平拋運(yùn)動(dòng)的推論應(yīng)用及拓展

1、平拋運(yùn)動(dòng)的推論、應(yīng)用及拓展 在高中物理教材中，對(duì)于平拋運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的處理一般是利用運(yùn)動(dòng)的合成和分解的方法，但有一些問(wèn)題按此法處理顯得繁瑣復(fù)雜，若用平拋運(yùn)動(dòng)的推論來(lái)分析，則顯得簡(jiǎn)單明了，拓展推論可以快速解決一系列運(yùn)動(dòng)問(wèn)題。 推論1：任意時(shí)刻的兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)的速度與合運(yùn)動(dòng)的速度構(gòu)成一個(gè)矢量直角三角形。 例1. 從空中同一點(diǎn)沿水平方向同時(shí)拋出兩個(gè)小球，它們的初速度大小分別為和，初速度方向相反，求經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間兩小球速度之間的夾角為？ 解析：設(shè)兩小球拋出后經(jīng)過(guò)時(shí)間t它們速度之間的夾角為，與豎直方向的夾角分別為和，對(duì)兩小球分別構(gòu)建速度矢量直角三角形如圖1所示，依圖可得 又 由式得： 拓展：運(yùn)用速度矢量直角三角形求

2、最值。 例2. 如圖2所示，河水流速，一只小機(jī)動(dòng)船在靜水中運(yùn)動(dòng)的速度，現(xiàn)在它從A點(diǎn)開始渡河，要使渡河位移最短，船頭應(yīng)指向何處行駛？ 解析：由于，機(jī)動(dòng)船頭無(wú)論朝什么方向船都不可能垂直河岸過(guò)河，那么機(jī)動(dòng)船頭朝向何方，船渡河位移才能最小呢？如圖2所示，船航行由船隨水的直線運(yùn)動(dòng)和船在靜水中的直線運(yùn)動(dòng)組成，故船的航速、水流速度和船在靜水中的速度構(gòu)成一個(gè)矢量三角形。顯然當(dāng)船的實(shí)際速度方向與以的末端為圓心、以大小為半徑的圓相切時(shí)，此時(shí)角最大，位移最短。故有： 所以船頭與河岸夾角為時(shí)渡河位移最小。 例3. 在足夠大的真空中，存在水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)，若用絕緣細(xì)線將質(zhì)量為m的帶電小球懸掛在電場(chǎng)中，靜止時(shí)細(xì)線與豎直

3、方向夾角?，F(xiàn)將該小球從電場(chǎng)中的某點(diǎn)豎直向上拋出，拋出時(shí)的初速度大小為，如圖3所示。求小球在電場(chǎng)內(nèi)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的最小速度為多少？ 解析：小球的運(yùn)動(dòng)由小球在初速度方向上做勻速直線運(yùn)動(dòng)和在合外力方向上做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)組成，依題設(shè)情景分析可知，小球的速度是先減小后增大，其速度矢量三角形如圖4所示，其中，由圖可知，當(dāng)小球的速度方向垂直加速度方向時(shí)小球速度最小。故有。 推論2：任意一段時(shí)間內(nèi)兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)的位移與合運(yùn)動(dòng)的位移構(gòu)成一個(gè)矢量直角三角形。 例4. 如圖5所示，小球a、b分別以大小相等、方向相反的初速度從三角形斜面的頂點(diǎn)同時(shí)水平拋出，已知兩斜面的傾角分別為和，求小球a、b落到斜面上所用的時(shí)間

4、之比？（設(shè)三角形斜面足夠長(zhǎng)） 解析：依推論作出此時(shí)的位移矢量直角三角形如圖6所示。 對(duì)有： 對(duì)有： 對(duì)兩式得： 由結(jié)果可知：時(shí)間之比與初速度的大小無(wú)關(guān)，只與斜面的傾角有關(guān)。 例5. 宇航員站在一星球表面上的某高度處，沿水平方向拋出一個(gè)小球，經(jīng)過(guò)時(shí)間t，小球落到星球表面，測(cè)得拋出點(diǎn)與落地點(diǎn)之間的距離為L(zhǎng)，若拋出時(shí)初速度增大到兩倍，則拋出點(diǎn)與落地點(diǎn)之間距離為，已知兩落地點(diǎn)在同一水平面上，該星球的半徑為R，萬(wàn)有引力常數(shù)為G，求該星球的質(zhì)量M。 解析：設(shè)第一次拋出小球，小球的水平位移為x，豎直位移為h，如圖7所示，構(gòu)建位移矢量直角三角形有： 若拋出時(shí)初速度增大到2倍，重新構(gòu)建位移矢量直角三角形如圖8有

5、： 由式解得 令星球上重力加速度為，由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律得 由萬(wàn)有引力定律與牛頓第二定律得 由式得。 拓展：運(yùn)用位移矢量三角形判斷向各個(gè)方向拋出物的位置。 例6. 如圖9所示，由樓上某點(diǎn)以同樣大小的速度向各個(gè)方向把若干個(gè)小球同時(shí)拋出，若不計(jì)空氣阻力，試分析在運(yùn)動(dòng)的任何時(shí)刻，在空中運(yùn)動(dòng)的所有小球都位于一個(gè)球面上。 解析：所有在空中的小球的運(yùn)動(dòng)都是由小球在初速度方向上做勻速直線運(yùn)動(dòng)和豎直方向上做自由落體運(yùn)動(dòng)組成，依題意對(duì)從不同方向拋出的小球構(gòu)建位移矢量三角形，如圖10所示。所以經(jīng)t秒后，各球由于自由落體都將下落，但同時(shí)又在各自的方向上運(yùn)動(dòng)了，即它們各自實(shí)際位置在同一球面上，如圖10所示，球心O位置在拋

6、出點(diǎn)A下面處，球的半徑。 推論3：從拋出點(diǎn)開始，任意時(shí)刻速度偏向角的正切值等于位移偏向角的正切值的兩倍。 平拋運(yùn)動(dòng)經(jīng)過(guò)一段時(shí)間，其速度方向和位移方向是不相同的，如圖11所示，由推論1、推論2可得。所以。 例7. 如圖12所示，從傾角為的足夠長(zhǎng)斜面上的A點(diǎn)，先后將同一小球以不同的初速度水平向右拋出，第一次初速度為，球落到斜面上瞬時(shí)速度方向與斜面夾角為，第二次初速度為，球落到斜面上瞬時(shí)速度方向與斜面夾角為，不計(jì)空氣阻力，若，則_（填空“”、“”或“”）。 解析：依題意據(jù)推論3有： 由式得： 故： 由此題結(jié)論可得：類似例7情形，落到斜面的瞬時(shí)速度的偏向角與初速度大小無(wú)關(guān)。 例8. 如圖13所示，在傾角為的斜面上A點(diǎn)，以初速度水平拋出一小球，小球落到斜面上的B點(diǎn)，不計(jì)空氣阻力，求小球落到B點(diǎn)的速度為多大？ 解析：設(shè)小球落到B點(diǎn)瞬時(shí)速度的偏向角為，由推論3可知，故： ，據(jù)推論1可得：， 所以。 拓展：由推論3可以得到以下結(jié)論：從拋出點(diǎn)開始，任意時(shí)刻速度的反向延長(zhǎng)線與對(duì)應(yīng)時(shí)刻的水平位移的交點(diǎn)為此水平位移的中點(diǎn)。 例9. 如圖14所示為一物體做平拋運(yùn)動(dòng)的圖像，此曲線上任一點(diǎn)P（x，y）的速度方向的反向延長(zhǎng)線交于x軸上的A點(diǎn)，則A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（ ） A.