概率論總復習知識總結

1、概率論總復習知識總結2隨機試驗可能結果基本事件Ai不含任何eiAi任何組合iiA事件AS不可能必然完備事件組Ai0)(ijiApjiAASAii等概完備事件組nAPi1)(ni,2 , 1 貝努利試驗獨立試驗 概型只有兩個可能結果n次重復等概概型條件： n次試驗中 A發(fā)生k次nkqpCkXPknkkn, 2 , 1pAP)(B由其中m個事件組成公式nmBP)(（一）概念之間的關系（一）概念之間的關系一、一、隨機變量與概率隨機變量與概率31、運算關系、運算關系包含包含： A 則 B 相等相等： A = B和和：至少有一個發(fā) 生 AUB積積：同時發(fā)生 ABBAABBA且ABSABA、B不相容BAA

2、、B 對立 記為AB 差： ABB =SA（二）事件的關系（二）事件的關系4除與一般代數(shù)式運算相同的法則以外，注意1）對偶律對偶律 2）其他其他3）獨立性獨立性事件的獨立性是由概率定義的；n個事件的獨立性要求:ABABABABAAAAAAAS()()ABCABAC21nn個等式成立。（三）（三） 解題方法解題方法1、一般概率、一般概率1） 利用兩種概型10 古典20 n重貝努利概型2） 利用事件間的運算2、運算法則、運算法則5化為事件的和利用對立事件A、B相互獨立分解到完備組中： 全概公式利用隨機變量及其分布計算。()P AB)()()(ABPBPAP)()(BPAP一般情況AB11P ABP

3、 ABP AB 化為事件的積)(ABP)|()(ABPAP)()(BPAP一般情況 1/nkkkP AP B P A B12,nB BB是完備組，62） 用乘法公式1） 在縮減完備組中計算，方法同 1。3） 用貝葉斯公式2 2、條件概率、條件概率)()()/(APABPABP(|)kP BA (1,2, )kn()( )kP ABP A1() (|)nkkkP B P A B() (|)kkP B P A B7一實數(shù)值X(ei),（一）隨機變量的定義（一）隨機變量的定義對于隨機試驗E的每一個可能結果ei,的變量，則稱實數(shù)變量X(ei)為一個隨機變量，簡記為X。注意：注意：1、X 是定義在隨機試

4、驗結果的集合 ei 上按試驗的不同結果而取不同的值.取值是隨機的. 2、在一定的試驗下，二、隨機變量及其分布二、隨機變量及其分布都唯一地對應著因此X的可以依據(jù)我們所關心的結果的數(shù)值特征選取 X 所代表的具體意義。3、X 的引入使我們便于研究隨機試驗的全貌，并使用分析的工具。81、離散型隨機變量隨機變量 X 的取值可以一一列舉（有限或無限）定義定義概率分布（分布列分布列） 表示法稱X 為離散型隨機變量離散型隨機變量。（二）隨機變量的分布及性質（二）隨機變量的分布及性質, 2 , 1kpxXPkk公式法列表法nkknkpppppxxxxX2121kpx1xnpkp1pkxnx圖示法性質性質, 2

5、, 10. 1kxXPknkkp11. 29定義定義對于隨機變量X，若存在非負函數(shù)xduupxXPxF)()()(使對任意實數(shù) ,p xx 則稱X為連續(xù)型隨機變量連續(xù)型隨機變量， xxp為的密度的密度.都有,xp(x)0 x1其圖形：.1)(dxxp ,0 xxp(2) 歸一性歸一性(1) 非負性非負性密度函數(shù)的性質密度函數(shù)的性質2 2、連續(xù)性隨機變量、連續(xù)性隨機變量103、分布函數(shù)、分布函數(shù))()(xXPxF)(x為X的分布函數(shù). 記作設 X是一個隨機變量，稱 .xFX定義定義1 1分布函數(shù)的性質分布函數(shù)的性質 1、單調不減性單調不減性：; 1)(lim)(, 0)(lim)(xFFxFFx

