§9.10多面體歐拉定理的發(fā)現(xiàn)

1、 9.109.10 研究性課題：多面體歐拉定理的發(fā)現(xiàn)(1 1)教學目標：1.通過探索發(fā)現(xiàn)歐拉公式的過程，學會提出問題和明確探索方向，體驗數(shù)學活 動的過程，培養(yǎng)創(chuàng)新精神和應用能力；2.體會數(shù)學家的創(chuàng)造性工作，掌握“實驗歸納猜想證明”的研究方法；3.通過介紹數(shù)學家歐拉的業(yè)績，激發(fā)學生獻身科學、勇于探索創(chuàng)新的精神教學重點：如何發(fā)現(xiàn)歐拉公式教學難點：怎樣證明歐拉公式教學過程：1.創(chuàng)設情境，提出問題1996年的諾貝爾化學獎授予對發(fā)現(xiàn)C60有重大貢獻的三位科學家如圖，C60是由60個C原子構(gòu)成的分子，它是一個形如足球的 多面體這個多面體有60個頂點，以每一頂點為一端點都有三條 棱，面的形狀只有五邊形和六邊

2、形，你能計算出C60中有多少個五邊形和六邊形嗎？ 要解決上述問題，就必須弄清多面體的頂點數(shù)、棱數(shù)和面數(shù)的關系我們知道，在平面多邊形中，多邊形的邊數(shù)b,頂點數(shù)d之間有關系b=d;而多面體 是多邊形在空間的類似，那么在多面體中，它的頂點數(shù)、棱數(shù)和面數(shù)之間有類似的規(guī)律 嗎？2.實驗探索，歸納猜想讓我們先觀察幾個簡單的多面體，填寫下表:多面體FVE四面體446正方體6812五棱柱71015四棱錐558非凸多面體6610正八面體8612“屋頂”體9916截頂立方體71015(電腦顯示各多面體，學生數(shù)數(shù)填表)問題1:你能從增減性的角度揭示頂點數(shù)、棱數(shù)和面數(shù)的關系嗎？(1)由表中數(shù)據(jù)，當我們把正方體和八面體

3、對比時，不難發(fā)現(xiàn)，面數(shù)增加，頂點數(shù)反而減少，而棱數(shù)未變。并且五棱柱與八面體對比時，面數(shù)增加，頂點數(shù)和棱都減少，即V、E并不隨F增大而增大，同時指出：V與E同增減的結(jié)論也不對；(2)對比正方體與八面體時，發(fā)現(xiàn)E未變，但F與V的數(shù)值互換，即：立方體：F=6,V=8,E=12正八面體：F=8,V=6,E=12。這說明了什么？好像隱約透露出某種聯(lián)系.為了弄清這個問題，整理資料，將上表按E增加的順序重排，得：多面體FVE四面體446四棱錐558非凸多面體6610正方體6812正八面體8612五棱柱71015截頂立方體71015“屋頂”體9916觀察上表可知：F、V單個看，雖不總是因E的增加而增加，但“總

4、體”看來，卻是F+V隨E的增加而增加。引導學生從“數(shù)量”角度尋找更精確的規(guī)律，從而不難得出一個漂亮的猜想：對任何多面體，面數(shù)與頂點數(shù)之和，等于棱數(shù)加2;即：V+F=E+2。注：盡可能讓學生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)的過程，體驗不斷矯正，逐步完善的猜想歷程。(3)檢驗猜想(i)從有限到無限的檢驗以上8種多面體對于無限多個多面體來說，無異是滄海一粟，能否尋找到更多的支持 呢？問題2：能不能找到一系列或無限多個證據(jù)來說明上述猜想呢？用最常見的n棱柱和n棱錐(n=3,4,5，)檢驗，統(tǒng)計結(jié)果列成下表：多面體FVEn棱錐n+1n+12nn棱柱n+22n3n則對n棱錐來說，F(xiàn)+V=(n+1)+(n+1)=2n+2=E+2，

5、對n棱柱來說，F(xiàn)+V=(n+2)+2n=3n+2=E+2，公式都成立；于是，猜想在兩系列的無限多個多面體上被證實；這樣，我們的信心又增加了，而且增加的幅度很大。(ii)在變化中檢驗猜想審視前面檢驗過的多面體，一共有3類：一類是棱柱，一類是棱錐，由(i)對任意n棱柱和n棱錐猜想都成立.還有一類是正八面體、“屋頂”體和截頂立方體，不難發(fā)現(xiàn)，正八面體、“屋頂”體可看成“構(gòu)造方式”相同的：它們分別是在棱柱或棱錐底面上“安裝” 一個“頂”形成的，而截頂立方體則是截“頂”得到的，那么能否將猜想作進一步的檢驗呢？即：問題3：對多面體“裝頂”、“截頂”后猜想是否還成立呢？師生共同探討：先看“裝頂”情形不妨設我

6、們裝的“頂”是n棱錐，那么在一般情形下，它失去一個面(選定裝頂?shù)拿?，而增加了n個面，又增加了一個頂點和n條棱， 若原多面體的面、頂、棱數(shù)分別為F、V、E,則“裝頂”多面體的面、頂、棱數(shù)分別為：F，= F1+n, V= V+1,E= E+n;若F+V=E+2, 即卩FE+V = 2成立，那么FE+V=(F1+n) (E+n) + (V+1)= FE+V = 2,即F，+V，=E，+2也成立。對于“截頂”情形若以截去的一個頂點為端點的棱有n條，則原多面體的面數(shù)F、頂點數(shù)V、棱數(shù)E分別變?yōu)椋篎，= F+1,V=V+n1,E= E+n；若FE+V=2成立，那么F，E，+V，=(F+1) (E+n)

