平面解析幾何

1、第八章平面解析幾何直線的方程一、知識要點(diǎn)1、傾斜角：一條直線 L 向上的方向與 X 軸的正方向所成的最小正角，叫做直線的傾斜角，范圍為 b,b,二.斜率：當(dāng)直線的傾斜角不是 900時，則稱其正切值為該直線的斜率，即k=tanG；當(dāng)直線的傾斜角等于 90時，直線的斜率不存在。2、過兩點(diǎn) pi(xi,yi),p2(x2,y2)(x 聲 X2)的直線的斜率公式:k=tana=y2yiX2-Xi若 X1=X2,則直線 pip2的斜率不存在，此時直線的傾斜角為 90.3.直線方程的種形式：名稱方程適用范圍斜截式y(tǒng)=kx+b不含垂直于 x 軸的直線點(diǎn)斜式y(tǒng)-y0=k(x-x0)不含直線 x=x0兩點(diǎn)式y(tǒng)-

2、yi_x-xiy2yix2-xi不含直線 x=xi(xiWx2)和直線 y=yi(y1wy2)截距式x+ab不含垂直于坐標(biāo)軸和過原點(diǎn)的直線一 M 式Ax+By+C=0(A2+B2=0)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線都適用、考試要求理解直線的傾斜角和直線的斜率的概念；掌握過兩點(diǎn)的直線的斜率公式；掌握已知一點(diǎn)和斜率導(dǎo)出直線方程的方法；掌握直線方程的點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式和一般式；能靈活運(yùn)用條件求出直線的方程.三、基本訓(xùn)練i、已知三點(diǎn) A(3,i)B(2,K)C(8,ii)共線，則 K 的取值是(A、-6B、一 7C、一 8D、一 92、設(shè)a022,、33GKD、0K-224、a 為非零實(shí)數(shù)，直線(a+2)x+(1

3、a)y3=0 恒過點(diǎn)。5、過點(diǎn) M(1,2)的直線 L 將圓(x2)2+y2=9 分成兩段弧，當(dāng)其中的劣弧最短時，L 的方程為。6、與兩坐標(biāo)軸正方向圍成面積為 2 平方單位的三角形，并且兩截距之差為 3 的直線方程為。四、例題分析：例 1 1.一條直線經(jīng)過 P(3,2),并且分別滿足下列條件，求直線方程。(1)傾斜角是直線 x4y+3=0 的傾斜角的 2 倍(2)夾在兩坐標(biāo)間的線段被 P 分成 1:2例 2 2.在 4ABC 中， BC 邊上的高所在的直線方程為 x-2y+1=0,/A 的平分線所在直線方程為 y=0,若點(diǎn) B 的坐標(biāo)為(1,2),求點(diǎn) A 和點(diǎn) C 的坐標(biāo)。例 3.過點(diǎn) P(

4、2,1)的直線 L 交 X 軸、Y 軸的正半軸于 A、B 兩點(diǎn)，求使：(1)AOE0 積最小時 L 的方程(2)PA：PB 最小時 L 的方程例 4.若直線滿足如下條件，分別求出其方程3(1)斜率為3,且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為 6;4(2)經(jīng)過兩點(diǎn) A(1,0)、B(mi1)。直線與直線的位置關(guān)系、知識要點(diǎn)(一)平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系有三種：重合、平行、相交。1、當(dāng)直線不平行于坐標(biāo)軸時，直線與圓的位置關(guān)系可根據(jù)下表判定條方程1I：y=k1x+b1l2：y=k2x+b21I:Ax+B1y+C1=0l2：A2x+B2y+C2=0平行K1=k2且 b1wb2工生一 5AT-B?C7重合K1=

5、k2且 b1=b2AB1C1=A2B2C2相交K1wk2A_BIAB2垂直K1k2=-1AIA2+BIB2=02、當(dāng)直線平行于坐標(biāo)軸時可結(jié)合圖形進(jìn)行考慮其位置關(guān)系(二)點(diǎn)到直線的距離、直線與直線的距離Ax0Bv0C2_21、點(diǎn) P(xo,yo)到直線 Ax+By+C=0 的距離為：d=J-,1(A2+B2#0),A2B22、直線 I1/I2,且其方程分別為 li：Ax+By+Ci=0,l2：Ax+By+C2=0,則 li與 12的距離為：d=Cl-J(A2+B2#0)A2B2(三)兩條直線的交點(diǎn)： 兩條直線的交點(diǎn)的個數(shù)取決于這兩條直線的方程組成的方程組的解的個數(shù)。二、考試要求掌握兩條直線平行與