6、x000()lim( )().xxF xF xF x3、右連續(xù)性右連續(xù)性：對任意實數(shù) x，2、歸一歸一 性性：若 x1x2, 則 F (x1) F (x2);對任意實數(shù)x， 0 F(x) 1，且111）分布函數(shù)的值表示了X落在2）離散型： 若分布函數(shù)的幾點說明分布函數(shù)的幾點說明)(xF是一個普通的函數(shù)，在 )(xFx處),(x內的概率。, 3, 2, 1kpxXPkk xxkkpxFxxkkxXPx由于 xF是X 取的諸值kx的概率之和，故又稱 為累積概率函數(shù)為累積概率函數(shù). . xF圖形特點：圖形特點：是一條有跳躍的上升階梯形曲線。 xF1xkx3x2xxkp3p2p1p1123 3） X為

7、連續(xù)性隨機變量為連續(xù)性隨機變量( )()( )xF xP Xxp t dtp (x)0 xx)(xF 1221)(xFxFxXxP21)(xxtdtp21xx 在 的連續(xù)點處，xp xFxpp (x)x01x2x133）把Y的分布用表（離散型）或Y的密度（連續(xù)性）1、問題：若YX,之間的事件等價關系。關系和分布函數(shù)關系。是隨機變量，表述出來。其中已知X 的分布，求的分布。2、基本方法4、隨機變量函數(shù)的分布、隨機變量函數(shù)的分布).(XY)(xy是 x的函數(shù)。)(XY研究1）由)(XYYX,2）由YX,之間的事件的關系再求YX,之間的分布3、具體討論14則當若若X的分布列的分布列., 2 , 1n

8、kpxXPkk).(XY)(kkxYyY)(jiyyji)(kkxXyYkkpyYPllkkyxxy)()(當則)()(lkkxXxXyYlklKkppxXPxXPyYP)()(lk 1） 離散型離散型15( ) ( ( )p yF h y ( )( )h yh y y0其他及有關函數(shù)表述出來。( ).p y求)()(yhXyXyY其為等價的事件).(YhX 將( )F y用 ( )F h y利用( )( )Fyp y求出Y的密度函數(shù)。2 2） 連續(xù)性連續(xù)性設 X是一個取值于區(qū)間ba,具有概率密度 otherbxaxxp0)(的連續(xù)型隨機變量， XY16性質：性質：（一）二維隨機變量（一）二維

9、隨機變量（X,Y) 的分布函數(shù)的分布函數(shù)yx,定義定義對于任意實數(shù)二元函數(shù)稱為二維隨機變量（X,Y)的分布函數(shù)的聯(lián)合分布函數(shù)。或稱為X和Y 三、二維隨機變量及其分布三、二維隨機變量及其分布,),(yYxXPyxF,1),(0yxF; 0),( yF; 0),(xF. 1),(; 0),(FF2.且yxF,. 1是變量的不減函數(shù)，即yx,2121yXyxXxP，1222yxFyxF，1121yxFyxF，17YX,（二）離散型（二）離散型的所有可能取值為, 2 , 1,),(jiyxji設則jijipyYxXP,2,1,ji和Y的聯(lián)合分布列聯(lián)合分布列。),(YX稱為二維隨機變量的分布列分布列，

10、或隨機變量X：性質 10jiijyYxXPp，有：性質 2，對任意的21jiji（非負性）（非負性）（歸一性）（歸一性）1jijip xxyyijiipyYxXPyxF,),(的聯(lián)合分布函數(shù)為，則YX18二維離散型隨機變量的聯(lián)合分布列二維離散型隨機變量的聯(lián)合分布列下表表示的聯(lián)合分布列也可以由，YXX Y y1 y2 yj p11 p12 . P1j . p21 p22 . P2j . pi1 pi2 . Pij . .x1 x2xi關于Y的i邊緣分布1()P Yy()jP Yy關于X的邊緣分布j11()p Xxp()iip Xxp19（X,Y ) )的邊緣分布的邊緣分布),(YXjijipyY

11、xXP,2,1,ji1jjiipxXP,2,1i設的分布列為 :),(YXX則則關于關于的邊緣分布列為1ijijpyYP,2,1j1jjiipp,2,1i1ijijpp,2,1j),(YXY關于的邊緣分布列為：分別記20( (三）連續(xù)型三）連續(xù)型總有 ),(YX, ),(yxF),(yxpyx, yxdvduvupyxF),(），（的聯(lián)合概率密度。),(yxpXY),(YX其具有以下性質：定義定義4 4 設二維隨機變量的分布函數(shù)為，對任意實數(shù)為的概率密度，或稱為隨機變量和對于非負可積的函數(shù)0),() 1 (yxp(2)( , )(,)1dxp x y dyF （非負性）（非負性）（歸一性）（歸

