1 第一章.集合和映射ppt課件

1、 第一章 2 映映 射射1 集集 合合第一章機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 集合與映射3 函函 數(shù)數(shù)元素 a 屬于集合 S , 記作元素 a 不屬于集合 S , 記作1 集合集合1. 定義及表示法定義及表示法定義定義 1.1.1 具有某種特定性質(zhì)的具體或抽象的對象的總體稱為集合。組成集合的對象稱為元素。通常用大寫字母如 A, B, S, T,表示集合 ,記作 . aS( 或aS) .aS機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 不含任何元素的集合稱為空集 ,而用小寫字母如 a,b,x,y,表示集合的元素。集合的表示方法：集合的表示方法：(1) 枚舉法：按某種方式列出集合中的全體元素 .例例: 正

2、整數(shù)集合1,2,3, ,Nn自然數(shù)集,2,1,0Nnn(2) 描述法： Sx x 所具有的特征P例例: 整數(shù)集合整數(shù)集合 ZxNx或Nx有理數(shù)集QqpZ,N ,qp p 與 q 互質(zhì)實數(shù)集合 Rx x 為有理數(shù)或無理數(shù)正實數(shù)集,0 Rx xRx且特殊集合210 x xRx 且機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 )(aa ),(Uxa ),xbabxa ,(xbabxa無限區(qū)間 ),xaxa ,(xb bx ),(xRx點的 鄰域a ),(xaaxa xaxax0其中, a 稱為鄰域中心 , 稱為鄰域半徑 .去心 鄰域左左 鄰域鄰域 :, ),(aa右右 鄰域鄰域 :. ),(aa機動 目錄 上

3、頁 下頁 前往 終了 開區(qū)間( , ) a bxaxb半開區(qū)間閉區(qū)間 , a bxaxb數(shù)學分析中常用數(shù)學分析中常用的實數(shù)集的實數(shù)集則稱A是 B 的子集 , 或稱 B 包含 A ,2. 集合之間的關系及運算集合之間的關系及運算定義定義1.1.21.1.2.BA假設BA,AB 且則稱 A 與 B 相等,.BA 例如 ,ZNQZRQ顯然有下列關系 :;) 1 (AA;AA BA)2(CB 且CA , ,A假設Ax,Bx設有集合,BA記作記作必有機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 N若A 是 B 的一個子集，但存在一個元素 xB但 xA,則稱 A 是 B 的一個真子集。AcABB定義定義1.1.3

4、給定兩個集合給定兩個集合 A, B, 并集 xBAAx交集 xBAAxBx且差集 xBAAxBx且定義下列運算:補集)(ABBABcA其中例如：有理數(shù)關于實數(shù)集的補集是無理數(shù)集CA BAB容易知道，集合補與差滿足如下關系ABABBABA機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 Bx或 2 . 結合律結合律 3. 集合運算的性質(zhì)集合運算的性質(zhì)()()ABDABD()()ABDABD1 .1 .交換率交換率()()()ABDABAD(),CCCABAB 4 . 對偶律 ( De Morgan公式 )()CCCABAB,ABBAABBA機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 3 .分配率分配率()()()AB

5、DABAD4. 有限集與無限集有限集與無限集若集合S由有限個元素組成，則稱集合S為有限集，不是有限集的集合稱為無限集。2-3 +2=0Sxxx例如例如 N、Z、Q、R都是無限集。都是無限集。是有限集。如果無限集中的元素可以按某種規(guī)律排成一個序列換句話說，這個集合可表示為則稱其為可列集。 顯然無限集并非一定是可列集。12,na aa但容易證明：每個無限集必包含可列集。機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 證證 設設S是一個無限集，先取是一個無限集，先取a1S,由于由于S是無限集是無限集,必存在a2S, a1a2,再由S是無限集,必存在a3S, a3a1, a3a2,這個過程可以無限進行下去，于是得