6、垂直的條件，能夠根據(jù)直線的方程判定兩直線的位置關(guān)系；會求兩條相交直線的夾角和交點(diǎn)；掌握點(diǎn)到直線的距離公式。三、基本訓(xùn)練1、點(diǎn)(4,a)到直線 4x-3y=1 的距離不大于 3,則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是()(A)2,12(B)1,12(C)0,10(D)-1,92、兩直線的斜率相等是兩直線平行的()A、充分不必要條件 B、必要不充分條件C、充要條件 D、既不充分也不必要條件3 設(shè)方程 f(x,y)=0 表示定直線，M(x0,y)是直線 L 外的定點(diǎn)，則方程 f(x,y)-f(x0,y0)=0 表示直線()A、過 M 與 l 相交，但與 l 不垂直 B、過 M 且與 l 垂直C、過 M 與 l 平

7、行 D、以上都不對4、已知直線 l 和直線 m 的方程分別為 2x-y+1=0,3x-y=0,則直線 m 關(guān)于直線 l 的對稱直線 m的方程為。5、過 Li:3x5y10=0 和 L2:x+y+1=0 的交點(diǎn)，且平行于 L3：x+2y5=0 的直線方程為。6、AABC 中，a,b,c 是內(nèi)角 A、B、C 的對邊，且 IgsinA、IgsinB、IgsinC 成等差數(shù)列，則下列兩條直線 Li：sin2A-x+sinA ya=0 與 L2：sin2B-x+sinC-yC=0 的位置關(guān)系是：()A、重合 B、相交(不垂直)C、垂直 D、平行四、例題分析.例 1 1.如果三條直線 li:4x+y4=0

8、、I2:mx+y=0、I3：2x3my4=0 不能圍成三角形，求實(shí)數(shù) m的值.例 2.2.A(2,0),B(-2,2),在 L:x+y-3=0 上求一點(diǎn) P 使|PA|十|PB|最小.l:y=2x+3,A(3,4),B(11,0),在 l 上找一點(diǎn) P,使|PA|一|PB|最大.例 3 3.正方形中心在 M(1,0),一條邊所在的直線方程為 x+3y5=0,求其他三邊所在直線的方程。例 4 4.光線從點(diǎn) A(-2,4)射出，經(jīng)直線 l:2x-y-7=0 反射，反射光線過點(diǎn) B(5,8).(1)求入射光線所在直線方程；(2)求光線從 A 到 B 經(jīng)過的路程 S.、知識要點(diǎn)1、二元一次不等式表示平

9、面區(qū)域2、線性規(guī)劃基本概念名稱意義線性約束條件由 x,y 的一次不等式（或方程）組成的不等式組，是對 x,y 的約束條件目標(biāo)函數(shù)關(guān)于 x,y 的解析式線性目標(biāo)函數(shù)關(guān)于 x,y 的一次解析式可行解滿足線性約束條件的解（x,y）叫做可行解可行域所后可行解組成的集合叫做可行域最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最大值或最小值的可行解線性規(guī)劃問題求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題用圖解法解決線性規(guī)劃問題的一般步驟、設(shè)出所求的未知數(shù)、列出約束條件（即不等式組）、建立目標(biāo)函數(shù)、作出可行域、運(yùn)用圖解法求出最優(yōu)解、基本訓(xùn)練1 .不等式 2xy4A0 表示的平面區(qū)域在直線 2xy4=0 的（A）左上方（B）右

10、上方（C）左下方（D）右下方2 .表示圖中陰影部分的二元一次不等式組是(2x-y+202x-y+2 之 0(A)x-1-0(B)x-1-0y20y22x-y2-02x-y2-0線性規(guī)劃則a的取值范圍是(C)x-10(D)x-100y20y23 .原點(diǎn)和點(diǎn)（1,1）在直線 x+ya=0 的兩側(cè),5.由 y 臼 x+1|1 及 yE|x|+1 表示平面區(qū)域的面積是.四、例題分析28例 1 1、Z=0.9x+y,式中變量 x,y 滿足下列條件0 x6 求 Z 的最小值。0y0).特殊地，當(dāng) a=b=0時，圓心在原點(diǎn)的圓的方程為：x2+y2=r2.2、圓的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0,圓心

