§9.10多面體歐拉定理的發(fā)現_第1頁
§9.10多面體歐拉定理的發(fā)現_第2頁
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文檔簡介

1、 9.109.10 研究性課題:多面體歐拉定理的發(fā)現(1 1)教學目標:1.通過探索發(fā)現歐拉公式的過程,學會提出問題和明確探索方向,體驗數學活 動的過程,培養(yǎng)創(chuàng)新精神和應用能力;2.體會數學家的創(chuàng)造性工作,掌握“實驗歸納猜想證明”的研究方法;3.通過介紹數學家歐拉的業(yè)績,激發(fā)學生獻身科學、勇于探索創(chuàng)新的精神教學重點:如何發(fā)現歐拉公式教學難點:怎樣證明歐拉公式教學過程:1.創(chuàng)設情境,提出問題1996年的諾貝爾化學獎授予對發(fā)現C60有重大貢獻的三位科學家如圖,C60是由60個C原子構成的分子,它是一個形如足球的 多面體這個多面體有60個頂點,以每一頂點為一端點都有三條 棱,面的形狀只有五邊形和六邊

2、形,你能計算出C60中有多少個五邊形和六邊形嗎? 要解決上述問題,就必須弄清多面體的頂點數、棱數和面數的關系我們知道,在平面多邊形中,多邊形的邊數b,頂點數d之間有關系b=d;而多面體 是多邊形在空間的類似,那么在多面體中,它的頂點數、棱數和面數之間有類似的規(guī)律 嗎?2.實驗探索,歸納猜想讓我們先觀察幾個簡單的多面體,填寫下表:多面體FVE四面體446正方體6812五棱柱71015四棱錐558非凸多面體6610正八面體8612“屋頂”體9916截頂立方體71015(電腦顯示各多面體,學生數數填表)問題1:你能從增減性的角度揭示頂點數、棱數和面數的關系嗎?(1)由表中數據,當我們把正方體和八面體

3、對比時,不難發(fā)現,面數增加,頂點數反而減少,而棱數未變。并且五棱柱與八面體對比時,面數增加,頂點數和棱都減少,即V、E并不隨F增大而增大,同時指出:V與E同增減的結論也不對;(2)對比正方體與八面體時,發(fā)現E未變,但F與V的數值互換,即:立方體:F=6,V=8,E=12正八面體:F=8,V=6,E=12。這說明了什么?好像隱約透露出某種聯系.為了弄清這個問題,整理資料,將上表按E增加的順序重排,得:多面體FVE四面體446四棱錐558非凸多面體6610正方體6812正八面體8612五棱柱71015截頂立方體71015“屋頂”體9916觀察上表可知:F、V單個看,雖不總是因E的增加而增加,但“總

4、體”看來,卻是F+V隨E的增加而增加。引導學生從“數量”角度尋找更精確的規(guī)律,從而不難得出一個漂亮的猜想:對任何多面體,面數與頂點數之和,等于棱數加2;即:V+F=E+2。注:盡可能讓學生經歷發(fā)現的過程,體驗不斷矯正,逐步完善的猜想歷程。(3)檢驗猜想(i)從有限到無限的檢驗以上8種多面體對于無限多個多面體來說,無異是滄海一粟,能否尋找到更多的支持 呢?問題2:能不能找到一系列或無限多個證據來說明上述猜想呢?用最常見的n棱柱和n棱錐(n=3,4,5,)檢驗,統(tǒng)計結果列成下表:多面體FVEn棱錐n+1n+12nn棱柱n+22n3n則對n棱錐來說,F+V=(n+1)+(n+1)=2n+2=E+2,

5、對n棱柱來說,F+V=(n+2)+2n=3n+2=E+2,公式都成立;于是,猜想在兩系列的無限多個多面體上被證實;這樣,我們的信心又增加了,而且增加的幅度很大。(ii)在變化中檢驗猜想審視前面檢驗過的多面體,一共有3類:一類是棱柱,一類是棱錐,由(i)對任意n棱柱和n棱錐猜想都成立.還有一類是正八面體、“屋頂”體和截頂立方體,不難發(fā)現,正八面體、“屋頂”體可看成“構造方式”相同的:它們分別是在棱柱或棱錐底面上“安裝” 一個“頂”形成的,而截頂立方體則是截“頂”得到的,那么能否將猜想作進一步的檢驗呢?即:問題3:對多面體“裝頂”、“截頂”后猜想是否還成立呢?師生共同探討:先看“裝頂”情形不妨設我

6、們裝的“頂”是n棱錐,那么在一般情形下,它失去一個面(選定裝頂的面),而增加了n個面,又增加了一個頂點和n條棱, 若原多面體的面、頂、棱數分別為F、V、E,則“裝頂”多面體的面、頂、棱數分別為:F,= F1+n, V= V+1,E= E+n;若F+V=E+2, 即卩FE+V = 2成立,那么FE+V=(F1+n) (E+n) + (V+1)= FE+V = 2,即F,+V,=E,+2也成立。對于“截頂”情形若以截去的一個頂點為端點的棱有n條,則原多面體的面數F、頂點數V、棱數E分別變?yōu)椋篎,= F+1,V=V+n1,E= E+n;若FE+V=2成立,那么F,E,+V,=(F+1) (E+n)