12、一性）),(),()3(2yxpyxyxFGdxdyyxpGYXP）（ ,),()4(21為關于X 和Y 的邊緣概率密度。定理定理 設),(YX),(yxp是的聯(lián)合密度函數(shù)，則分別是),(YX邊緣概率密度邊緣概率密度 dxyxpypY),()(dyyxpxpX),()(22均有),(YXyx,yYPxXPyYxXPXY兩個隨機變量的獨立性兩個隨機變量的獨立性若二維隨機變量對任意的實數(shù)成立，則稱隨機變量與是相互獨立相互獨立的。若記yYBxXA且 BPAPABP成立，可見X，Y 相互獨立的定義與兩個事件相互獨立的定義是一致的。判斷X，Y 相互獨立的辦法：,jijiyYPxXPyYxXP( , )(

13、 )( )XYp x ypx py23),(222121N),(YX其的概率密度為2222212121212)()( )(2)()1 (21221121),(yyxxeyxp 的邊緣概率密度分別為YX,21212)(121)(xXexpx22222)(221)(yYeypy)()(),(ypxpyxpYX024四、隨機變量的數(shù)字特征四、隨機變量的數(shù)字特征（一）數(shù)學期望（一）數(shù)學期望 E X定義定義EX1nkkkx pX為離散型( )x p x d xX為連續(xù)型若)(XYEY1()nkkkxpX為離散型( ) ( )x p x d xX為連續(xù)型., 2 , 1nkpxXPkkX為離散型其分布列為

14、X為連續(xù)型其密度函數(shù)為).(xp25若若 （X,Y ) 有聯(lián)合密度).,(yxpEX ( , )xd xp x y dyEY ( , )yd yp x y dxEZ ( , ) ( , )d xx y p x y dy),(YXZ( )Xxpx d x( , )Yypx y d y26期望的性質期望的性質nEXEXEXXXXE2121)(nXXX,211()nkkkEC XbCEC . 1其中 C 為常數(shù)。2. 對于任何常數(shù)1,2, .kCkn及 b.1()nkkkC E Xnb3. 若相互獨立， 則27 knkkpEXx12)(定義定義2)(EXXEDX計算公式（二）方差（二）方差., 2

15、, 1nkpxXPkkX為離散型其分布列為X為連續(xù)型其密度函數(shù)為).(xpDXX為離散型X為連續(xù)型2()( )xEXp x d x22)()(EXXEDXDXEXXE22)()(2812,nXXX2121)(DXDXXXD1()nkkkDC Xb0. 1Dk其中 k 為常數(shù)。3. 對于任何常數(shù)., 2 , 1nki及 b.21nkkkC DX相互獨立， 則方差的性質方差的性質DXkkXD2)(. 2DXkbkXD2)(29均勻分布泊松分布二項分布0-1分布參數(shù)范圍方差均值概率分布名稱kkqpkXP1)(. 1 , 0k()kkn knP XkC p q., 2 , 1 , 0nk()!keP

16、Xkk., 2 , 1 , 0nkotherbxaabxp01)(npnpq10 ppq10ppq10 ppq12ba 12)(2abba ( (四四) )常用的六個分布常用的六個分布( , )XB n p),(baUX( )X 指數(shù)分布000)(xxexpx0121)(EX(1, )XBp30標準正態(tài)分布參數(shù)范圍方差均值概率分布名稱01( (四四) )常用的六個分布常用的六個分布) 1 , 0( NX正態(tài)分布),(2NX2任意022()21( )2xp xex 221( )2xxex 31稱為標準化的隨機變量，有2、正態(tài)分布隨機變量函數(shù)的標準化、正態(tài)分布隨機變量函數(shù)的標準化.n. 1knkk

17、nqpCkXP )(),(2NX!keknp)1 ,0(2NXX)(x表可查。注意注意32COV ( X,Y )=E(XE X ) (YE Y ),(YXCOV()()ijijijxEXyEY pdxdyyxpEYyEXx,)(),(YXCOV若隨機變量 X, Y 為離散型.若隨機變量 X, Y 為連續(xù)型.協(xié)方差協(xié)方差DYDXEYYEXXEXY)(DYEYYDXEXXE相關系數(shù)相關系數(shù)COV( X,Y )E( XY ) EXEY一般計算公式33COV( X,Y )E(XY) EXEY可見，可見，()E XYEX EY存在的必要條件為COV( X,Y ) 0 .即即0),(DYDXYXCovXY