11、為點(diǎn)(-D-,-1),半徑 rJ。E2-4F,其中 D2-E2_4F0.23、二元二次方程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0,表示圓的方程的充要條件是：、x2項(xiàng) y2項(xiàng)的系數(shù)相同且不為 0,即 A=C#0；、沒有 xy 項(xiàng)，即 B=0；、D2+E2-4AF0.xarcos4、圓 C:(x-a)2+(y-b)2=r2的參數(shù)方程為,JO 為參數(shù)).特殊地，j=b+rsin 日cccx=rcos8x2+y2=r2的參數(shù)方程為口(8 為參數(shù)).y=rsin二、基本訓(xùn)練1 .設(shè)方程 f(x,y)=0 的解集非空， 如果命題“坐標(biāo)滿足方程 f(x,y)=0 的點(diǎn)都在曲線 C 上”是不正確的，則下

12、列命題中正確的是()(A)坐標(biāo)滿足方程 f(x,y)=0 的點(diǎn)都不在曲線 C 上；(B)曲線 C 上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足方程 f(x,y)=0；(C)坐標(biāo)滿足方程 f(x,y)=0 的點(diǎn)有些在曲線 C 上，有些不在曲線 C 上；(D)一定有不在曲線 C 上的點(diǎn)，其坐標(biāo)滿足 f(x,y)=0；一，一，552 .已知兩點(diǎn) M(1,，),N(Y,-J,給出下列曲線萬程：(1)4x-2y-1=0,(2)4422x2+y2=3,(3)x+y2=1,(4)x-y2=1 曲線上存在點(diǎn) P 滿足|MP 付 NP|的所有22曲線方程是()(A)(2)(B)(4)(C)(D)(3)(4)3.方程 xy2-x2y=2

13、x 所表示的曲線是()(A)關(guān)于 y 軸對稱(B)關(guān)于 x+y=0 對稱(C)關(guān)于原點(diǎn)對稱(D)關(guān)于 x-y=0 對稱4.若直線 2xy+k=0 與曲線 y=2x2x+1 沒有公共點(diǎn)，則 k 的取值范圍是 05,若兩直線 x+y+5a=0 與 xya=0 交點(diǎn)在曲線 y=x2+a 上，貝a=。四、例題分析例 1 1.已知常數(shù) a0,向量 C=(0,a),7=(1,0),經(jīng)過原點(diǎn) O 以胃十九了為方向向量的直線與經(jīng)過定點(diǎn) A(0,a)以 T-K 會為方向向量的直線相交于點(diǎn) P,其中九WR,若 P 的軌跡為圓，求 a 的值.例 2 2.過點(diǎn) P(1,3)作兩條相互垂直的直線 1l,1,li交 x

14、軸于 A A 點(diǎn),世交 y y 軸于 B B 點(diǎn),求線段 A AB B 的中點(diǎn) M M 的軌跡方程。直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系一、知識要點(diǎn)1、直線與圓的位置關(guān)系將直線方程代入圓的方程得到一元二次方程，設(shè)它的判別式為 A,圓心 C 到直線 l 的距離為 d,則直線與圓的位置關(guān)系滿足以下關(guān)系：相切 ud=ruA=0相交 ud0相離 udruAR+r外切 ud=R+r相交 uR-rdR+r內(nèi)切 ud=Rr內(nèi)含:二 d|RF2|)的點(diǎn)的軌跡1.到兩定點(diǎn) F1,F2的距離之差的絕對值為定值2a(02a|RF2|)的點(diǎn)的軌跡2.與定點(diǎn)和直線的距離之比為定值 e 的點(diǎn)的軌跡,(0e1)與定點(diǎn)和直線的跑離相等

15、的點(diǎn)的軌跡.圖形方程標(biāo)準(zhǔn)方程22、+二=1(ab0)ab222 2- -2-=1(a0,b0)aby2=2px參數(shù)方程:x=acosBy=bsinB(途數(shù) 6 為離心角):x=aseBy=btanQ(泰數(shù)日為離心角)2 2c,2，X-2Pt(t 為參數(shù))y=2pt范圍一校電一 by0中心原點(diǎn) O(0,0)原點(diǎn) O(0,0)頂點(diǎn)(a,0),(a,0)(0,b),(0,b)(a,0),(a,0)(0,0)對稱軸x 軸，y 軸；長軸長 2a,短軸長 2bx 軸，y 軸；實(shí)軸長 2a,虛軸長2b.x 軸隹百八、八、F1(c,0),F2(c,0)F1(c,0),F2(c,0)F(，0)2焦距2c(c=d