7、+ (V+n1= FE+V = 2,即F,+V,=E,+2也成立。我們的猜想終于經受住了“截頂”和“裝頂”兩種變化的考驗,這是一次相當嚴峻的考驗。這很自然地被看成是對猜想成立的極為有利的證據注:成熟的科學家,不輕易下結論;對一些在很多情況被證實了的規(guī)律性,他們仍表示懷疑。為了檢驗其正確性,還要進一步搜集資料,或設計新的實驗,我們也要這樣做。(iii)尋找猜想不成立的證據至此,對一系列同類型的多面體的反復檢驗已無多大意義, 而是看看能否舉例否定猜想,因為這預示了一個重要的時機: 如果猜想幾乎被推翻的情況下,最終仍得到證實,則猜想顯得 更“牢固”、可靠;猜想經歷的風險越大,越接近于(正面的) 解決

8、。既然盼望新型的證實,就要設法尋找特異的多面體。1如圖,將長方體挖去一個洞連結底面相應頂點得到的多面體,其V=16, F=16, E=32,Q則有F+V-E=0。我們的猜想對于這個“普通的”多面體竟然不成立!2如圖,對于這個多面體有V=7,F=6,E=12,則有F+V-E=1。問題4:是放棄猜想還是修改猜想?怎樣修改?學生:應修改為:對任何凸多面體,面數與頂點數之和,等于棱數加2,即:V+F=E+2。僅僅只對凸多面體成立嗎?考察下面的多面體:其V=6, F=6, E=10,則有F+V=E+2成立。指出:比較“適用”和“不適用”的2類多面體,區(qū)別在于:將多面體沖氣后,表面能否連續(xù)變形為一個球面;

9、定義:表面經過連續(xù)變形可變?yōu)橐粋€球面的多面體叫做簡單多面體.從而前面猜想應修改為:簡單多面體的頂點數V、棱數E及面數F間有關系:V+FE=2。3.聯想轉化,推理論證方法1:計算多面體各面內角和設多面體頂點數V,面數F,棱數E。剪掉一個面,使它變?yōu)槠矫鎴D形(拉開圖),求所有面內角總和一方面,在原圖中利用各面求內角總和。設有F個面,各面的邊數分別為n1, n2,,nF,則各面內角總和為:(n12)180+伽一2)180+葉2)180=(n1+ n2+ nF2F )180=(2E2F)1800= ( EF )360。(1)另一方面,在拉開圖中利用頂點求內角總和。設剪去的一個面為n邊形,其內角和為(n

10、2)1800,則所有V個頂點中,有n個頂點在 邊上,Vn個頂點在中間。中間Vn個頂點處的內角和為(Vn)3600,邊上的n個頂 點處的內角和(n2)1800。所以,多面體各面的內角總和為:0 0 0(Vn)360 + (n2)180 + (n2)180=(V2) 3600.(2)由(1)、(2)得:(EF)3600=(V2) 3600所以V + FE = 2.我們需要的不是新的證實,方法2:逐步減少多面體的棱數,分析V + FE以四面體ABCD為例分析證法。去掉一個面,使它變?yōu)槠矫鎴D形,四面體頂點數V、棱數E與剩下的面數Fl變形后都沒有變。因此,要研究V、E和F關系,只需去掉一個面變?yōu)槠矫鎴D形

11、,證V+FiE = 1 去掉一條棱,就減少一個面,V+F1E不變。依次去掉所有的面,變?yōu)椤皹渲π巍保?從剩下的樹枝形中,每去掉一條棱,就減少一個頂點,V+F1E不變,直至只剩下一條棱,這時V + F1E = 1以上過程中V+F1E不變,V + F1E = 1,所以加上去掉的一個面,有V + FE = 2。 對任意的簡單多面體, 運用這樣的方法, 都是只剩下一條線段。 因此公式對任意簡單多面 體都是正確的。指出:至此猜想成為定理:簡單多面體的頂點數V、棱數E及面數F間有關系:V+FE= 2。這個定理叫做歐拉定理,其關系式叫做歐拉公式. (多媒體播放歐拉照片和業(yè)績)4.開拓視野,實踐應用 幾點說明

12、:(i)歐拉公式描述了簡單多面體中頂點數、面數、棱數之間特有的規(guī)律.(ii)歐拉公式的發(fā)現過程展示了科學探索中“實驗一歸納一猜想一證明”的研究方法;(iii)歐拉定理證明過程中的思想方法創(chuàng)新:觀念上,假設它的表面是橡皮薄膜制成的,可隨意拉伸;方法上將底面剪掉,化為平面圖形(立體圖T平面拉開圖)。(iv)從立體圖到拉開圖,各面的形狀、長度、距離、面積等與度量有關的量發(fā)生了變化, 而頂點數,面數,棱數等不變。定理引導我們進入一個新的幾何學領域:拓撲學。我 們用一種可隨意變形但不得撕破或粘連的材料 (如橡皮泥) 做成的圖形, 拓撲學就是 研究圖形在這種變形過程中的不變的性質。(v)歐拉定理提出了多面體的一種分類方法:令f (p) = V + FE,f (p)叫做歐拉示性數。 定理告訴我們, 對于簡單多面體f (p)=2。除簡單多面體外, 還有非簡單多面體。 例如,將長方

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