6、到一個可列集為12,nTa aa機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 TS且。例例1.1.2 整數(shù)集是可列集整數(shù)集是可列集解：因為整數(shù)集可以按規(guī)律0，1，-1，2，-2，n,-n, (1,2,3,)nAn 排成一列，因而是可列集。設個集合An都是可列集，則它們的并集是無窮可數(shù)個集合，其中每一一定是可列集。即有下面的定理。121|,nnnnAAAAxnNxA存在使定理1.1.1 可列個可列集之并必是可列集。機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 證明見P7。( ,1,nnnAn nnZRA令證由定理1.1.1,只需證明(0,1中的有理數(shù)集是可列集即可.區(qū)間(0,1中的有理數(shù)可唯一表示為既約分數(shù)q/p,

7、其中pN+, qN+,qp, q，p互質(zhì)。我們按以下方式排列這些有理數(shù)。見P8.定理1.1.1 可列個可列集之并必是可列集。機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 定理1.1.2 有理數(shù)集Q是可列集。作業(yè)：作業(yè)：p10 2(2),55 .笛卡爾笛卡爾( Descartes )乘積集合乘積集合 的集合稱為集合A與集合B的Descartes 乘積集合。 設A與B是兩個集合，在集合A中任取一個元素x，ABBA記為AB, 即 ),(yxBA,AxBy特例:RR記2R為平面上的全體點集機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 在集合B中任取一個元素y，組成一個有序對 (x,y)。把這樣的有序對 (x,y)作為新的

8、元素，它們?nèi)w組成2、 映射與函數(shù)映射與函數(shù)1. 映射的概念映射的概念 某校學生的集合某校學生的集合學號的集合學號的集合按一定規(guī)則查號某班學生的集合某班學生的集合某教室座位某教室座位的集合的集合按一定規(guī)則入座機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 引例引例1. 引例引例2.xxysinRxRy引例引例3.oxy1QP1),(22yxyxC11), 0(yyY(點集)(點集)CP點向 y 軸投影YQ投影點xysinxy oxy1x2xxxysin機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 定義定義1.2.1 設 X , Y 是兩個非空集合,若存在一個對應規(guī)那么 f , 使得,Xx有唯一確定的Yy與之對應 ,

9、 那么稱 f 為從 X 到 Y 的映射,記作:( )fXY xyf x元素 y 稱為元素 x 在映射 f 下的 像 ,記作).(xfy 元素 x 稱為元素 y 在映射 f 下的 逆像也稱為原像）.集合 X 稱為映射 f 的定義域 ，記為Df=X;Y 的子集)(XfXxxf)(稱為 f 的 值域 ,記為Rf 。留意留意: 1) 映射的三要素 定義域 , 對應規(guī)則 , 值域 . 2) 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一 . XYfxy機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 對映射YXf:假設()ff XRY, 則稱 f 為滿射; XYf)(Xf假設,2121xxXxx有 )()(

10、21xfxf則稱 f 為單射;假設 f 既是滿射又是單射, 則稱 f 為雙射 或一一映射. XY)(Xff機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 例例1.三角形)(三角形集合海倫公式bcaS面積),0(例例2. 如下圖,Sxyoxey x),0 x對應陰影部分的面積),0S則在數(shù)集),0自身之間定義了一種映射(滿射滿射)例例3. 如下圖,xyo),(yxrcosrx sinry 2R),(yxf)2,0),0),(r:f則有(滿射滿射) (滿射滿射)機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 X (數(shù)集 或點集 ) 闡明闡明:在不同數(shù)學分支中有不同的慣用 X ( ) Y (數(shù)集)機動 目錄 上頁 下頁 前

11、往 終了 f f 稱為X 上的泛函X ( ) X f f 稱為X 上的變換 R f f 稱為定義在 X 上的為函數(shù)映射又稱為算子. 稱號. 例如, 2. 逆映射與復合映射逆映射與復合映射(1) 逆映射的定義 定義定義1.2.2 若映射:( )f Xf X為單射, 則存在一新映射1:(),ff XX使習慣上 ,( ) ,yf xxX的逆映射記成1( ) ,()yfxxf X例如, 映射, 0,(,2xxy其逆映射為,xy),0 x()f XXf1f1() ,( ),yf Xfyx 其中,)(yxf稱此映射1f為 f 的逆映射 .機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 (2) 復合映射機動 目錄 上頁