7、+ (V+n1= FE+V = 2,即F，+V，=E，+2也成立。我們的猜想終于經(jīng)受住了“截頂”和“裝頂”兩種變化的考驗，這是一次相當嚴峻的考驗。這很自然地被看成是對猜想成立的極為有利的證據(jù)注：成熟的科學家，不輕易下結(jié)論；對一些在很多情況被證實了的規(guī)律性，他們?nèi)员硎緫岩?。為了檢驗其正確性，還要進一步搜集資料，或設計新的實驗，我們也要這樣做。(iii)尋找猜想不成立的證據(jù)至此，對一系列同類型的多面體的反復檢驗已無多大意義， 而是看看能否舉例否定猜想，因為這預示了一個重要的時機： 如果猜想幾乎被推翻的情況下，最終仍得到證實，則猜想顯得 更“牢固”、可靠；猜想經(jīng)歷的風險越大，越接近于(正面的) 解決

8、。既然盼望新型的證實，就要設法尋找特異的多面體。1如圖，將長方體挖去一個洞連結(jié)底面相應頂點得到的多面體，其V=16, F=16, E=32,Q則有F+V-E=0。我們的猜想對于這個“普通的”多面體竟然不成立！2如圖，對于這個多面體有V=7,F=6,E=12,則有F+V-E=1。問題4:是放棄猜想還是修改猜想？怎樣修改?學生：應修改為：對任何凸多面體，面數(shù)與頂點數(shù)之和，等于棱數(shù)加2，即：V+F=E+2。僅僅只對凸多面體成立嗎？考察下面的多面體：其V=6, F=6, E=10,則有F+V=E+2成立。指出：比較“適用”和“不適用”的2類多面體，區(qū)別在于：將多面體沖氣后，表面能否連續(xù)變形為一個球面；

9、定義：表面經(jīng)過連續(xù)變形可變?yōu)橐粋€球面的多面體叫做簡單多面體.從而前面猜想應修改為：簡單多面體的頂點數(shù)V、棱數(shù)E及面數(shù)F間有關系：V+FE=2。3.聯(lián)想轉(zhuǎn)化，推理論證方法1:計算多面體各面內(nèi)角和設多面體頂點數(shù)V，面數(shù)F,棱數(shù)E。剪掉一個面，使它變?yōu)槠矫鎴D形(拉開圖)，求所有面內(nèi)角總和一方面，在原圖中利用各面求內(nèi)角總和。設有F個面，各面的邊數(shù)分別為n1, n2,，nF,則各面內(nèi)角總和為：(n12)180+伽一2)180+葉2)180=(n1+ n2+ nF2F )180=(2E2F)1800= ( EF )360。(1)另一方面，在拉開圖中利用頂點求內(nèi)角總和。設剪去的一個面為n邊形，其內(nèi)角和為(n

10、2)1800,則所有V個頂點中，有n個頂點在 邊上，Vn個頂點在中間。中間Vn個頂點處的內(nèi)角和為(Vn)3600，邊上的n個頂 點處的內(nèi)角和(n2)1800。所以，多面體各面的內(nèi)角總和為：0 0 0(Vn)360 + (n2)180 + (n2)180=(V2) 3600.(2)由(1)、(2)得：(EF)3600=(V2) 3600所以V + FE = 2.我們需要的不是新的證實,方法2:逐步減少多面體的棱數(shù)，分析V + FE以四面體ABCD為例分析證法。去掉一個面，使它變?yōu)槠矫鎴D形，四面體頂點數(shù)V、棱數(shù)E與剩下的面數(shù)Fl變形后都沒有變。因此，要研究V、E和F關系，只需去掉一個面變?yōu)槠矫鎴D形

11、，證V+FiE = 1 去掉一條棱，就減少一個面，V+F1E不變。依次去掉所有的面，變?yōu)椤皹渲π巍保?從剩下的樹枝形中，每去掉一條棱，就減少一個頂點，V+F1E不變，直至只剩下一條棱，這時V + F1E = 1以上過程中V+F1E不變，V + F1E = 1，所以加上去掉的一個面，有V + FE = 2。 對任意的簡單多面體， 運用這樣的方法， 都是只剩下一條線段。 因此公式對任意簡單多面 體都是正確的。指出：至此猜想成為定理：簡單多面體的頂點數(shù)V、棱數(shù)E及面數(shù)F間有關系：V+FE= 2。這個定理叫做歐拉定理，其關系式叫做歐拉公式. (多媒體播放歐拉照片和業(yè)績)4.開拓視野，實踐應用 幾點說明

12、：(i)歐拉公式描述了簡單多面體中頂點數(shù)、面數(shù)、棱數(shù)之間特有的規(guī)律.(ii)歐拉公式的發(fā)現(xiàn)過程展示了科學探索中“實驗一歸納一猜想一證明”的研究方法；(iii)歐拉定理證明過程中的思想方法創(chuàng)新：觀念上，假設它的表面是橡皮薄膜制成的，可隨意拉伸；方法上將底面剪掉，化為平面圖形(立體圖T平面拉開圖)。(iv)從立體圖到拉開圖，各面的形狀、長度、距離、面積等與度量有關的量發(fā)生了變化， 而頂點數(shù)，面數(shù)，棱數(shù)等不變。定理引導我們進入一個新的幾何學領域：拓撲學。我 們用一種可隨意變形但不得撕破或粘連的材料 (如橡皮泥) 做成的圖形， 拓撲學就是 研究圖形在這種變形過程中的不變的性質(zhì)。(v)歐拉定理提出了多面體的一種分類方法：令f (p) = V + FE，f (p)叫做歐拉示性數(shù)。 定理告訴我們， 對于簡單多面體f (p)=2。除簡單多面體外， 還有非簡單多面體。 例如，將長方