16、a2-b2)2c(c=Ja2+b2)離心率ce=c(0e1)ae=1準(zhǔn)線2x=+c2x=+acPx=-2漸近線y=-xa焦半徑r=ar=aexexr=(ex 土 a)r=x+R2通徑2b2a2b2a2p焦參數(shù)2ac2acP1 .橢圓的定義：第一種定義：平面內(nèi)與兩個定點(diǎn) Fi、F2的距離之和等于常數(shù)（大于|F1F2I）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，這兩個定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做焦距第二種定義：平面內(nèi)一個動點(diǎn)到一個定點(diǎn)的距離和它到一條定直線的距離的比是小于 1 的正常數(shù)，這個動點(diǎn)的軌跡叫橢圓，定點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn)，定直線叫做橢圓的準(zhǔn)線.、一x=acos6、2 .橢圓的參數(shù)萬程：，（參數(shù) 8 是橢圓

17、上任意一點(diǎn)的離心率）.y=bsin6二、基本訓(xùn)練1.設(shè)一動點(diǎn) P 到直線 x=3 的距離與它到點(diǎn) A（1,0）的距離之比為 J3,則動22+=1(k9)之間具有的等量關(guān)系 25-k9-k（A）有相等的長、短軸（B）有相等的焦距（C）有相等的離心率（D）有相同的準(zhǔn)線 3.已知橢圓的長軸長是短軸長的 3 倍，長、短軸都坐標(biāo)上，且過點(diǎn) A（3,0）,則橢圓的方程是.三、例題分析例 1 1 設(shè) A,B 是兩個定點(diǎn)，且|AB|=2,動點(diǎn) M M 到 A A 點(diǎn)的距離是 4,4,線段 MBMB 的垂直平分線 l交 MAMA 于點(diǎn) P P, ,求動點(diǎn) P P 的軌跡方程.22例 2 2 點(diǎn) A、B 分別是橢

18、圓二十上=1 長軸的左、右端點(diǎn)，點(diǎn) F 是橢圓的右焦點(diǎn)，3620點(diǎn) P 在橢圓上，且位于 X 軸上方，PA-LPFPA-LPF。（1）求點(diǎn) P 的坐標(biāo)；（2）設(shè) M 是橢圓長軸 AB 上的一點(diǎn)，M 到直線 AP 的距離等于|MB,求橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn) M 的距離 d 的最小值。點(diǎn) P P 的軌跡方程是（）2222（A）土匕二 1（B）土-工二 132322222(C)(x.L.r=1(D)r=13223222.曲線+匕=1 與曲線259雙曲線一、知識要點(diǎn)1 .雙曲線的定義雙曲線的第一定義：平面內(nèi)與兩定點(diǎn) Fi、F2的距離差的絕對值等于常數(shù)2a(02a1)2 .雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程22xV(1)焦點(diǎn)在

19、x 軸上：F-、=1A0,bA0),焦點(diǎn)坐標(biāo)為 F1(-C,0),F2(C,0),ab2.2c=.ab.22Vx(2)焦點(diǎn)在 y 軸上：=1(202：0),焦點(diǎn)坐標(biāo)為 F1(0,-c),F2(0,c).ab2.2c=.ab.223 .雙曲線簡單幾何性質(zhì)：以標(biāo)準(zhǔn)方程今-烏=1(2A0,bA0)為例.ab(1)范圍：|x|a;即 xa,x1.a4 .等軸雙曲線：x2-y2=a2,實(shí)軸長等于虛軸長，其漸近線方程為 y=x,離心率 e=42二、基本訓(xùn)練1 .平面內(nèi)有兩個定點(diǎn) F1,F2和一動點(diǎn) M M,設(shè)命題甲，|MF1|-|MF2|是定值，命題乙：點(diǎn) M M 的軌跡是雙曲線，則命題甲是命題乙的()(

20、A)充分但不必要條件(B)必要不充分條件2 .雙曲線和它的共腕雙曲線的離心率分別為 0,金，則 0,&應(yīng)滿足的關(guān)系是()(C)充要條件(D)既不充分也不必要條件/A、2222/(C)11.(D)11.(A)ee=1(B)e-62=1()2=1()2=13aee23 .直線 y=axy=ax 與雙曲線(x-1)(y-1)=2(x0)有公共點(diǎn)時，a的取值范圍是()(A)-322a：0(B)a_32、,2(C)-3-272a0)上一點(diǎn)，當(dāng)|PA|十立|PF|取22最小值時，P P 的坐標(biāo)是_(/,0),|PA|+*|PF|最小值是.2225.如果 F1,F2分別是雙曲線x-y=1 的左、右焦點(diǎn)，AB

