學期望的性質 2°, 3。有E (Y)= 2E (Xi)-E (X2 )+3 E (X3) 1 E (X4)=72利用數學方差的性質 2° , 3。有2 2 2 1 2 D (Y )=2 D (X1)+ ( 1) D (X2)+3 D (X3)+(-丄)D (X4)=37.252(2)根據有限個相互獨立的正態(tài)隨機變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布，知Z1 N (, ) Z2 N (, )而 E Z1=2EX+Y =2X720+640, D 0)= 4D (X )+ D (Y)= 4225E Z2=EX EY=720 640=80, D (Z2)= D (X )+ D (Y )= 1525即 Z1N (2080, 4225), Z2N ( 80, 1525)f0 _8