貴州省貴陽市花溪二中八年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽講座 第三十四講 分式方程（組） 人教新課標(biāo)版

1、第三十四講 分式方程（組）本講我們將介紹分式方程(組)的解法及其應(yīng)用【知識(shí)拓展】分母里含有未知數(shù)的方程叫做分式方程解分式方程組的基本思想是：化為整式方程通常有兩種做法：一是去分母；二是換元解分式方程一定要驗(yàn)根 解分式方程組時(shí)整體代換的思想體現(xiàn)得很充分常見的思路有：取倒數(shù)法方程迭加法，換元法等列分式方程解應(yīng)用題，關(guān)鍵是找到相等關(guān)系列出方程如果方程中含有字母表示的已知數(shù)，需根據(jù)題競(jìng)變換條件，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化設(shè)未知數(shù)而不求解是常見的技巧之一例題求解一、分式方程(組)的解法舉例 1拆項(xiàng)重組解分式方程【例1】解方程解析 直接去分母太繁瑣，左右兩邊分別通分仍有很復(fù)雜的分子考慮將每一項(xiàng)分拆：如，這樣可降低計(jì)算難度經(jīng)

2、檢驗(yàn)為原方程的解注 本題中用到兩個(gè)技巧：一是將分式拆成整式加另一個(gè)分式；二是交換了項(xiàng)，避免通分后分子出現(xiàn)x這樣大大降低了運(yùn)算量本講趣題引路中的問題也屬于這種思路 2用換元法解分式方程【例2】解方程解析 若考慮去分母，運(yùn)算量過大；分拆也不行，但各分母都是二次三項(xiàng)式，試一試換元法 解 令x2+2x8=y，原方程可化為解這個(gè)關(guān)于y的分式方程得y=9x或y=5x故當(dāng)y=9x時(shí)，x2+2x8=9x，解得x1=8，x2=1當(dāng)y=5x時(shí)，x2+2x8=5x，解得x3=8，x4=1經(jīng)檢驗(yàn)，上述四解均為原方程的解 注 當(dāng)分式方程的結(jié)構(gòu)較復(fù)雜且有相同或相近部分時(shí)，可通過換元將之簡(jiǎn)化3形如結(jié)構(gòu)的分式方程的解法 形如

3、的分式方程的解是：，【例3】解方程 解析 方程左邊兩項(xiàng)的乘積為1，可考慮化為上述類型的問題求解，均為原方程的解4運(yùn)用整體代換解分式方程組【例4】解方程組解析 若用常規(guī)思路設(shè)法消元，難度極大注意到每一方程左邊分子均為單項(xiàng)式，為什么不試一試倒過來考慮呢? 解 顯然x=y=z=0是該方程組的一組解 若x、y、z均不為0，取倒數(shù)相加得x=y=z= 故原方程組的解為x=y=z=0和x=y=z=二、含字母系數(shù)分式方程根的討論【例5】解關(guān)于x的方程 解析 去分母化簡(jiǎn)為含字母系數(shù)的一次方程，須分類討論討論：（1）當(dāng)a210時(shí)當(dāng)a0時(shí)，原方程解為x=； 當(dāng)a=0時(shí)，此時(shí)是增根 (2) 當(dāng)a210時(shí)即a=，此時(shí)方

4、程的解為x的任意數(shù)； 綜上，當(dāng)a1且a0時(shí)，原方程解為x=；當(dāng)a=0時(shí)，原方程無解，；當(dāng)a= 時(shí)，原方程的解為x的任意數(shù) 三、列分式方程解應(yīng)用題 【例6】 某商場(chǎng)在一樓和二樓之間安裝了一自動(dòng)扶梯，以均勻的速度向上行駛，一男孩和一女孩同時(shí)從自動(dòng)扶梯上走到二樓(扶梯行駛，兩人也走梯)如果兩人上梯的速度都是勻速的，每次只跨1級(jí)，且男孩每分鐘走動(dòng)的級(jí)數(shù)是女孩的2倍已知男孩走了27級(jí)到達(dá)扶梯頂部，而女孩走了18級(jí)到達(dá)頂部（1）扶梯露在外面的部分有多少級(jí)? (2)現(xiàn)扶梯近旁有一從二樓下到一樓的樓梯道，臺(tái)階的級(jí)數(shù)與自動(dòng)扶梯的級(jí)數(shù)相等，兩個(gè)孩子各自到扶梯頂部后按原速度再下樓梯，到樓梯底部再乘自動(dòng)扶梯上樓(不考