12、 下頁 前往 終了 1Xfg手電筒XX2X2X引例. 復合映射 定義1.2.3 xXg( )()ug xg X1uXf)(ufy 則當1()g XX由上述映射鏈可定義由 X 到 Y 的復, )(xgfy ( ),.fg xxX設有映射鏈記作1()Yf X合映射 ,時,或1(X )Yf)(ufy )(xgf1XXx)(xgu gfgf ()g X機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 留意: 構成復合映射的條件 1()g XX不可少.以上定義也可推廣到多個映射的情形.下述兩恒等映射。 要注意，映射要注意，映射f和和g的復合是由順序的，這就是說，的復合是由順序的，這就是說，機動 目錄 上頁 下頁 前往

13、 終了 特別地，若將f與它的逆映射f -1進行復合，則得到11( ),( ),fffyyyRff xxxX 講也是不同的。fg有意義并不意味gf也一定有意義。即使都有意義即Rg Df 與Rf Dg都滿足，復合映射fg與gf一般來定義域3 函數(shù)函數(shù)1. 函數(shù)的概念函數(shù)的概念 定義定義1.3.1. 設數(shù)集設數(shù)集RX ,則稱映射:RfX 為定義在D 上的函數(shù) ,記為( ) ,()fyf xxXD f ( X ) 稱函數(shù)的值域 函數(shù)圖形函數(shù)圖形: ),(yxC xX, )(xfy xy(,)Xababxy()Xf X機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 自變量因變量xXf()( ),yf Xy yf x

14、 xX(對應規(guī)則)(值域)(定義域)例如, 反正弦主值xxfyarcsin)( 1 , 1 ,X 22(),f X 定義域定義域 對應規(guī)律的表示方法對應規(guī)律的表示方法: 解析法、圖象法、列表法使表達式及實際問題都有意義的自變量集合.定義域值域xyoxy xxf)(又如, 絕對值函數(shù)0,xx0,xx定義域RX 值 域()0 ,)f X 機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 例例4. 已知函數(shù)已知函數(shù) 1,110,2)(xxxxxfy求 )(21f及, )(1tf解解:21212)(f2)(1tf10t,11t1t,2t時0t函數(shù)無定義并寫出定義域及值域 .定義域 0 ,)D 值 域 ()0 ,)f

15、 D 機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 當兩個函數(shù)不僅函數(shù)關系相同，而且定義域也相同，于是它們的值域 也必然相同，它們表示相同的函數(shù)，例如例如sin( )sin( )xxf xxxx與g否則就表示不同的函數(shù)。至于此時自變量與因變量采用什么符號，那倒是無關緊要的。 sin ,(,)yx x 因為定義域不同sin ,(,)uv v 機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 所以表示的函數(shù)也是不同的。而而與表示同一個函數(shù)。在函數(shù)的解析表示法中，函數(shù)的分段表示、隱式表示和參數(shù)表示在數(shù)學分析中是最常用的。函數(shù)的分段表示函數(shù)的分段表示( )x設A,B是兩個互不相交的實數(shù)集合，( )( )( )xxAf xxx

16、B機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 分別定義在集合A,B上的函數(shù)，那么如例如例4與是定義在集合AB的函數(shù)。( )x是函數(shù)的隱式表示函數(shù)的隱式表示是指通過方程F(x,y)=0來確定變量y是x之間的函數(shù)關系的方式。如天體力學中著名的Kepler方程。函數(shù)的參數(shù)表示函數(shù)的參數(shù)表示在表示變量x與y的函數(shù)關系時，我們常常需要引入第三個變量例如參數(shù)t），通過建立t與x、t與y之間的函數(shù)關系，間接地確定x與y之間的函數(shù)關系，即( ), , ( ),xtta byt機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 例如：上半園的方程例如：上半園的方程擺線方程擺線方程sin ,0,)1 cos ,xtttyt cos ,0