18、定義：定義： 若0),(YXCOV可見，若X與Y 獨立，(, )0.OVCX Y 稱稱X與與Y不相關。不相關。 D(X士Y) = D X + DY士2COV( X,Y ) D(X士Y) = D X + DY即即341. COV( X,X ) E( X- EX )2 = DX ；3. COV( aX, bY ) ab COV( X,Y ), a,b是常數(shù)；4. COV( X1+X2 ，Y ) COV( X1,Y )+ COV( X2,Y ).二、協(xié)方差與相關系數(shù)的性質二、協(xié)方差與相關系數(shù)的性質2. COV( X,Y ) COV( Y , X ) ；COV ( X,Y )=E(XE X ) (YE

19、 Y )1XY5.5.35),()()(YEXEXYE2 2）, 0),( YXCov3 3）),()()(YDXDYXD4 4）, 0 XY 1 1）相關系數(shù)）相關系數(shù)則稱則稱X與與Y不相關；不相關；四個等價命題：四個等價命題：36或2,DXEX方差,022/|XP22/1|XP（一）（一） 切比雪夫不等式切比雪夫不等式五、大數(shù)定理與中心極限定理五、大數(shù)定理與中心極限定理設對任意不等式成立， 則稱此式為切比切比雪雪夫不等式夫不等式切比雪夫大數(shù)定律切比雪夫大數(shù)定律niniiinXEnXnP111| )(11|lim獨立同分布下的大數(shù)定律1|1|lim1 niinXnP貝努里大數(shù)定律貝努里大數(shù)定

20、律1|limpnnPAn37lim1xnnXPniin2-t2-1edt( )2xx 之和總可以近似服從正態(tài)分布.（二）獨立同分布下的中心極限定理（二）獨立同分布下的中心極限定理設X1,X2, Xn , 相互獨立，且服從同一分布，具有相同的期望和方差., 2 , 12nkXDXEkk則此定理表明此定理表明，無論,21nXXX原來服從什么分布， 當n 充分大時，1, 01NnnXnii21,nnNXnii即38lim (1)nYnpPxnppdtext2221（三）棣莫佛拉普拉斯中心極限定理（三）棣莫佛拉普拉斯中心極限定理Y設隨機變量10),( ppnB則對任意的，有x x1nkkYX)()(n

21、pqnpanpqnpb此定理的常用公式有：kkn kna k bP aYbC p q P Yb1)(2npqnpb統(tǒng)計部分統(tǒng)計部分第六章第六章1. 卡方分布、t分布、F分布的定義及性質； 2. 抽樣分布定理： (4) (1)/Xt nSn 點估計量的求解方法 （1）矩法； （2）極大似然法；2. 無偏性 3. 置信區(qū)間 21,( ,)nXXN 設則關于參數(shù) 的置信度為0.95的置信區(qū)間： 1/2(1)xun1/2(2)(1)sxtnn或則關于參數(shù) 的置信度為0.95的置信區(qū)間： 222221/2/2(1)(1),(1)(1)nSnSnn統(tǒng)計部分統(tǒng)計部分第七章第七章 假設檢驗的思想 （1）原假設

22、與備選假設； （2） 的意義；2. 假設檢驗 21,( ,)nXXN 設0000001/20000001000000(1):,:(1)/(2):,:(1)/(3):,:(1)/xHHKtnsnxHHKtnsnxHHKtnsn統(tǒng)計部分統(tǒng)計部分第八章第八章1）U檢驗法；2）t 檢驗法；3）卡方檢驗法概率部分概率部分第一章第一章 典型題目典型題目3 . 0)(AP4 . 0)(BP2 .0)(ABP例 已知)(BAP則()( )( )()P ABP AP BP AB( )( )( )()P AP BP AP AB0.60.2 0.30.66第二章第二章9/161/820,0/16,041,4xxxx

23、44例：一單位有甲、乙兩人，已知甲近期出差的概率一單位有甲、乙兩人，已知甲近期出差的概率 為為80%80%，若甲，若甲出差，則乙出差的概率為出差，則乙出差的概率為20%20%；若甲不出差，則乙出差的概率為；若甲不出差，則乙出差的概率為90%90%。(1)(1)求近期乙出差的概率；求近期乙出差的概率； (2)(2)若已知乙近期出差在外，求若已知乙近期出差在外，求甲出差的概率。甲出差的概率。 ( )0.80, (|)0.20, (|)0.90P AP B AP B A已知 1 ( )()P BP ABAB44( ) ( | )( ) ( | )P AP B AP A P B A0.8 0.2 0.

