圓的性質(zhì)及計(jì)算

1、圓的性質(zhì)及計(jì)算一、知識(shí)要點(diǎn)概述1、與圓有關(guān)的概念（1）圓可以看做是平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合，它是以圓心為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形，又是以每一條直徑所在的直線為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓（2）圓中的弦、弧、弦心距、同心圓、等圓、等弧等概念2、與圓有關(guān)的角（1）圓心角與圓周角的概念、弦切角的概念（2）在同圓（或等圓中）同弧（或等?。┧鶎?duì)的圓周角是它所對(duì)圓心角的一半（3）弦切角等于它夾弧所對(duì)的圓周角（4）圓周角定理及其推論3、圓的對(duì)稱性（1）圓的軸對(duì)稱性（垂徑定理）：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分這條弦所對(duì)的兩條??；平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)

2、的兩條弧；平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧；弦的中垂線經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?）圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性：在同圓或等圓中，有如下相等關(guān)系：等弦等弧等弦心距等圓心角4、圓的兩條平行弦所夾的弧相等5、圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)對(duì)角；圓外切四邊形的兩組對(duì)邊之和相等6、如果弧長(zhǎng)為l，圓心角的度數(shù)為n°，弧所在的圓的半徑為r，那么弧長(zhǎng)的計(jì)算公式為，圓周長(zhǎng)C=2r7、設(shè)扇形的圓心角為n°，扇形的半徑為r，扇形面積為S，則扇形的面積計(jì)算公式為：8、圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是矩形，設(shè)圓柱的底面半徑為r，圓柱的高為h，則圓柱的側(cè)面積S=2rh，圓柱

3、的全面積為S=2r22rh9、圓錐的側(cè)面展形圖是扇形，設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長(zhǎng)為a，則圓錐的側(cè)面積為，圓錐的全面積為二、典例剖析例1、如圖，在O中，過(guò)圓周上一點(diǎn)A作弦AB和AC且AB=ACM和N分別為弦AB及AC的中點(diǎn)，連結(jié)M和N并向兩方向延長(zhǎng)交圓于P和Q兩點(diǎn)求證：PM=NQ例2、如圖，ABC內(nèi)接于O，弦CMAB，CN是直徑，F(xiàn)是的中點(diǎn)求證：（1）CF平分NCM；（2）例3、如圖，公路MN和公路PQ在點(diǎn)P處交匯，且QPN=30°，點(diǎn)A處有一所中學(xué)，AP=160米假設(shè)拖拉機(jī)行駛時(shí)，周?chē)?00米以內(nèi)會(huì)受到噪聲的影響，那么拖拉機(jī)在公路上沿PN方向行駛時(shí)，學(xué)校是否會(huì)受到噪聲影響？請(qǐng)說(shuō)明理

4、由；如果受影響，那么學(xué)校受影響的時(shí)間為多少秒？（拖拉機(jī)的速度為18千米/時(shí)）例4、如圖，O的內(nèi)接四邊形ABCD的對(duì)角線ACBD，OEBC于E求證：例5、如圖，O的半徑為12cm，以O(shè)的半徑OA為直徑作O交半徑OC于B點(diǎn)若AOC=45°，求圍成的陰影圖形的面積例6、如圖，O與O外切于點(diǎn)M，AB、CD是它們的外公切線，OEOA，垂足為E，且AOC=120°(1)求證：O的周長(zhǎng)等于的弧長(zhǎng)；(2)若O的半徑為1cm，求圖中陰影部分的面積例7、一個(gè)圓錐的高為cm，側(cè)面展開(kāi)圖是半圓求：（1）圓錐的母線與底面半徑之比；（2）錐角的大?。唬?）圓錐的表面積例8、如圖，在ABC中，BAC=3

5、0°，AC=2a，BC=b，以直線AB為軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)幾何體求這個(gè)幾何體的表面積1: 分析：欲證PM=NQ，因?yàn)镻Q為弦，容易聯(lián)想到作弦心距OH，則PH=HQ現(xiàn)只要證MH=HN即可又M、N分別為弦AB、AC的中點(diǎn)，易知OM=ON，故原結(jié)論可證證明：作OHPQ于H，則PH=HQ連結(jié)OM、ON，M、N分別是弦AB、AC的中點(diǎn)，OMAB，ONAC又AB=AC，OM=ON又OHMN，MH=HN，PM=NQ2: 分析：（1）欲證1=2，應(yīng)設(shè)法轉(zhuǎn)化因?yàn)锳B為弦，F(xiàn)為的中點(diǎn)，不難想到連結(jié)OF，則OF/CM，OFC=2而OFC=1，1=2（2）欲證，只需證，即證NOF=MOF即可由OF/CM，只

6、要證OCM=OMC就行證明：（1）連結(jié)OFF為的中點(diǎn)，OFAB又CMAB，OF/CM，OFC=2又OC=OF，OFC=1，1=2，即CF平分NCM（2）連結(jié)OM，則OMC=MCOOF/CM，NOF=MCO，F(xiàn)OM=OMC，NOF=FOM，3: 分析：學(xué)校受噪聲影響的條件是拖拉機(jī)在行駛的過(guò)程中距點(diǎn)A的距離小于100米，所以以A為圓心，以100米為半徑作A若A與MN有交點(diǎn)，則學(xué)校受到噪聲影響若A與MN無(wú)交點(diǎn)，則學(xué)校不受噪聲影響解：如圖，過(guò)A點(diǎn)作ABMN于B在RtPAB中，QPN=30°，PA=160米，AB=PAsin30°=80米<100米，學(xué)校受噪聲影響以點(diǎn)A為圓心，

7、以100米為半徑作A交MN于C、D兩點(diǎn)連結(jié)AC，則，CD=120米又拖拉機(jī)的速度為，故學(xué)校受噪聲影響的時(shí)間為4: 分析：設(shè)法構(gòu)造2OE，能證它與AD相等即可由O為圓心，OE為弦心距，不難知BF=2OE再證BF=AD，即證AF/BD證明：作直徑CF，連結(jié)AF、BFOEBC，E為BC的中點(diǎn)又CF為直徑，O為圓心，（三角形中位線定理）CF為直徑，CAF=90°，即FAAC又ACBD，F(xiàn)A/BD，F(xiàn)AB=ABD，BF=AD，5: 解：連結(jié)AB，則ABO=90°AOB=45°，S弓形AB=S弓形OB由OA=12cm知SABO=36cm2，6: 解：（1）證明如下：由已知得A

8、OO=60°，四邊形ABOO為直角梯形，設(shè)O和O的半徑分別為R、r，7: 解：如圖，AO為圓錐的高h(yuǎn)，經(jīng)過(guò)AO的剖面是等腰ABC，則AB為圓錐的母線l，BO為底面半徑r（1）圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是半圓，2r=l，即（2），即AB=2OB，BAO=30°，BAC=60°，即錐角為60°（3）在RtAOB中，l2=h2r2又l=2r，r=3cm，l=6cm，S表=S側(cè)S底=rlr2=3×632=27(cm2)8:分析：解本題的關(guān)鍵是要想象出旋轉(zhuǎn)后的空間圖形過(guò)C作COAB于O，AC=2a，A=30°，CO=a顯然以直線AB為軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體是底面重合的兩個(gè)圓錐，其底面半徑為OC，所以這個(gè)