17、, sin ,xRttyRt2. 函數(shù)的幾種特性函數(shù)的幾種特性設函數(shù), )(Dxxfy且有區(qū)間.DI (1) 有界性有界性若存在兩個常數(shù)m和M,( ),mf xM使函數(shù)f(x)滿足 , Ix,0M使,)(Mxf則稱 )(xf其中其中: m是它的下界，是它的下界，M是它的上界。是它的上界。 在 I 上有界。 若函數(shù)f (x)有界，即意味著f 即有上界，又有下界; 說某函數(shù)是否有界，一定要指明其所在的區(qū)間。 當一個函數(shù)有界時，它的上下界不是唯一的；有 則稱f (x)為 I 上的有界函數(shù)。 有界函數(shù)的另一種定義： 留意：機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 , Ix如函數(shù)f (x)=1/x在1,+)上

18、是有界函數(shù)，而在(0,1)上卻是無界函數(shù)，因此不能簡單說f (x)是有界函數(shù)。 直線 y=M與y=-M為邊界的帶形區(qū)域之間。比較函數(shù)f (x)在I上有界和無界的定義，不難發(fā)現(xiàn)兩個函數(shù)有界的幾何意義是:f (x)在區(qū)間I上圖像位于兩 都存在x0I，使得|f (x0)|M。設f (x)為定義在 I 上的函數(shù)，若對任意大的正數(shù)M0， 無界函數(shù)的定義 互為逆命題的定義，有如下的對偶寫法。機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 函數(shù)的性質(zhì)定義函數(shù)f(x)在I上有上界 MR, xI, 都有f (x)M函數(shù)f(x)在I上無上界 MR, x0I, 都有f (x0)M函數(shù)f(x)

19、在I上有下界 mR, xI, 都有f (x)m函數(shù)f(x)在I上無下界 mR, x0I, 都有f (x0)M逆命題定義的主要差別在于：把存在逆命題定義的主要差別在于：把存在與任意與任意互換。互換。把x換成 x0，|f(x)|m)換成|f(x0)|M(0，那么xR，有即有1()0 xD xrx當 為有理數(shù)當 為無理數(shù)機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 所以 r 為D(x)周期。然而，正有理數(shù)沒有最小數(shù)，所以狄利克雷函數(shù)是沒有最小正周期的周期函數(shù)。同樣 f (x)=C 也是周期函數(shù)，且任何大于0的正實數(shù)都是它的周期，故它也不存在最小正周期。()( ),D xrD x那么什么樣的周期函數(shù)一定有最小正

20、周期呢？一般地，有如下的定理兩個周期函數(shù)的和或積不一定是周期函數(shù)與( )sinf xx機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 是周期函數(shù)但 F(x) = f (x)+ g (x) 卻不是周期函數(shù)。可用反證法證明如下： 例如: 定理： 設f 是異于常數(shù)的周期函數(shù),且 f 延續(xù),那么 f 有 最小正周期。( )sin,g xexxR假設F(x)是以k (k0)為周期的周期函數(shù),那么xR，有sin()sinsin()sin,xkxexkeex 即sin()sin()sinsin,xkexkexex機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 令x=(-k )/2 , 得(*)0=cos(e/2)sin(ke/2)

21、 cos(/2)sin( /2)cos(/2)sin(/2),xkkexkeke 所以,sin(ke/2)=0,因而ke必是2的整數(shù)倍,設ke=2m,mN，在(*)式中再令x=(-ke)/2e，再得Cos (/2e)sin(k/2)=0所以sin(k/2)=0，因而k必是2的整數(shù)倍，設k=2n,nN，故e=2m/ 2n=m/n,這與e是無理數(shù)矛盾！3. 反函數(shù)與復合函數(shù)反函數(shù)與復合函數(shù)(1) 反函數(shù)的概念及性質(zhì)若函數(shù))(:DfDf為單射, 則存在逆映射DDff)(:1習慣上,Dxxfy, )(的反函數(shù)記成)(,)(1Dfxxfy稱此映射1f為 f 的反函數(shù) .機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了