24、2 0.934 % ()()1682 ( | )( )()()3417P ABP ABP A BP BP ABP ABABAB與不相容Bayes公式全概率公式()()P ABP AB解：設A=甲出差，B=乙出差4545 例3：設X的概率密度為 (1)求常數(shù)c的值； (2) 寫出X的概率分布函數(shù)； (3) 要使 求k的值。 解：2()3P Xk， 01( )2 9 360 cxf xx其他 1( )f t dt1 ( )F xP Xx2 2 ()( )4.53P XkF kk3 使160329cdtdt23c13c010103 0 01 0131 13312 3639 1 6xxxdtxdtxd

25、tdtxx0 03 011 3 13(23)/9 361 6xxxxxxx第二章第二章)31()32(223C5225e2) 1341(11/22433第二章第二章1)( )( , )12 (01),xXxfxf x y dydyxx11110110( )( , )10110100yYydxyyyfyf x y dxdxyyy 其他其他1111122)( )()()2(01)(1) ( 12)333339ZXzzzzfzfzz 10| |013)()( , )0 xxyxxE XYxyf x y dxdyxdxy dy 14)02P Y 4848 例：2( ,) (0) ( ).YXNYaXb

26、 aYfy 設， 求 的概率密度( )yg xaxb ，3, 04( ) ( )80, YxxXf xYXfy。若， 求 其他3( ) yg xx，131, 064( )24 0 , Yyyfy其他222( ,) (,)XNYaXbYN ab a 一般若， ( )0g xa ，( )ybxh ya1( )()YXybfyfaa222()212yabaea22(,)YN ab a13 ( )xyh y2( )30g xx ，21331( )()3YXfyyfy解： 例： 解：49例 設隨機變量 的概率密度為),(YX其它, 0, 42 , 20),6 (),(yxyxkyxf（1）確定常數(shù) ；（

27、2）求 ；（3）求 ；（4）求k3, 1YXP5.1XP4YXP50解：（1）由 得 , 1),(dxdyyxfdyxxxxykdxyxkdy02216)6(14220422kyykdyyk824)10()2212(4228/1k 所以：dxyxdyYXP)6(813, 13210（2）dyy32211818351dxyxdyXP)6(815 . 1425 . 10（3）3227238638142dyyGdxdyyxfGYXYXP),(),(4dxyxdyy)6(8142403224)4 (61)4 (8132yy（4）在 的區(qū)域 ： 上作直線 ，并記則0),(yxf42 , 20yxR,42

28、 , 20:xyxG4 yx.0,),(.3, 1,3, 0., 2,0, 1, 0, 0,1, 0:),(),(22 UVPVUYXYXVYXYXXUVUyxyyxDYX并計算并計算的聯(lián)合概率分布的聯(lián)合概率分布求求如下如下隨機變量隨機變量定義定義上的均勻分布上的均勻分布服從服從設隨機變量設隨機變量.,),(概率概率布的特征計算其取值的布的特征計算其取值的并利用均勻分并利用均勻分的所有可能取值的所有可能取值寫出寫出VU例例3 思路思路 解解的聯(lián)合密度函數(shù)為的聯(lián)合密度函數(shù)為由題設知由題設知),(YX .),(, 0,),(,2),(DyxDyxyxf:6),(個個可可能能取取值值有有VU)1 ,

29、 2()0 , 2()1 , 1()0 , 1()1 , 0()0 , 0(, 0)(0, 0 PVUP, 0)(0, 1 PVUP3,01, 1YXYXPVUP yxyxfYXPyxdd),(00 yxyxdd20 .41 BCEAOCSS扇扇扇扇1, 0 VUP0 XP,21 BCECOESS扇扇扇扇3,0, 2YXXYPVUP 3YXP ,61 BCEBOFSS扇扇扇扇3, 0YXXP ABECF3,1, 2YXXYPVUP 3YXYP .121 BCEAOFSS扇扇扇扇的的聯(lián)聯(lián)合合概概率率分分布布為為所所以以),(VUVU2101061001214121從而從而0 UVP1, 21,