21、 是雙曲線左支上過點(diǎn)169F1 的弦，且|AB|=6,則 AABF2的周長是:三、例題分析例 1 1 已知中心在原點(diǎn)的雙曲線 C 的右焦點(diǎn)為(2,0),右頂點(diǎn)為(73,0)。(1)(1)求雙曲線 C 的方程；(2)(2)若直線 l:y=kx+我與雙曲線 C 包有兩個不同的交點(diǎn) A 和 B,且蘇麗:2(其中 O 為原點(diǎn))，求 k 的取值范圍。22例 2 2 過雙曲線-二=1 的右焦點(diǎn)作傾角為 45的弦，求弦 AB 的中點(diǎn) C 到右焦916點(diǎn) F 的距離，并求弦 AB 的長.拋物線一、知識要點(diǎn)1.拋物線的定義：平面內(nèi)與一個定點(diǎn) F 和一條定直線 l 的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，點(diǎn) F 叫做拋物

22、線的焦點(diǎn)，直線 l 叫做拋物線的準(zhǔn)線，定點(diǎn)不在定直線上.方程對稱軸開口方向焦點(diǎn)位置y=2px(p0)x 軸向右:x 軸正半軸上y2=-2px(p0)x 軸向左x 軸負(fù)半軸上x2=2py(p0)y 軸一向上 1y 軸正半軸上x=-2py(p0)y 軸向卜y 軸負(fù)半軸上二、基本訓(xùn)練一，111 . .已知點(diǎn) F(,0),直線 l:x=,點(diǎn) B B 是直線 l 上的動點(diǎn)，若過 B B 垂直于 y y 軸 44的直線與線段 BFBF 的垂直平分線交于點(diǎn) M M,則點(diǎn) M M 所在曲線是()(A)圓(B)橢圓(C)雙曲線(D)拋物線2 .設(shè)拋物線 y2=2x 的焦點(diǎn)為 F,以 P(|,0)為圓心，PFPF

23、 長為半徑作一圓，與拋物線在X軸上方交于 M,N,則|MF|+|NF|的值為()(A)8(B)18(C)2.2(D)43 .過點(diǎn)(-3,-1)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是.焦點(diǎn)在 x-y-1=0 上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是.4 .拋物線 y2=8x 的焦點(diǎn)為 F,A(4,-2)為一定點(diǎn)，在拋物線上找一點(diǎn) M,當(dāng)|MA|+|MF|為最小時，則 M M 點(diǎn)的坐標(biāo),當(dāng)|MA|-|MF|為最大時，則 M M 點(diǎn)的坐標(biāo).三、例題分析例1.已知拋物線 y2=2px(p0),過動點(diǎn) M(a,0)且斜率為 1 1 的直線 l 與該拋物線交于不同兩點(diǎn) A,B,|AB|2p,(1)求a取值范圍；(2)若線段 ABAB 垂直平

24、分線交x軸于點(diǎn) N,求 ANAB 面積的最大值例 2.2.已知拋物線 x2=4y 與圓 x2+y2=32 相交于 A,B 兩點(diǎn)，圓與 y y 軸正半軸交于 C 點(diǎn)，直線 l 是圓的切線，交拋物線與 M,N,并且切點(diǎn)在 ACB 上.(1)求 A,B,C 三點(diǎn)的坐標(biāo).(2)當(dāng) M,N 兩點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)距離和最大時，求直線 l的方程.例 3 3 如圖， M 是拋物線上 y2=x 上的一點(diǎn)， 動弦 ME、 MF 分別交 x 軸于 A、 B 兩點(diǎn)， 且 MA=MB.(1)若 M 為定點(diǎn)，證明：直線 EF 的斜率為定值；(2)若 M 為動點(diǎn)，且/EMF=90,求EMF 的重心 G 的軌跡直線與圓錐曲線一、知識要點(diǎn)1 .直線與圓錐曲線的交點(diǎn)2 .判斷直線與圓錐曲線交點(diǎn)個數(shù)問題：即判斷方程組解的個數(shù).3 .直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判定： 通法是消去一個未知數(shù)若得到的是關(guān)于另一未知數(shù)的一元二次方程，可用根的判別式來判斷，注意直線與圓錐曲線相切必有一個公共點(diǎn)，對圓與橢圓來說反之亦對，但對雙曲線和拋物線來說直線與其有一公共點(diǎn)，可能是相交的位置關(guān)系.4 .直線與圓錐曲線相交的弦長計算：(1)連結(jié)圓錐曲線上兩點(diǎn)的線段稱為圓錐曲線的弦；(2)易求出弦端點(diǎn)坐標(biāo)時用距離公式求弦長；(3)