22、 其反函數(shù)(減)(減) .1) yf (x) 單調(diào)遞增,)(1存在xfy且也單調(diào)遞增 性質(zhì): 2) 函數(shù))(xfy 與其反函數(shù))(1xfy的圖形關于直線xy 對稱 .例如 ,),(,xeyx對數(shù)函數(shù)),0(,lnxxy互為反函數(shù) ,它們都單調(diào)遞增, 其圖形關于直線xy 對稱 .)(xfy )(1xfyxy ),(abQ),(baPxyo機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 指數(shù)函數(shù)機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 例1 若f是(-a,a) 上的奇函數(shù)，并且有反函數(shù)f -1，那么 f -1(x)也是奇函數(shù)。證: 因對任意x(-a,a), 有f (f -1(-x)= -x, 于是 x= - f(

23、f -1(-x)=f (-f -1(-x) 即對任意x(-a,a)有 f -1(x) =f -1(f (-f -1(-x) )= -f -1(-x)所以所以f -1是奇函數(shù)。是奇函數(shù)。(2) 復合函數(shù) 1),(Duufy,),(Dxxgu1)(DDg且那么Dxxgfy, )(設有函數(shù)鏈稱為由, 確定的復合函數(shù) , 機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 復合映射的特例 u 稱為中間變量. 留意: 構成復合函數(shù)的條件 1)(DDg不可少. 例如例如, 函數(shù)鏈函數(shù)鏈 :,arcsinuy ,122xu函數(shù),12arcsin2xyDx,1231,23但函數(shù)鏈22,arcsinxuuy不能構成復合函數(shù) .

24、可定義復合機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 兩個以上函數(shù)也可構成復合函數(shù). 例如, 0,uuy可定義復合函數(shù):,2cotxy ,) 12( ,2(kkxZn02cot,22xkxk時),2, 1, 0(,cotkkvvu),(,2xxv機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 例2 設f: RR嚴增, f -1是其反函數(shù),x1是f(x)+x=a的根,解: 因f(x1)+x1=a， f -1f是恒等映射知， f -1f(x1)=x1 f(x1)+f -1f(x1)=a x2是f -1(x)+x=a的根,試求x1+x2的值。 此即表明，f(x1)是方程f -1(x)+x=a的根。 但由于f嚴增，可知f

25、 -1+x也嚴增,所以方程f-1(x)+x=a 有根必唯一.故f(x1)=x2,因此 x1+x2=x1+f(x1)=a。機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 例3 假設 f -1是f 的反函數(shù),y=f -1(-x)是y = f(-x)的反函數(shù),解: 令g(x)= -x, 則y=f -1(-x)就是f -1與g(x)的復合函數(shù)，即 f -1(-x)=f -1(g(x)=(f -1g)(x) 試證f (x)是奇函數(shù)。 同理， f(-x)=f(g(x)=(f g)(x)。 按題設條件，f -1g與f g互為反函數(shù)，因此 f g=(f -1g)-1=g-1f 即對任意x(-a,a)有 f(-x) =f

26、g(x)=(g-1f)(x) = g-1(f(x)=-f(x)所以所以f是奇函數(shù)。是奇函數(shù)。4. 初等函數(shù)初等函數(shù)(1) 基本初等函數(shù)冪函數(shù)、 指數(shù)函數(shù)、 對數(shù)函數(shù)、 三角函數(shù)、 反三角函數(shù)(2) 初等函數(shù)由常數(shù)及基本初等函數(shù)否則稱為非初等函數(shù) . 例如 ,2xy y0,xx0,xx并可用一個式子表示的函數(shù) ,經(jīng)過有限次四則運算和復合步驟所構成 ,稱為初等函數(shù) .可表為故為初等函數(shù).又如 , 雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)也是初等函數(shù) .機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 非初等函數(shù)舉例:符號函數(shù)xysgn當 x 0,1當 x = 0,0當 x 0)上的任意函數(shù)上的任意函數(shù)f都可以表示成奇函數(shù)與偶函數(shù)之

