初三數(shù)學圓和圓的位置關(guān)系知識精講

1、初三數(shù)學圓和圓的位置關(guān)系知識精講一. 本周教學內(nèi)容：圓和圓的位置關(guān)系二. 教學目標：1. 使學生掌握圓與圓的五種位置關(guān)系的定義、性質(zhì)及判定方法。2. 使學生掌握兩圓連心線的性質(zhì)。3. 通過演示兩圓的位置關(guān)系，培養(yǎng)學生用運動變化的觀點來分析和發(fā)現(xiàn)問題的能力；培養(yǎng)學生的辯證唯物主義觀點。三. 教學重點和難點：兩圓的五種位置與兩圓的半徑、圓心距的數(shù)量之間的關(guān)系既是重點也是難點。四. 教學過程：（一）復(fù)習：直線和圓有幾種位置關(guān)系？各是怎樣定義的？直線和圓有三種位置關(guān)系，即直線和圓相離、相切、相交。各種位置關(guān)系是通過直線與圓的公共點的個數(shù)來定義的。（二）新課電腦演示，做兩圓的相對運動。1、定義：（1）如

2、果兩個圓沒有公共點，那么就說這兩個圓相離。 外離：兩個圓沒有公共點，并且每個圓上的點都在另一個圓的外部時，叫做這兩個圓外離。（圖（1） 內(nèi)含：兩個圓沒有公共點，并且一個圓上的點都在另一個圓的內(nèi)部時，叫做這兩個圓內(nèi)含（圖（5）。兩圓同心是兩圓內(nèi)含的一個特例。（圖（6）（2）如果兩個圓只有一個公共點，那么就說這兩個圓相切 外切：兩個圓有唯一的公共點，并且除了這個公共點以外，每個圓上的點都在另一個圓的外部時，叫做這兩個圓外切。這個唯一的公共點叫做切點。（圖（2）內(nèi)切：兩個圓有唯一的公共點，并且除了這個公共點以外，一個圓上的點都在另一個圓的內(nèi)部時，叫做這兩個圓內(nèi)切。這個唯一的公共點叫做切點。（圖（4）

3、（3）兩個圓有兩個公共點，此時叫做這兩個圓相交。（圖（3）注意：（1）兩圓外離與內(nèi)含時，兩圓都無公共點，但同時要考慮內(nèi)部和外部的因素。兩圓外切與內(nèi)切也有這樣的比較。（2）兩圓外切和內(nèi)切統(tǒng)稱兩圓相切，即外切和內(nèi)切的共性是公共點的個數(shù)唯一。（3）兩圓位置關(guān)系的五種情況也可歸納為三類：相離（外離和內(nèi)含）；相交；相切（外切和內(nèi)切）。提問：從兩圓的公共點的個數(shù)考慮，無公共點則相離；有一個公共點則相切；有兩個公共點則相交。除以上關(guān)系外，還有其它關(guān)系嗎？可能不可能有三個公共點？答：“不在同一直線上的三個點確定一個圓”判斷出這兩個圓是同一個圓。即重合。結(jié)論：在同一平面內(nèi)任意兩圓只存在以上五種位置關(guān)系。2、兩圓

4、位置關(guān)系的數(shù)量特征設(shè)兩圓半徑分別為R和r。圓心距為d，用電腦或投影再次出示兩圓的五種位置關(guān)系，讓學生觀察R，r和d之間有何數(shù)量關(guān)系？學生很可能只說出dR-r，則應(yīng)向?qū)W生說明，這時兩圓還可能外切或外離，如果只說出dR+r，則還可能內(nèi)切或內(nèi)含。結(jié)合上圖會發(fā)現(xiàn)R，r和O1O2構(gòu)成AO1O2的三邊。所以只有R-rdR+r時。才能判定兩圓相交。反過來也成立，于是有：為了方便記憶，將這五種數(shù)量關(guān)系用數(shù)軸表示為：例：如圖，O的半徑為5厘米，點P是O外一點，OP=8厘米。求：（1）以P為圓心作P與O外切，小圓P的半徑是多少？（2）以P為圓心作P與O內(nèi)切，大圓P的半徑是多少？解：（1）設(shè)小圓P與O外切于點A，則

5、PA=OPOA=85=3cm 所以P1的半徑是3cm （2）設(shè)大圓P與O內(nèi)切于點B，則 PB=OP+OB =8+5 =13cm 所以P2的半徑是13cm3、相切兩圓的性質(zhì)。P109思考觀察發(fā)現(xiàn)：相切兩圓也組成軸對稱圖形，通過兩圓圓心的直線叫連心線，是它們的對稱軸相切兩圓的連心線的性質(zhì)：如果兩個圓相切，那么切點一定在連心線上。（軸對稱來說明，證明可用反證法，不作要求）例：如圖，已知，O1和O2外切于P，并且O和O1、O2分別內(nèi)切于M、N， O1O2O的周長為18cm。求：O的半徑長。解：設(shè)O、O1、O2的半徑分別為R、r1、r2O1和O2相外切O1O2=r1+r2又O和O1、O2分別相內(nèi)切O1O

6、=Rr1，O2O=Rr2。O1O2O的周長為18cm即O1O2+O1O+O2O=（r1+r2）+（Rr1）+（Rr2）=18。R=9（cm）例：O1與O2相交于A、B兩點，求證：直線O1 O2垂直平分AB。證：連接O1A、O1B、O2A、O2BO1A= O1BO1在AB的垂直平分線上O2 A=O2BO2在AB的垂直平分線上直線O1 O2垂直平分AB總結(jié)：相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦。例：已知：兩個等圓O1和O2相交于A，B兩點，O1經(jīng)過點O2。求O1AB的度數(shù)解：圓O1經(jīng)過O2O1AO2=60°O1A=O1B，O2A=O2BO1AB=O1AO2=30°在解決有關(guān)相交