30、1 VUPVUP12141 .31 . 0,0,),( ),(其其他他的的聯(lián)聯(lián)合合概概率率密密度度為為設設隨隨機機變變量量yxcxeyxfYXy例例4.1),min()8(;1)7(;)6(;),()5(;21,21)4();(),()3(?)2(;)1( YXPYXPYXZYXYXPYXPxyfyxfYXcXYYX求求求求的的密密度度函函數(shù)數(shù)求求的的聯(lián)聯(lián)合合分分布布函函數(shù)數(shù)求求求求求求為為什什么么是是否否獨獨立立與與求求常常數(shù)數(shù)解解得得由由,1dd),()1( yxyxfxcxyyyded100 ,)3(2de202ccyycy . 1 cyyxfxfXd),()()2( . 0, 00,d

31、exxyxxy . 0, 0, 0,exxxxxyxfyfYd),()( . 0, 00,de0yyxxyy . 0, 0, 0,e212yyyy),()(),(,0yfxfyxfyxYX 上上由由于于在在.不不獨獨立立與與故故YX)(),()()3(yfyxfyxfYYX ., 0,0,22其他其他yxyx)(),()(xfyxfxyfXXY ., 0,0,e其他其他yxyx21)4( YXP22, 1 YPYXP 212d)(dd),(yyfyxyxfY 202102de21dedyyyxxyxy.e51e21e21221 又由條件密度的性質知又由條件密度的性質知,d)2(211xxfYX

32、PYX ., 0, 20,2)2(其他其他而而xxxfYX從而有從而有xxYXPd22110 .41 :,),()5(故有故有由于由于yYxXPyxF . 0),(,00 yxFyx有有時時或或當當有有時時當當,0 xy,),(yYxXPyxF uuvvvyded00 yvvv02de21.e )12(12yyy 有有時時當當,0 yx,),(yYxXPyxF vuuyuvxded0 xyuuu0d)ee (.e21e )1(12yxxx 故得故得 .0,e21e )1(1,0,e )12(1, 00, 0),(22yxxxxyyyyxyxFyxy或或 ,d),()()6(xxzxfzfZ根根

33、據(jù)據(jù),20,0,),(時時即即只只有有當當非非零零由由于于要要被被積積函函數(shù)數(shù)zxxzxxzxf 從而有從而有: :; 0)(,0 zfzZ時時當當,0時時當當 z 20)(de)(zxzZxxzf 20deezxzxx;e )12(e2zzz 因此因此 . 0, 0, 0e )12(e)(2zzzzfzzZ 1d)(1)7(zzfYXPZzzzzde )12(e 102 .ee1121 1),min()8( YXP1),min(1 YXP1, 11 YXPuuvvvded101 vvvde21112 .e2511 ).( )( )0( ., 0, 11,)1()( 2XDXExxcxfX和和

34、求求其其他他的的密密度度函函數(shù)數(shù)為為設設隨隨機機變變量量 解解 , )( 是偶函數(shù)是偶函數(shù)因為因為xf xxxfXEd)()( 所以所以 112d)1(xxcx , 0 22)()()(XEXEXD )(2XE 例例5 1122112d)1()1(21d)1()1(21xxcxxxc 1122d)1(xxcx 11121112d)1()1(2)1()1(2xxcxxc 1d)( xxf)(d)(2XDxxfx ),()1(21)1(21)( XDXD 于于是是.321)( XD故故, 0上服從均勻分布上服從均勻分布在在設總體設總體 X解解1 因為因為,2 根據(jù)矩估計法根據(jù)矩估計法,2 令令.2 的估計量的估計量為所求為所求所以所以 X .的估計量的估計量求求 ,),(21的的樣樣本本是是來來自自總總體體XXXXn,)0(未知未知 其中其中)(XE ,X 1A 補充補充2 2即即有有分分布布律律服服從從幾幾何何分分布布設設總總體體,X解解)(1XE 11)1( kkppk,1p ,11XAp 令令.1的的估估計計量量為為所所求求所所以以pXp .的估計量的估計量求求 p,的樣本的樣本體體 X是來自總是來自總),(21nXXX,)10(未知未知其中其中 pp), 2 , 1()1(