27、和的形式。分析分析:假設f可以表示成奇函數(shù)與偶函數(shù)之和的形式，根據(jù)條件把這兩個函數(shù)“找出來”。( )( )( ), f xF xG xxa a ()( ),()( )FxF x GxG x 故)(xf可以表示成奇函數(shù)與偶函數(shù)之和的形式。 令()( )( )fxF xG x 機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 其中于是（1）（2）聯(lián)立式(1)與(2)，解得11( ) ( )(),( ) ( )()22F xf xfxG xf xfx 在上述證明中在上述證明中,F(x)和和G(x)這兩個函數(shù)是通過分析這兩個函數(shù)是通過分析找找出來的，而不是在證明時直接“拿出來的，這種構造性的證明思路在數(shù)學分析中是常

28、見的。它是解決初學者“為什么你能想得到，而我卻想不到的這種疑問的很好的解題方法。假設( )( )2 () ()22xyxyf xf yff證明留給大家做練習。 機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 上題的結論可用來判斷一類函數(shù)的奇偶性，其原理為設 f 可表成奇、偶函數(shù)之和的形式f(x)=F(x)+G(x),然后再用題目給定的條件證明其中的F(x)=0或G(x)=0。例 對x,yR, f (x+y)=f (x)+f (y), 證明f(x)為R上的奇函數(shù)。，那么 f (x)是偶函數(shù)。 3 . 設函數(shù)設函數(shù)),(, )(xxfy的圖形與,ax 均對稱, 求證)(xfy 是周期函數(shù).)(baby證證:

29、由 )(xaf)(xf的對稱性知),(xaf )(xbf)(xbf于是)(xf)(axaf)(axaf)2(xaf)2(bxabf)2(bxabf)(2abxf故)(xf是周期函數(shù) , 周期為)(2abT機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 4 . 求函數(shù)求函數(shù)244( )sinsincosf xxxx的周期。解解:311cos2(1 cos4 )224xx222221 cos2( )(sincos)2sincos2xf xxxxx5/4的周期為任意大于零的實數(shù),cos2x的周期為,Cos4x的周期為/2，它們的最小公倍數(shù)為，故f(x)的周期為。( )1cos3sin23xxf x 類似可求函數(shù)

30、的周期。 機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 511cos2cos4424xx 5 . 若函數(shù)若函數(shù)( )/f xx在(0,+)上單調(diào)增加，那么f(x1)+f(x2) f(x1+x2)解解:( )( )/ ,g xf xx類似可求證：機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 121122112212( )()( )()()()f xf xx g xx g xx g xxx g xx設由題設知g(x)在(0,+)上單調(diào)增加于是對x1,x2(0,+),且x11時，f (x)0, 證明 f 在R+上是增函數(shù)。 數(shù)學分析中的幾個重要不等式數(shù)學分析中的幾個重要不等式1.| |ababab證：機動 目錄 上頁

31、下頁 前往 終了 三角不等式對任意實數(shù)a和b, 都有|a baba b 所以所以222222|2|2|2|aa bbaabbaa bb開方后就得到上述不等式。因為對任意實數(shù)a和b, 都有機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 證：當n=1或h=0時，不等號顯然成立(且等號均成立)21(1)11 (1)(1)(1)(1)nnhhhhh 121()()nnnnnabab bbaa2. 伯努利(Bernoulli)不等式設h -1, nN+, 則成立(1)1nhnh 其中等號僅在h=0時成立。當n1和h 0時，將(1+h)n-1作因式分解，得到 若若h0, (1)式方括號內(nèi)的每一項都大于或等于式方括號內(nèi)的每一項都大于或等于1,因此就有當-1h0時，(1)式方括號內(nèi)的每一項都小于或等于1(1)1nhnh 而方括號中表達式之和小于n,由于hv基本初等函數(shù) (一)冪函數(shù)的圖形 同一坐標系中冪函數(shù)的圖象同一坐標系中冪函數(shù)的圖象)( 是常數(shù)是常數(shù) xyoxy)1 , 1(112xy xy xy1 xy (二)指數(shù)函數(shù)的圖形 同一坐標系中指數(shù)函數(shù)的圖象同一坐標系中指數(shù)函數(shù)的圖象)1, 0( aaayxxay xay)1( )1( a)1 , 0( (三)對數(shù)函數(shù)的圖形 同一坐標系中對數(shù)函數(shù)的圖象同一坐標系中對數(shù)函數(shù)的圖象)1, 0(log aaxyaxya