5、慮扶梯與樓梯間的距離)求男孩第一次迫上女孩時(shí)走了多少級(jí)臺(tái)階? 解析 題中有兩個(gè)等量關(guān)系，男孩走27級(jí)的時(shí)間等于扶梯走了S27級(jí)的時(shí)間；女孩走18級(jí)的時(shí)間等于扶梯走S18級(jí)的時(shí)間 解 (1)設(shè)女孩上梯速度為x級(jí)分，自動(dòng)扶梯的速度為y級(jí)分，扶梯露在外面的部分有S級(jí)，則男孩上梯的速度為2x級(jí)分，且有解得 S=54 所以扶梯露在外面的部分有54級(jí)(2)設(shè)男孩第一次追上女孩時(shí)走過自動(dòng)扶梯rn遍，走過樓梯n遍，則女孩走過自動(dòng)扶梯(m1)遍、走過樓梯(n1)遍 由于兩人所走的時(shí)間相等，所以有 由(1)中可求得y=2x,代人上面方程 化簡(jiǎn)得6n+m=16 無論男孩第一次追上女孩是在自動(dòng)扶梯還是在下樓時(shí)，m、n

6、中都一定有一個(gè)是正整數(shù)，且0mn1 試驗(yàn)知只有m=3，n=符合要求 所以男孩第一次追上女孩時(shí)走的級(jí)數(shù)為327+54=198(級(jí))注 本題求解時(shí)設(shè)的未知數(shù)x、y，只設(shè)不求，這種方法在解復(fù)雜的應(yīng)用題時(shí)常用來幫助分析數(shù)量關(guān)系，便于解題【例7】 (江蘇省初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽C卷)編號(hào)為1到25的25個(gè)彈珠被分放在兩個(gè)籃子A和B中15號(hào)彈珠在籃子A中，把這個(gè)彈珠從籃子A移至籃子B中，這時(shí)籃子A中的彈珠號(hào)碼數(shù)的平均數(shù)等于原平均數(shù)加，籃子B中彈珠號(hào)碼數(shù)的平均數(shù)也等于原平均數(shù)加問原來在籃子A中有多少個(gè)彈珠?解析 本題涉及A中原有彈珠，A、B中號(hào)碼數(shù)的平均數(shù)，故引入三個(gè)未知數(shù)解 設(shè)原來籃子A中有彈珠x個(gè)，則籃子B中有彈

7、珠(25x)個(gè)又記原來A中彈珠號(hào)碼數(shù)的平均數(shù)為a，B中彈珠號(hào)碼數(shù)的平均數(shù)為b則由題意得 ，解得x=9，即原來籃子A中有9個(gè)彈珠 學(xué)力訓(xùn)練（A級(jí)）1解分式方程2若關(guān)于x的方程有增根x=1，求k的值3解分式方程4解方程組 5丙、丁三管齊開，15分鐘可注滿全池；甲、丁兩管齊開，20分鐘注滿全池如果四管齊開，需要多少時(shí)間可以注滿全池？（B級(jí)）1關(guān)于x的方程有唯一的解，字母已知數(shù)應(yīng)具備的條件是( )A ab Bcd Cc+d0 Dbc+ad02某隊(duì)伍長(zhǎng)6km，以每小時(shí)5km的速度行進(jìn)，通信員騎馬從隊(duì)頭到隊(duì)尾送信，到隊(duì)尾后退返回隊(duì)頭，共用了0.5 h，則通信員騎馬的速度為每小時(shí) km3某項(xiàng)工作，甲單獨(dú)作完

8、成的天數(shù)為乙、丙合作完成天數(shù)的m倍，乙單獨(dú)作完成的天數(shù)為甲、丙合作完成天數(shù)的n倍，丙單獨(dú)作完成的天數(shù)為甲、乙合作完成天數(shù)的k倍，則= 4m為何值時(shí)，關(guān)于x、y的方程組： 的解，滿足，？5(天津市中考題)某工程由甲、乙兩隊(duì)合做6天完成，廠家需付甲、乙兩隊(duì)共8700元；乙、丙兩隊(duì)合做10天完成，廠家需付乙、丙兩隊(duì)共9500元；甲、丙兩隊(duì)合做5天完成全部工程的，廠家需付甲、丙兩隊(duì)共5500元(1)求甲、乙、丙各隊(duì)單獨(dú)完成全部工程各需多少天?(2)若工期要求不超過15天完成全部工程，問：由哪隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程花錢最少?請(qǐng)說明理由6甲、乙二人兩次同時(shí)在同一糧店購(gòu)買糧食(假設(shè)兩次購(gòu)買的單價(jià)不同)，甲每次購(gòu)買糧食100kg，乙每次購(gòu)買糧食用去100元設(shè)甲、乙兩人第一次購(gòu)買糧食的單價(jià)為x元kg，第二次單價(jià)為y元kg(1)用含x、y的代數(shù)式表示甲兩次購(gòu)買糧食共需付款 元，乙兩次共購(gòu)買 kg糧