二次根式地概念與性質(zhì)

1、二次根式的概念與性質(zhì)編稿：莊永春 審稿：邵劍英 責(zé)編：一、目標(biāo)認(rèn)知1. 學(xué)習(xí)目標(biāo)：理解二次根式的概念，了解被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)的理由；理解并掌握下列結(jié)論：，并利用它們進(jìn)行計(jì)算和化簡.2. 重點(diǎn)：;,及其運(yùn)用.3. 難點(diǎn)：利用，解決具體問題.二、知識要點(diǎn)梳理知識點(diǎn)一：二次根式的概念一般地，我們把形如(a> 0)?的式子叫做二次根式，“”稱為二次根號.要點(diǎn)詮釋：二次根式的兩個(gè)要素：根指數(shù)為2;被開方數(shù)為非負(fù)數(shù).知識點(diǎn)二：二次根式的性質(zhì)1. ；2. ；3. ；4. 積的算術(shù)平方根的性質(zhì)：；5. 商的算術(shù)平方根的性質(zhì)：.要點(diǎn)詮釋：二次根式(a > 0)的值是非負(fù)數(shù)，其性質(zhì)可以正用亦可逆用，正用

2、時(shí)去掉根號起到化簡的作用；逆用時(shí)可以把一個(gè)非負(fù)數(shù)寫成完全平方的形式，有利于在實(shí)數(shù)圍進(jìn)行因式分解.知識點(diǎn)三：代數(shù)式形如5, a, a+b, ab, x3，這些式子，用基本的運(yùn)算符號(基本運(yùn)算包括加、減、乘、除、乘方、開方)把數(shù)和表示數(shù)的字母連接起來的式子，我們稱這樣的式子為代數(shù)式 (algebraicexpressi on).三、規(guī)律方法指導(dǎo)1. 如何判斷一個(gè)式子是否是二次根式？(1) 必須含有二次根號，即根指數(shù)為2 ；(2) 被開方數(shù)可以是數(shù)也可以是代數(shù)式但必須是非負(fù)的，否則在實(shí)數(shù)圍無意義2. 如何確定二次根式在實(shí)數(shù)圍有意義？要使二次根式在實(shí)數(shù)圍有意義必須滿足被開方數(shù)為非負(fù)數(shù).要確定被開方數(shù)中

3、所含字母的取值圍，可根據(jù)題意列出不等式，通過解不等式確定字母的取值圍.當(dāng)二次根式作為分母時(shí)要注意分母不能為零.經(jīng)典例題透析 類型一：二次根式的概念1、下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、(x > 0)、 (x > 0, y> 0).思路點(diǎn)撥： 二次根式應(yīng)滿足兩個(gè)條件：第一，有二次根號“”；第二，被開方數(shù)是正數(shù)或0解：二次根式有：、(x > 0)、(x > 0, y >0);不是二次根式的有：、2、當(dāng) x 是多少時(shí),在實(shí)數(shù)圍有意義？思路點(diǎn)撥：由二次根式的定義可知，被開方數(shù)一定要大于或等于0,所以3x-1 >0, ?才能有意義.解：由 3x-1

4、>0，得：x>當(dāng)X時(shí)，在實(shí)數(shù)圍有意義.總結(jié)升華： 要使二次根式在實(shí)數(shù)圍有意義,必須滿足被開方數(shù)是非負(fù)數(shù).舉一反三【變式 1】x 是怎樣的實(shí)數(shù)時(shí),下列各式實(shí)數(shù)圍有意義？(1) ； (2) ；解： (1) 由 0,解得： x 取任意實(shí)數(shù)當(dāng)x取任意實(shí)數(shù)時(shí)，二次根式在實(shí)數(shù)圍都有意義(2) 由 x-1 >0，且 x-1 工 0，解得：x> 1 當(dāng) x> 1 時(shí),二次根式在實(shí)數(shù)圍都有意義 .【變式 2】當(dāng) x 是多少時(shí), +在實(shí)數(shù)圍有意義？思路點(diǎn)撥： 要使 +在實(shí)數(shù)圍有意義,必須同時(shí)滿足中的 2x+30和中的x+1豐0.解： 依題意,得由得： x -由得：xM -1當(dāng)x &g

5、t; -且x M -1時(shí)，+在實(shí)數(shù)圍有意義.類型二：二次根式的性質(zhì)3、計(jì)算：(1) (2)(3)(4)(b > 0)(6)思路點(diǎn)撥：我們可以直接利用(a > 0)的結(jié)論解題. 解：(1) (2)= ； (3) ；(4)= ； (5) ；(6) 舉一反三【變式 1】計(jì)算：(1) ； (2) ；(3) ； (4). 思路點(diǎn)撥： 因?yàn)閤 > 0,所以x+1 >0;(2)a 2 2又 (a+1) > 0,. a+2a+1 >0,. =a+2a+1;> 0;2 2 2 2 2 2(3) a +2a+1=(a+1) >0;(4)4x -12x+9=(2x)-

6、2 2x 3+3=(2x-3)>0.所以上面的 4題都可以運(yùn)用的重要結(jié)論解題解：因?yàn)閤> 0,所以x+1 > 02(2) T a > 0 ,;2(4) T 4x2-12x+9=(2x)2-2 2x 3+32=(2x-3)(3) T a2+2a+1=(a+1)2又 (2x-3)> 022 4x -12x+9 > 0, =4x-12x+9.4、化簡 :(1) ; (2) ; (3) ; (4).思路點(diǎn)撥： 因?yàn)?1)9=3 2，(2)(-4) 2=42，(3)25=5 2，(4)(-3) 2=32，所以都可運(yùn)用去化簡. 解： (1)=3 ;(2)=4 ;(3)=