7、兩圓的問題時，常常添加以下幾種輔助線：連心線、公共弦、連結(jié)交點與圓心。從而可以把兩圓半徑、公共弦長的一半、圓心距集中到同一個三角形中，利用三角形的有關(guān)知識加以解決。例：如圖，已知O1和O2相交于點A、B，O1在O2上，AC是O1的直徑，CB與O2相交于點D，連結(jié)AD。（1）求證：AD是O2的直徑。（2）求證：DA=DC。證明：（1）連結(jié)AB，AC是O1的直徑，ABC=90°，ABD=90°，AD是O2的直徑。（2）連結(jié)O1O2，AO1O1C，AO2=O2D，O1O2CD，C=AO1O2。又O2A=O2O1，O2AO1=AO1O2，C=O1AO2，DA=DC。例：相交兩圓的公

8、共弦長為6，若兩圓半徑分別為8和5，則兩圓的連心線為_？解：圓心在公共弦兩側(cè)為AB的垂直平分線AB，AC=CBAO1=8，AC=3圓心在公共弦同側(cè)同例：已知：圓O1與圓O2是等圓，相交于A、B，O2在圓O1上，AC是圓O2的直徑，直線CB交圓O1于D，E為AB延長線上一點。（1）證明：AD是圓O1的直徑；（2）若E=60°，求證：DE是圓O1的切線。*兩圓相交，通常連公共弦，把兩圓中的邊和角連接起來。證：（1）AC是圓O2的直徑ABDCABD=90°AD為圓O1的直徑。（2）法一：AD是圓O1的直徑點O1為AD中點，連O1O2點O2在圓O1上，圓O1與圓O2的半徑相等是等邊

9、三角形AO1O2=60°由中位線ADB=AO1O2=60°ABDC，E=60°BDE=30°ADE=ADB+BDE=60°+30°=90°AD直徑DE是圓O1的切線法二：連O1O2點O2在圓O1上，圓O1與圓O2的半徑相等點O1在圓O2上O1AO2=60°AB公共弦ABO1O2O1AB=30°E=60°ADE=180°（E+O1AB） =180°（60°+30°）=90°AD是直徑，DE是切線例：已知，如圖所示，圓O1與圓O2相交于A、B兩點，圓

10、心O1在圓O2上，過B點作兩圓的割線CD，射線DO1交AC于E點。求證：OEAC證：連結(jié)AB、作圓O1的直徑AC1AC1為直徑BAC1+AC1B=90°C=C1C1AB=DC+D=90°DEAC例：已知，如圖所示，圓O1與圓O2相交于A、B兩點，過A點的弦分別交兩圓于C、D，弦CE/DB，連結(jié)EB，試判斷EB與圓O2的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論。證：連結(jié)BO2并延長交圓O2于F，BF為直徑1+2=90°EC/DBE+EBD=180°E+EBO2+3=180°2=E，1=32+1+EBO2=180°EBO2=90°，O2BEB，

11、EB與圓O2相切。（答題時間：25分鐘） 1. 若兩圓無公共點，則兩圓的位置關(guān)系為_。 2. 若兩圓有公共點，則兩圓的位置關(guān)系為_。 3. 已知兩圓半徑為12.4cm和7.3cm，則兩圓相切時，圓心距等于_。 4. 已知兩圓的半徑之比為3：5，若兩圓內(nèi)切時圓心距等于6cm，則兩圓的半徑分別為_；若兩圓無公共點，則圓心距d的取值范圍為_。 5. 若兩圓半徑為r和R，圓心距為d，且d<R+r，則兩圓位置關(guān)系為_。 6. 若兩圓的半徑分別是2cm和4cm，圓心距是1cm，則兩圓的位置關(guān)系是_。 7. 在ABC中，C=90°，AC=4cm，BC=3cm，圓A、圓B、圓C兩兩外切，則圓C

12、的半徑是_。 8. 若兩圓直徑分別是8+t和8t，圓心距為16，則兩圓的位置關(guān)系為_。 9. 若兩圓半徑分別為R和r（R>r），其圓心距為d，且有，則兩圓的位置關(guān)系為_。 10. 若兩圓半徑分別為R和r，圓心距為d，且，則兩圓位置關(guān)系為_。 11. 已知圓O1和圓O2相切，這個圖形是_對稱圖形，它的對稱軸是_，切點與對稱軸的位置關(guān)系為_。 12. 兩個半徑相等的圓的位置關(guān)系有_種。 13. 已知兩圓的半徑R、r（）是方程的兩根，兩圓的圓心距為d。（1）若d=5，試判定兩圓的位置關(guān)系；（2）若d=2，試判定兩圓的位置關(guān)系；（3）若兩圓相交，試確定d的取值范圍；（4）若兩圓相切，求d的值。 14. 已知，如圖，施工工地的水平地面上，有三根外徑都是1m的水泥管兩兩相切摞在一起，求其最高點到地面的距離。參考答案http:/www.DearEDU.com 1. 外離或內(nèi)含 2. 外切或相交或內(nèi)切 3. 19.7cm或5.1cm 4. 9cm 15cm d>24cm或0d<6cm5. 內(nèi)含或內(nèi)切或相交6. 內(nèi)含7. 1cm8. 外離9. 內(nèi)切或外切10. 不內(nèi)含11. 軸 兩圓的