7、5 ;(4)=3.5、填空：當(dāng)a>0時(shí)，=;當(dāng)av 0時(shí)，=, ?并根據(jù)這一性質(zhì)回答下列問題.(1)若=玄，則a可以是什么數(shù)？ 若=-a，則a可以是什么數(shù)？> a,貝U a可以是什么數(shù)？思路點(diǎn)撥：=a(a0),要填第一個(gè)空格可以根據(jù)這個(gè)結(jié)論，第二空格就不行，應(yīng)變形，使( ) 2 ”中的數(shù)是正數(shù)，因?yàn)椋?dāng)aw 0時(shí)，=那么-a > 0.(1)根據(jù)結(jié)論求條件；(2)根據(jù)第二個(gè)填空的分析，逆向思想；(3)根據(jù)(1)、(2)可知，而要大于a，只有什么時(shí)候才能保證呢？解：(1)因?yàn)?，所以a> 0;(2) 因?yàn)?，所?aw 0；(3) 因?yàn)楫?dāng)a> 0時(shí)，要使，即使 a>

8、 a所以a不存在；當(dāng)av0時(shí)， 要使，即使-a >a，即a v 0；綜上，a v 0.類型三：二次根式性質(zhì)的應(yīng)用6、當(dāng) x=-4 時(shí)，求二次根式的值 .思路點(diǎn)撥： 二次根式也是一種代數(shù)式，求二次根式的值和求其他代數(shù)式的值方法相同 解： 將 x=-4 代入二次根式，得 =.7、(1)已知y=+5,求的值.解：(2) 若+=0，求的值(1) 由可得，(2)8、在實(shí)數(shù)圍分解因式：23(1)x 已知一個(gè)正方形的面積是 5，那么它的邊長是 ( )-5；(2)x 3-2x；解: (1) 原式(2) 原式學(xué)習(xí)成果測評基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)一、選擇題1. 下列式子中，不是二次根式的是 ( )ABCDA5BCD.以上皆

9、不對3. （ 省市）若代數(shù)式在實(shí)數(shù)圍有意義，則 x 的取值圍為 （ ）A. x>0B. x> 0C. x 工 0D . x > 0 且 x 工 14 的值是 （ ）A. 0B.C. 4D .以上都不對5. a>0時(shí)，、，比較它們的結(jié)果，下面四個(gè)選項(xiàng)中正確的是（）ABCD6. （省市）如圖，數(shù)軸上點(diǎn) N表示的數(shù)可能是（）ABCD二、填空題1. 若，則 x = .2. 若有意義，則的取值圍是 3 -=4. =.5. =.6. 若，則 .7. 若，則 ；若，則 8. 化簡： =.9. 計(jì)算：(1)= ；(2)= ；10. （鄂爾多斯市）如圖，在數(shù)軸上，A、B兩點(diǎn)之間表示整數(shù)的

10、點(diǎn)有 個(gè).三、解答題1. 求下列二次根式中字母 a的取值圍：，（2） ； （3）.2. 某工廠要制作一批體積為1m3的產(chǎn)品包裝盒，其高為 0.2m，按設(shè)計(jì)需要，？底面應(yīng)做成正方形，試問底面邊長應(yīng)是多少？能力提升一、選擇題1. 使式子有意義的未知數(shù)x有（）個(gè)A. 0B . 1C . 2D.無數(shù)2. （省市）若，則與3的大小關(guān)系是（）A.B.C.D.3. 下列計(jì)算正確的是（）A.B.C.D.4. （省市）下列四個(gè)結(jié)論中，正確的是 （）A.B.C.D.二、填空題1. 若，則.2 .若是一個(gè)正整數(shù)，則正整數(shù)m的最小值是 .3. 已知實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)如圖所示，貝U 三、解答題1. 當(dāng) x 是多少時(shí)，

11、 +x2 在實(shí)數(shù)圍有意義？2. 若 +有意義，求的值 .3. ( 市海淀區(qū) ) 已知實(shí)數(shù) x， y 滿足，求代數(shù)式的值 .4. 已知，求 x+y 的值 .綜合探究1. (省南安市)觀察分析下列數(shù)據(jù)， 尋找規(guī)律：0, 3, 2, , 3,那么第10個(gè)數(shù)據(jù)應(yīng)是 ,2. ( 省市)等式中的括號應(yīng)填入 .3 先化簡再求值：當(dāng) a=9時(shí)，求a+的值，甲乙兩人的解答如下： 甲的解答為：原式 =a+=a+(1-a)=1 ；乙的解答為：原式 =a+=a+(a-1)=2a-1=17 兩種解答中， 的解答是錯(cuò)誤的，錯(cuò)誤的原因是 4. 若時(shí)，試化簡 .5. 在實(shí)數(shù)圍分解下列因式：(1) ； (2).答案與解析基礎(chǔ)達(dá)

12、標(biāo)一、 1.D2.B3.D4.C5.A6.B二、 1.162.3.-0.02 4.5.2-x6.7.8.9.(1) ；(2)6 ；(3)-610.4三、1. 解： (1)由 a+1> 0, 得 a> -1字母a的取值圍是大于或等于-1的實(shí)數(shù)。(2) >0,得 1-2a >0,即卩 av字母a的取值圍是小于的實(shí)數(shù)。(3)因?yàn)闊o論a取何值，都有，所以 a取值圍是全體實(shí)數(shù)。2. 解:設(shè)底面邊長為 x,則0.2x 2=1，解答：x=.能力提升一、1.B2.B3.B4.D二、1.2.53.b1. 解：依題意得：，當(dāng)x>-且xm 0時(shí)，+ x2在實(shí)數(shù)圍有意義.2. 解：，且+有意義3. 解：峯工一訓(xùn)少+ 4王0且片-卄+J陽4 =04. 解:Jx + d > 0, J4 - y >